البديل

في الجبر المجرد ، تُعدّ خاصية التناوب خاصيةً للعملية الثنائية . ويُقال إن الصهارة G هيالخيار الأيسر إذا${\displaystyle (xx)y=x(xy)}$للجميع${\displaystyle x,y\in G}$والبديل الصحيح إذا${\displaystyle y(xx)=(yx)x}$للجميع${\displaystyle x,y\in G}$يُقال إن الصهارة التي تكون بديلة يمينًا ويسارًا هيبديل . ^{[ 1 ]}

أي مجموعة فرعية ترابطية (أي شبه مجموعة ) هي مجموعة بديلة. وبشكل أعم، فإن المجموعة التي يُولّد فيها كل زوج من العناصر مجموعة فرعية ترابطية هي مجموعة بديلة. إلا أن العكس ليس صحيحًا، على عكس الوضع في الجبر البديل .

تتضمن أمثلة البنى الجبرية التي تحتوي على عملية ضرب بديلة ما يلي:

• أي شبه مجموعة هي مجموعة تجميعية وبالتالي بديلة.
• حلقات موفانغ بديلة ومرنة، ولكنها عمومًا غير ترابطية. انظر قسم أمثلة حلقات موفانغ  لمزيد من الأمثلة.
• يُعدّ ضرب الأوكتونيونات بديلاً ومرناً. وينطبق الأمر نفسه بشكل عام على أي جبر أوكتونيوني .
• تطبيق بناء كايلي-ديكسون مرة واحدة على حلقة تبديلية ذات انعكاس تافه${\displaystyle a^{\ast }=a}$يُعطي جبرًا تبادليًا ترابطيًا. تطبيقه مرتين يُعطي جبرًا ترابطيًا. تطبيقه ثلاث مرات يُعطي جبرًا بديلًا. تطبيقه أربع مرات أو أكثر يُعطي جبرًا ليس بديلًا عادةً (مع أنه بديل في الخاصية الثانية). مثال على ذلك المتتالية${\displaystyle \mathbb {R} ,\mathbb {C} ,\mathbb {H} ,\mathbb {O} ,\mathbb {S} ,...}$أين${\displaystyle \mathbb {H} }$هو جبر الأعداد الرباعية،${\displaystyle \mathbb {O} }$هي جبر الأوكتونيونات ، و${\displaystyle \mathbb {S} }$هي جبر السدينيونات .

• الجبر المرن
• قوة الترابط

• شيفر، ريتشارد د. (1995) [1966]. مقدمة في الجبر غير الترابطي . دوفر. ISBN 0-486-68813-5. Zbl 0145.25601 .