الصهارة (الجبر)

في الجبر المجرد ، تُعدّ المجموعة الجبرية (أو المجموعة ^{الثنائية} ، أو نادرًا المجموعة الجزئية) ^نوعًا^{أساسيًا} من البنى الجبرية . وتحديدًا، تتكون المجموعة الجبرية من مجموعة مزودة بعملية ثنائية واحدة، ويجب أن تكون مغلقة بحكم تعريفها. ولا تُفرض عليها أي خصائص أخرى.

التاريخ والمصطلحات

استُخدم مصطلح "الزمرة الجزئية" لأول مرة عام 1927 من قِبل هاينريش براندت لوصف زمرته الجزئية . ثم تبنّاه ب. أ. هاوسمان وأويستين أور (1937) ^{[ 2 ]} بالمعنى (مجموعة ذات عملية ثنائية) المُستخدم في هذه المقالة. وفي مراجعتين لأوراق بحثية لاحقة في مجلة "زينترالبلات" ، عارض براندت بشدة هذا الاستخدام المُفرط للمصطلح. تُعد زمرة براندت الجزئية زمرة جزئية بالمعنى المُستخدم في نظرية الفئات، ولكن ليس بالمعنى الذي استخدمه هاوسمان وأور. ومع ذلك، تستخدم كتبٌ مؤثرة في نظرية أنصاف الزمر، بما في ذلك كليفورد وبريستون (1961) وهووي (1995) ، مصطلح "الزمرة الجزئية" بالمعنى الذي استخدمه هاوسمان وأور. ويكتب هولينغز (2014) أن مصطلح " الزمرة الجزئية " "ربما يُستخدم في أغلب الأحيان في الرياضيات الحديثة" بالمعنى المُعطى له في نظرية الفئات. ^[³^]

بحسب بيرغمان وهاوسكنيشت (1996): "لا يوجد مصطلح مُتفق عليه عمومًا لوصف مجموعة ذات عملية ثنائية غير تجميعية بالضرورة. يستخدم العديد من علماء الجبر الشامل مصطلح "المجموعة الجزئية" ، لكن الباحثين في نظرية الفئات والمجالات ذات الصلة يعترضون بشدة على هذا الاستخدام لأنهم يستخدمون المصطلح نفسه بمعنى "فئة تكون فيها جميع التشكلات قابلة للعكس". وقد استخدم سير مصطلح "الصهارة " [في كتابه "جبر لي ومجموعات لي"، 1965]. ^[⁴^] كما يظهر المصطلح أيضًا في كتاب بورباكي " عناصر الرياضيات "، الجبر، الفصول من 1 إلى 3، 1970. ^[⁵^]

تعريف

الماغما هي مجموعة M تحتوي على عملية • تُحوّل أي عنصرين a و b ∈ M إلى عنصر آخر a • b ∈ M. الرمز • هو رمز عام يُستخدم كعنصر نائب لعملية مُعرّفة بشكل صحيح. يُعرف هذا الشرط، الذي ينص على أنه لكل a و b في M ، يجب أن تكون نتيجة العملية a • b أيضًا في M ، بخاصية الماغما أو خاصية الإغلاق . في الترميز الرياضي:

\forall a,b\colon a,b\in M\implies a\cdot b\in M.

إذا كانت • عملية جزئية ، فإن ( M , •) تسمى صهارة جزئية ^{[ 6 ]} أو، في أغلب الأحيان، زمرة جزئية . ^{[ 6 ]}^{[ 7 ]}

مورفولوجيا الصهارة

إن تشاكل الصهارة هو دالة f : M → N التي تحول الصهارة ( M , •) إلى الصهارة ( N , *) وتحافظ على العملية الثنائية:

f ( x • y ) = f ( x ) ∗ f ( y ).

على سبيل المثال، مع كون M يساوي الأعداد الحقيقية الموجبة و • هو المتوسط الهندسي ، و N يساوي خط الأعداد الحقيقية ، و ∗ هو المتوسط الحسابي ، فإن اللوغاريتم f هو تشاكل من الصهارة ( M ، •) إلى ( N ، ∗).

دليل:

\log {\sqrt {xy}}\ =\ {\frac {\log x+\log y}{2}}.

تجدر الإشارة إلى أن هذه الصهارات التبادلية ليست تجميعية، كما أنها لا تحتوي على عنصر محايد . وقد استُخدم هذا التشاكل للصهارات في علم الاقتصاد منذ عام 1863 عندما قام ويليام ستانلي جيفونز بحساب معدل التضخم في 39 سلعة في إنجلترا في كتابه "انخفاض حاد في قيمة الذهب" . ^{[ 8 ]}

الترميز والتوافقية

يمكن تطبيق عملية الصهارة بشكل متكرر، وفي الحالة العامة غير الترابطية، يكون الترتيب مهمًا، ويُشار إليه بأقواس. كما أن العملية • غالبًا ما تُحذف ويُشار إليها بالتجاور.

(أ • (ب • ج)) • د \equiv (أ (ب ج)) د

.

يُستخدم اختصارٌ غالبًا لتقليل عدد الأقواس، حيث تُحذف العمليات الداخلية وأزواج الأقواس، ويُستبدل بها فقط وضع الأقواس جنبًا إلى جنب: $xy • z \equiv (x • y) • z$ . على سبيل المثال، يُختصر التعبير أعلاه إلى التعبير التالي، الذي لا يزال يحتوي على أقواس:

(أ • ب ج) د

.

إحدى طرق تجنب استخدام الأقواس تمامًا هي استخدام تدوين البادئة ، حيث يُكتب التعبير نفسه على النحو التالي $: •• a • bcd$ . وهناك طريقة أخرى مألوفة للمبرمجين، وهي تدوين اللاحقة ( التدوين البولندي العكسي )، حيث يُكتب التعبير نفسه على النحو التالي: $abc •• d •$ ، ويكون ترتيب التنفيذ فيها من اليسار إلى اليمين (بدون تطبيق تقنية التخصيص الجزئي ).

تُسمى مجموعة جميع السلاسل الممكنة المكونة من رموز تُشير إلى عناصر الصهارة، ومجموعات من الأقواس المتوازنة، لغة ديك . يُعطى العدد الإجمالي للطرق المختلفة لكتابة $n$ تطبيقًا لمؤثر الصهارة بواسطة عدد كاتالان $C n$ . على سبيل المثال، $C 2 = 2$ n ، وهو ببساطة يعني أن $(ab) c$ و $a (bc)$ هما الطريقتان الوحيدتان لربط ثلاثة عناصر من الصهارة بعمليتين. وبشكل أقل وضوحًا، $C 3 = 5$ n : $((ab) c )$ d ، $(a (bc)) d$ ، $(ab)(cd)$ ، $a ((bc) d )$ ، و $a (b (cd))$ .

بالنسبة لمجموعة $من n$ عنصر، هناك $n n 2$ من الصهارة المرتبطة بتلك المجموعة، لذلك بالنسبة لـ $n = 0، 1، 2، 3، 4، ...$ ، هناك 1، 1، 16، 19683،4 294 967 296 ، ... (التسلسل A002489 في OEIS ) من الصهارة. الأرقام المقابلة للصهارة حتى التماثل هي 1، 1، 10، 3330.178 981 952 ، ... (التسلسل A001329 في OEIS ) وأعداد الصهارة حتى التماثل والتماثل العكسي هي 1، 1، 7، 1734،89 521 056 ، ... (التسلسل A001424 في OEIS ) . ^{[ 9 ]}

حمم بركانية حرة

الصهارة الحرة M _X على مجموعة X هي الصهارة "الأكثر عمومية" الممكنة التي تولدها X (أي، لا توجد علاقات أو بديهيات مفروضة على المولدات؛ انظر الكائن الحر ). تُشكل العملية الثنائية على M _X عن طريق وضع كل من المعاملين بين قوسين ووضعهما جنبًا إلى جنب بنفس الترتيب. على سبيل المثال:

أ • ب = (أ)(ب)،

أ • (أ • ب) = (أ)((أ)(ب)),

(أ • أ) • ب = ((أ)(أ))(ب).

يمكن وصف M _X بأنها مجموعة الكلمات غير الترابطية على X مع الاحتفاظ بالأقواس. ^{[ 10 ]}

ويمكن النظر إليها أيضاً، بمصطلحات مألوفة في علوم الحاسوب ، على أنها صهارة من الأشجار الثنائية الكاملة ذات الأوراق المصنفة بعناصر من X. وتتمثل العملية في ربط الأشجار عند الجذر.

تتمتع الصهارة الحرة بالخاصية العامة التالية: إذا كانت f : X → N دالة من X إلى أي صهارة N ، فإنه يوجد امتداد وحيد لـ f إلى تشاكل للصهارات f ′

f ′ : M _X → N .

أنواع الصهارة

لا تُدرس الصهارة عادةً كوحدة واحدة؛ بل توجد أنواع مختلفة منها، وذلك تبعًا للأسس التي يجب أن تستوفيها العملية. ومن أنواع الصهارة التي تُدرس عادةً ما يلي:

شبه المجموعة : صهارة يكون الانقسام فيها ممكناً دائماً.
- الحلقة : شبه زمرة تحتوي على عنصر محايد .
شبه المجموعة : صهارة تكون فيها العملية ترابطية .
- المونويد : شبه مجموعة تحتوي على عنصر محايد.
المجموعة : صهارة ذات عنصر معكوس، وعنصر تجميعي، وعنصر هوية.

لاحظ أن كلاً من قابلية القسمة وقابلية الانعكاس يستلزم خاصية الإلغاء .

الصهارة ذات خاصية التبادلية

الصهارة التبادلية : صهارة ذات خاصية التبادلية.
أحادي تبديلي : أحادي ذو خاصية التبديل.
الزمرة الأبيلية : زمرة ذات خاصية التبديل.

التصنيف حسب الخصائص

هياكل شبيهة بالمجموعات
	المجموع	جمعية	هوية	قابل للقسمة
صهارة جزئية	غير ضروري	غير ضروري	غير ضروري	غير ضروري
شبه مجموعة	غير ضروري	مطلوب	غير ضروري	غير ضروري
فئة صغيرة	غير ضروري	مطلوب	مطلوب	غير ضروري
مجموعة	غير ضروري	مطلوب	مطلوب	مطلوب
ماجما	مطلوب	غير ضروري	غير ضروري	غير ضروري
شبه المجموعة	مطلوب	غير ضروري	غير ضروري	مطلوب
الصهارة الموحدة	مطلوب	غير ضروري	مطلوب	غير ضروري
حلقة	مطلوب	غير ضروري	مطلوب	مطلوب
شبه مجموعة	مطلوب	مطلوب	غير ضروري	غير ضروري
شبه المجموعة الترابطية	مطلوب	مطلوب	غير ضروري	مطلوب
أحادي	مطلوب	مطلوب	مطلوب	غير ضروري
مجموعة	مطلوب	مطلوب	مطلوب	مطلوب

يُطلق على الصهارة $(S, •)$ ، حيث $x و y و u و z$ ∈ $S$ ، اسم

الوسطي: إذا كانت تحقق المتطابقة $xy • uz \equiv xu • yz$
نصف الوسط الأيسر: إذا كانت تحقق المتطابقة $xx • yz \equiv xy • xz$
نصف الوسط الأيمن: إذا كانت تحقق المتطابقة $yz • xx \equiv yx • zx$
شبه متوسط: إذا كان نصف وسطي أيمن وأيسر
توزيع اليسار: إذا كانت تحقق المتطابقة $x • yz \equiv xy • xz$
التوزيع الأيمن: إذا كانت تحقق المتطابقة $yz • x \equiv yx • zx$
التوزيع الذاتي: إذا كان توزيعيًا يساريًا ويمينيًا
التبادلية: إذا كانت تحقق المتطابقة $xy \equiv yx$
مُكرر: إذا كانت تحقق المتطابقة $xx \equiv x$
أحادي القدرة: إذا كانت تحقق المتطابقة $xx \equiv yy$
قوة الصفر: إذا كانت تحقق المتطابقات $xx • y \equiv xx \equiv y • xx$ ^{[ 11 ]}
بديل: إذا كانت تحقق المتطابقتين $xx • y \equiv x • xy$ و $x • yy \equiv xy • y$
قوة ترابطية: إذا كانت الصهارة الفرعية المتولدة من أي عنصر ترابطية
مرن: إذا كان $xy • x \equiv x • yx$
جمعية: إذا حققت المتطابقة $x • yz \equiv xy • z$ ، فإنها تسمى شبه زمرة
يسار غير مكتمل: إذا كانت تحقق المتطابقة $xy \equiv xz$
يمين غير مكتمل: إذا كانت تحقق المتطابقة $yx \equiv zx$
شبه زمرة ذات ضرب صفري، أو شبه زمرة صفرية: إذا كانت تحقق المتطابقة $xy \equiv uv$
يونيتال: إذا كان يحتوي على عنصر هوية
إلغاء اليسار: إذا كانت العلاقة $xy$ $=$ $xz$ ، لكل $x و y و z$ ، تستلزم أن $y$ $=$ $z$
إلغاء اليمين: إذا كانت العلاقة $yx$ $=$ $zx$ ، لكل $x و y و z$ ، تستلزم $y$ $=$ $z$
إلغاء: إذا كان قابلاً للإلغاء من اليمين وقابلاً للإلغاء من اليسار
شبه زمرة ذات أصفار يسارية: إذا كانت شبه زمرة وتحقق المتطابقة $xy \equiv x$
شبه زمرة ذات أصفار يمنى: إذا كانت شبه زمرة وتحقق المتطابقة $yx \equiv x$
تريميدال: إذا ولّدت أي ثلاثية من العناصر (ليس بالضرورة عناصر متميزة) صهارة فرعية متوسطة
إنتروبي: إذا كانت صورة متماثلة لصهارة إلغاء وسطي . ^{[ 12 ]}
وسط المدينة: إذا كانت تحقق المتطابقة $xy • yz \equiv y$

عدد الصهارة التي تستوفي الخصائص المحددة

العجز الجنسي	خاصية التبديل	الملكية الترابطية	عقار قابل للإلغاء	تسلسل OEIS (مُصنَّف)	تسلسل OEIS (فئات التماثل)
غير ضروري	غير ضروري	غير ضروري	غير ضروري	A002489	A001329
مطلوب	غير ضروري	غير ضروري	غير ضروري	A090588	A030247
غير ضروري	مطلوب	غير ضروري	غير ضروري	A023813	A001425
غير ضروري	غير ضروري	مطلوب	غير ضروري	A023814	A001423
غير ضروري	غير ضروري	غير ضروري	مطلوب	A002860 أضف a(0)=1	A057991
مطلوب	مطلوب	غير ضروري	غير ضروري	A076113	A030257
مطلوب	غير ضروري	مطلوب	غير ضروري
مطلوب	غير ضروري	غير ضروري	مطلوب
غير ضروري	مطلوب	مطلوب	غير ضروري	A023815	A001426
غير ضروري	مطلوب	غير ضروري	مطلوب		A057992
غير ضروري	غير ضروري	مطلوب	مطلوب	A034383 أضف a(0)=1	A000001 مع a(0)=1 بدلاً من 0
مطلوب	مطلوب	مطلوب	غير ضروري
مطلوب	مطلوب	غير ضروري	مطلوب		a(n)=1 عندما n=0 ولجميع قيم n الفردية، و a(n)=0 لجميع قيم n الزوجية ≥ 2
مطلوب	غير ضروري	مطلوب	مطلوب	a(0)=a(1)=1، a(n)=0 لجميع قيم n≥2	a(0)=a(1)=1، a(n)=0 لجميع قيم n≥2
غير ضروري	مطلوب	مطلوب	مطلوب	A034382 أضف a(0)=1	A000688 أضف a(0)=1
مطلوب	مطلوب	مطلوب	مطلوب	a(0)=a(1)=1، a(n)=0 لجميع قيم n≥2	a(0)=a(1)=1، a(n)=0 لجميع قيم n≥2

فئة الصهارة

فئة الصهارة، ويرمز لها بـ Mag ، هي الفئة التي تكون عناصرها صهارة وتكون تشاكلاتها تشاكلات صهارة . تحتوي الفئة Mag على جداءات مباشرة ، ويوجد بها دالة تضمين : ضع ↪ Mag كصهارة تافهة، مع عمليات معطاة بالإسقاط $x T y = y$ . وبشكل أعم، ولأن Mag جبرية ^، فهي فئة كاملة . ^[¹³ ]

ومن الخصائص المهمة أن التشاكل الداخلي الحقني يمكن تمديده إلى تشاكل ذاتي لامتداد الصهارة ، وهو ببساطة الحد المشترك ( للتسلسل الثابت ) للتشاكل الداخلي .

انظر أيضاً

الجبر الشامل
نظام الجبر الحاسوبي ماجما ، الذي سمي على اسم موضوع هذه المقالة.
الصهارة التبادلية
البنى الجبرية التي تكون بديهياتها جميعها متطابقات
جبر الزمر الجزئية
مجموعة قاعة

مراجع

↑ بيرغمان، كليفورد (2011)، الجبر الشامل: الأساسيات ومواضيع مختارة ، مطبعة سي آر سي، رقم ISBN 978-1-4398-5130-2
↑ هاوسمان، بكالوريوس؛ أور، أويستين (أكتوبر 1937)، "نظرية شبه المجموعات"، المجلة الأمريكية للرياضيات ، 59 (4): 983-1004 ، doi : 10.2307/2371362 ، JSTOR 2371362 .
↑ هولينغز، كريستوفر (2014)، الرياضيات عبر الستار الحديدي: تاريخ النظرية الجبرية لأنصاف الزمر ، الجمعية الرياضية الأمريكية، ص 142-143 ، ISBN 978-1-4704-1493-1.
↑ بيرغمان، جورج م.؛ هاوسكنيشت، آدم أ. (1996)، الزمر المشتركة والحلقات المشتركة في فئات الحلقات الترابطية ، الجمعية الرياضية الأمريكية، ص 61، ISBN 978-0-8218-0495-7.
↑ بورباكي، ن. (1998) [1970]، "البنى الجبرية: §1.1 قوانين التركيب: التعريف 1" ، الجبر 1: الفصول 1-3 ، سبرينغر، ص 1، ISBN 978-3-540-64243-5.
1 2 مولر هويسن، فولكرت؛ بالو، جان مارسيل؛ ستاشف، جيم، محررون. (2012)، Associahedra، شبكات تماري والهياكل ذات الصلة: Tamari Memorial Festschrift ، سبرينغر، ص. 11، ردمك 978-3-0348-0405-9.
↑ إيفسيف، أ. إي. (1988)، "مسح للمجموعات الجزئية"، في سيلفر، بن (محرر)، تسعة عشر بحثًا حول أنصاف المجموعات الجبرية ، الجمعية الرياضية الأمريكية، ISBN 0-8218-3115-1.
↑ جيفونز، ويليام ستانلي (1863). انخفاض حاد في قيمة الذهب، وآثاره الاجتماعية . لندن: إدوارد ستانفورد . ص 7. مؤرشف من الأصل بتاريخ 10-10-2008.
^ وايسستين ، إريك دبليو. “Groupoid” . عالم الرياضيات .
↑ روين، لويس هالي (2008)، "التعريف 21ب.1." ، الجبر المتقدم: منظور غير تبادلي ، دراسات عليا في الرياضيات ، الجمعية الأمريكية للرياضيات ، ص 321، ISBN 978-0-8218-8408-9.
^ كيبكا، ت. Němec، P. (1996)، “مجموعات بسيطة متوازنة” (PDF) ، Acta Universitatis Palackianae Olomucensis. كليات ريروم ناتشوراليوم. الرياضيات ، 35 ( 1): 53-60.
^ جيجيك، ياروسلاف؛ كيبكا، توماش (1981)، “مجموعات إنتروبية مجانية” (PDF) ، Commentationes Mathematicae Universitatis Carolinae ، 22 (2): 223–233 ، MR 0620359 .
↑ بورسي، فرانسيس؛ بورن، دومينيك (2004). فئات مالسيف، والفئات الأولية المعيارية، والفئات المتجانسة، والفئات شبه الأبيلية . سبرينغر. ص 7، 19. ISBN 1-4020-1961-0.

هازوينكل، م. (2001) [1994]، "ماغما" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS
هازوينكل، م. (2001) [1994]، "المجموعة الجزئية" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS
هازوينكل، م. (2001) [1994]، "الصهارة الحرة" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS
وايسستين، إريك دبليو. “Groupoid” . عالم الرياضيات .

للمزيد من القراءة

بروك، ريتشارد هوبرت (1971)، مسح للأنظمة الثنائية (الطبعة الثالثة )، سبرينغر، رقم ISBN 978-0-387-03497-3

[1] بيرغمان، كليفورد (2011)، الجبر الشامل: الأساسيات ومواضيع مختارة ، مطبعة سي آر سي، رقم ISBN 978-1-4398-5130-2

[2] هاوسمان، بكالوريوس؛ أور، أويستين (أكتوبر 1937)، "نظرية شبه المجموعات"، المجلة الأمريكية للرياضيات ، 59 (4): 983-1004 ، doi : 10.2307/2371362 ، JSTOR 2371362 .

[Hollings2014-3] هولينغز، كريستوفر (2014)، الرياضيات عبر الستار الحديدي: تاريخ النظرية الجبرية لأنصاف الزمر ، الجمعية الرياضية الأمريكية، ص 142-143 ، ISBN 978-1-4704-1493-1.

[BergmanHausknecht1996-4] بيرغمان، جورج م.؛ هاوسكنيشت، آدم أ. (1996)، الزمر المشتركة والحلقات المشتركة في فئات الحلقات الترابطية ، الجمعية الرياضية الأمريكية، ص 61، ISBN 978-0-8218-0495-7.

[Bourbaki1998-5] بورباكي، ن. (1998) [1970]، "البنى الجبرية: §1.1 قوانين التركيب: التعريف 1" ، الجبر 1: الفصول 1-3 ، سبرينغر، ص 1، ISBN 978-3-540-64243-5.

[Müller-HoissenPallo2012-6] 1 2 مولر هويسن، فولكرت؛ بالو، جان مارسيل؛ ستاشف، جيم، محررون. (2012)، Associahedra، شبكات تماري والهياكل ذات الصلة: Tamari Memorial Festschrift ، سبرينغر، ص. 11، ردمك 978-3-0348-0405-9.

[Silver-7] إيفسيف، أ. إي. (1988)، "مسح للمجموعات الجزئية"، في سيلفر، بن (محرر)، تسعة عشر بحثًا حول أنصاف المجموعات الجبرية ، الجمعية الرياضية الأمريكية، ISBN 0-8218-3115-1.

[8] جيفونز، ويليام ستانلي (1863). انخفاض حاد في قيمة الذهب، وآثاره الاجتماعية . لندن: إدوارد ستانفورد . ص 7. مؤرشف من الأصل بتاريخ 10-10-2008.

[9] وايسستين ، إريك دبليو. “Groupoid” . عالم الرياضيات .

[10] روين، لويس هالي (2008)، "التعريف 21ب.1." ، الجبر المتقدم: منظور غير تبادلي ، دراسات عليا في الرياضيات ، الجمعية الأمريكية للرياضيات ، ص 321، ISBN 978-0-8218-8408-9.

[11] كيبكا، ت. Němec، P. (1996)، “مجموعات بسيطة متوازنة” (PDF) ، Acta Universitatis Palackianae Olomucensis. كليات ريروم ناتشوراليوم. الرياضيات ، 35 ( 1): 53-60.

[12] جيجيك، ياروسلاف؛ كيبكا، توماش (1981)، “مجموعات إنتروبية مجانية” (PDF) ، Commentationes Mathematicae Universitatis Carolinae ، 22 (2): 223–233 ، MR 0620359 .

[13] بورسي، فرانسيس؛ بورن، دومينيك (2004). فئات مالسيف، والفئات الأولية المعيارية، والفئات المتجانسة، والفئات شبه الأبيلية . سبرينغر. ص 7، 19. ISBN 1-4020-1961-0.

الثنائية

[ 2 ]

[

[

[

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

،

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗