شبه مجموعة

الموسوعة الحرة

في الرياضيات، شبه المجموعة هي بنية جبرية تتكون من مجموعة بالإضافة إلى عملية ثنائية داخلية تجميعية عليها. في التحليل الرياضي ، يظهر المصطلح أيضًا في نظرية أنصاف مجموعات المؤثرات ذات المعامل الواحد: انظر شبه المجموعة C0 .

تُرمز العملية الثنائية لشبه المجموعة في أغلب الأحيان بالضرب:x⋅y{\displaystyle x\cdot y}أو ببساطةxy{\displaystyle xy}، تشير إلى نتيجة تطبيق عملية شبه المجموعة على الزوج المرتب(x،y){\displaystyle (x,y)}يتم التعبير عن خاصية التجميع رسميًا على النحو التالي:(x⋅y)⋅z=x⋅(y⋅z){\displaystyle (x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z)}للجميعx{\displaystyle x}،y{\displaystyle y}وz{\displaystyle z}في شبه المجموعة. مثال على شبه المجموعة هو تلك التي تتكون من دمج السلاسل النصية ، حيث يتم ربط السلاسل معًا . على سبيل المثال، دمج السلسلتين "spot" و"run" هو السلسلة "spot" • "run" = "spot run". تعني خاصية التجميع أن

"انظر" • ("بقعة" • "يركض") = "انظر" • "بقعة تركض" = "انظر بقعة تركض" = "انظر بقعة" • "يركض" = ("انظر" • "بقعة") • "يركض".

بدأ البحث الرسمي في أنصاف الزمر في أوائل القرن العشرين. ومن النتائج المبكرة نظرية كايلي لأنصاف الزمر، التي تُعرّف أي نصف زمرة على أنها نصف زمرة تحويلية ، حيث تحل الدوال الاختيارية محل دور التقابلات في نظرية الزمر. ومن النتائج المهمة في تصنيف أنصاف الزمر المنتهية نظرية كروهن-رودس ، المشابهة لتحليل جوردان-هولدر للزمر المنتهية. أما بعض التقنيات الأخرى لدراسة أنصاف الزمر، مثل علاقات غرين ، فلا تشبه أي شيء في نظرية الزمر.

حظيت نظرية أنصاف الزمر المنتهية بأهمية خاصة في علوم الحاسوب النظرية منذ خمسينيات القرن الماضي، وذلك للصلة الطبيعية بين أنصاف الزمر المنتهية والآلات المنتهية عبر المونويد التركيبي . في نظرية الاحتمالات ، ترتبط أنصاف الزمر بعمليات ماركوف . [ 1 ] وفي مجالات أخرى من الرياضيات التطبيقية ، تُعد أنصاف الزمر نماذج أساسية للأنظمة الخطية الثابتة زمنيًا . في المعادلات التفاضلية الجزئية ، ترتبط نصف الزمرة بأي معادلة يكون تطورها المكاني مستقلًا عن الزمن.

نظرة عامة على الجبر

البنى الجبرية بين الصهارة والمجموعات : شبه المجموعة هي صهارة ذات خاصية التجميع . المونويد هو شبه مجموعة ذات عنصر محايد .

يمكن اعتبار أنصاف الزمر حالة خاصة من الزمر الصهارية ، حيث تكون العملية تجميعية، أو تعميمًا للزمر ، دون اشتراط وجود عنصر محايد أو معكوسات. [ أ ] كما هو الحال في الزمر أو الزمر الصهارية، لا يشترط أن تكون عملية أنصاف الزمر تبديلية ، لذاx⋅y{\displaystyle x\cdot y}لا يساوي بالضرورةy⋅x{\displaystyle y\cdot x}من الأمثلة المعروفة على العمليات التجميعية غير التبديلية ضرب المصفوفات . إذا كانت عملية شبه المجموعة تبديلية، فإن شبه المجموعة تُسمى شبه مجموعة تبديلية ، أو (بشكل أقل شيوعًا من حالة المجموعات المماثلة ) قد تُسمى شبه مجموعة تبديلية .

المونويد هو بنية جبرية وسيطة بين أنصاف الزمر والزمر، وهو نصف زمرة له عنصر محايد ، وبالتالي يحقق جميع بديهيات الزمرة باستثناء واحدة: وجود المعكوسات ليس شرطًا للمونويد. مثال طبيعي على ذلك هو السلاسل النصية التي يكون فيها الربط هو العملية الثنائية، والسلسلة الفارغة هي العنصر المحايد. يُعطينا الاقتصار على السلاسل غير الفارغة مثالًا على نصف زمرة ليس مونويدًا. تشكل الأعداد الصحيحة الموجبة مع الجمع نصف زمرة تبديلية ليست مونويدًا، بينما تشكل الأعداد الصحيحة غير السالبة مونويدًا. يمكن تحويل نصف الزمرة الذي لا يحتوي على عنصر محايد بسهولة إلى مونويد بمجرد إضافة عنصر محايد. ونتيجة لذلك، تُدرس المونويدات في نظرية أنصاف الزمر وليس في نظرية الزمر. يجب عدم الخلط بين أنصاف الزمر والزمر الجزئية ، التي تُعد تعميمًا للزمر في اتجاه مختلف؛ فالعملية في الزمرة الجزئية لا يشترط أن تكون تجميعية، لكن الزمر الجزئية تحتفظ بمفهوم القسمة من الزمر . لا يمكن إجراء عملية التقسيم في أنصاف المجموعات (أو في المونويدات) بشكل عام.

توجد فئات خاصة عديدة من أنصاف الزمر ، وهي أنصاف زمر ذات خصائص إضافية، تظهر في تطبيقات محددة. بعض هذه الفئات أقرب إلى الزمر من حيث امتلاكها بعض الخصائص الإضافية، وليس جميعها. من هذه الفئات: أنصاف الزمر المنتظمة ، وأنصاف الزمر التقليدية ، وأنصاف الزمر ذات الانعكاس ، وأنصاف الزمر العكسية ، وأنصاف الزمر القابلة للاختزال . كما توجد فئات مثيرة للاهتمام من أنصاف الزمر لا تحتوي على أي زمر باستثناء الزمرة التافهة ؛ ومن أمثلة هذا النوع الأخير: الأشرطة وفئتها الفرعية التبادلية - أنصاف الشبكات ، وهي أيضًا هياكل جبرية مرتبة .

تعريف

شبه المجموعة هي مجموعةS{\displaystyle S}بالإضافة إلى عملية ثنائية⋅{\displaystyle \cdot }(أي دالة )⋅:S×S→S{\displaystyle \cdot :S\times S\to S}) الذي يحقق خاصية التجميع :

للجميعأ،ب،ج∈S{\displaystyle a,b,c\in S}المعادلة(أ⋅ب)⋅ج=أ⋅(ب⋅ج){\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}يحجز.

وباختصار أكثر، فإن شبه المجموعة هي صهارة ترابطية .

أمثلة على أنصاف المجموعات

المفاهيم الأساسية

الهوية والصفر

الهوية اليسرى لشبه المجموعةS{\displaystyle S}(أو بشكل أعم، الصهارة ) هو عنصرهـ{\displaystyle e}بحيث يكون ذلك لجميعx{\displaystyle x}فيS{\displaystyle S}،هـ⋅x=x{\displaystyle e\cdot x=x}وبالمثل، فإن الهوية الصحيحة هي عنصرو{\displaystyle f}بحيث يكون ذلك لجميعx{\displaystyle x}فيS{\displaystyle S}،x⋅و=x{\displaystyle x\cdot f=x}يُطلق على كل من الهوية اليسرى والهوية اليمنى اسم الهوية أحادية الجانب . قد تمتلك شبه المجموعة هوية يسرى واحدة أو أكثر، ولكن ليس لديها هوية يمنى، والعكس صحيح.

العنصر المحايد ثنائي الجانب (أو ببساطة العنصر المحايد ) هو عنصر يكون محايدًا من اليسار ومن اليمين. تُسمى أنصاف الزمر التي تحتوي على عنصر محايد ثنائي الجانب بالمونويدات . قد تحتوي نصف الزمرة على عنصر محايد ثنائي الجانب واحد على الأكثر. إذا احتوت نصف الزمرة على عنصر محايد ثنائي الجانب، فإن هذا العنصر المحايد ثنائي الجانب هو العنصر المحايد الوحيد أحادي الجانب في نصف الزمرة. إذا احتوت نصف الزمرة على عنصر محايد من اليسار وآخر من اليمين، فإنها تحتوي على عنصر محايد ثنائي الجانب (وهو بالتالي العنصر المحايد الوحيد أحادي الجانب).

شبه مجموعةS{\displaystyle S}يمكن تضمين عنصر بدون هوية في مجموعة أحادية تتكون من خلال ضم عنصرهـ∉S{\displaystyle e\notin S}لS{\displaystyle S}وتحديدهـ⋅s=s⋅هـ=s{\displaystyle e\cdot s=s\cdot e=s}للجميعs∈S∪{هـ}{\displaystyle s\in S\cup \{e\}}[ 2 ] [ 3 ] الترميز​S1{\displaystyle S^{1}}يشير إلى أحادي تم الحصول عليه منS{\displaystyle S}عن طريق إلحاق هوية إذا لزم الأمر (S1=S{\displaystyle S^{1}=S}(للمونويد). [ 3 ]

وبالمثل، تحتوي كل صهارة على عنصر امتصاص واحد على الأكثر ، والذي يُسمى في نظرية شبه الزمر بالصفر . وبالمثل للبناء أعلاه، لكل شبه زمرةS{\displaystyle S}يمكن للمرء أن يُعرّفS0{\displaystyle S^{0}}، شبه مجموعة تحتوي على 0 وتضمينهاS{\displaystyle S}.

المجموعات الفرعية والمُثُل

تُحدث عملية شبه المجموعة عملية على مجموعة مجموعاتها الجزئية: بالنظر إلى المجموعات الجزئيةأ{\displaystyle A}وب{\displaystyle B}من شبه مجموعةS{\displaystyle S}منتجهمأ⋅ب{\displaystyle A\cdot B}، وتكتب عادة على النحو التاليأب{\displaystyle AB}، هي المجموعة{أب|أ∈أ و ب∈ب}{\displaystyle \{ab\mid a\in A{\text{ and }}b\in B\}}(يُعرَّف هذا المفهوم بنفس تعريفه بالنسبة للمجموعات ). من حيث هذه العملية، فإن المجموعة الجزئيةأ{\displaystyle A}يُطلق عليه اسم

  • شبه مجموعة فرعية إذاأأ{\displaystyle AA}هي مجموعة فرعية منأ{\displaystyle A}،
  • مثال صحيح إذاأS{\displaystyle AS}هي مجموعة فرعية منأ{\displaystyle A}، و
  • مثالي يساري إذاSأ{\displaystyle SA}هي مجموعة فرعية منأ{\displaystyle A}.

لوأ{\displaystyle A}إذا كان يمثل كلاً من المثل الأعلى الأيسر والمثل الأعلى الأيمن، فإنه يسمى مثلاً أعلى (أو مثلاً أعلى ذا جانبين ).

لوS{\displaystyle S}إذا كانت شبه زمرة، فإن تقاطع أي مجموعة من شبه الزمر الجزئية منS{\displaystyle S}وهي أيضًا مجموعة فرعية منS{\displaystyle S}إذن، المجموعات الفرعية منS{\displaystyle S}تشكيل شبكة كاملة .

من أمثلة شبه الزمرة التي لا تحتوي على مثالي أدنى مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة تحت عملية الجمع. المثالي الأدنى لشبه الزمرة التبديلية ، إن وُجد، هو زمرة.

تُعد علاقات غرين ، وهي مجموعة من خمس علاقات تكافؤ تميز العناصر من حيث المُثُل الرئيسية التي تولدها، أدوات مهمة لتحليل مُثُل شبه المجموعة والمفاهيم ذات الصلة بالبنية.

تُسمى المجموعة الجزئية التي تتميز بأن كل عنصر فيها يتبادل مع أي عنصر آخر من عناصر شبه المجموعة بمركز شبه المجموعة. [ 4 ] مركز شبه المجموعة هو في الواقع شبه مجموعة جزئية. [ 5 ]

التشاكلات والتطابقات

التشاكل شبه الزمري هو دالة تحافظ على بنية شبه الزمرة.و:S→تي{\displaystyle f:S\to T}يكون التماثل بين نصفي مجموعتين متماثلاً إذا كانت المعادلة

و(أب)=و(أ)و(ب){\displaystyle f(ab)=f(a)f(b)}.

ينطبق هذا على جميع العناصرأ{\displaystyle a}،ب{\displaystyle b}فيS{\displaystyle S}أي أن النتيجة تكون نفسها عند إجراء عملية شبه المجموعة بعد أو قبل تطبيق الخريطة.و{\displaystyle f}.

يحافظ التشاكل شبه الزمري بين المونويدات على الهوية إذا كان تشاكلًا مونويديًا . ولكن توجد تشاكلات شبه زمرية ليست تشاكلات مونويدية، مثل التضمين القانوني لشبه زمرةS{\displaystyle S}بدون هوية إلىS1{\displaystyle S^{1}}تُناقش الشروط التي تميز تماثلات المونويدات بمزيد من التفصيل. ليكنو:S0→S1{\displaystyle f:S_{0}\to S_{1}}ليكن تشاكلاً شبه زمر. صورةو{\displaystyle f}وهي أيضًا شبه مجموعة. إذاS0{\displaystyle S_{0}}هي مجموعة أحادية ذات عنصر محايدهـ0{\displaystyle e_{0}}، ثمو(هـ0){\displaystyle f(e_{0})}هو عنصر الهوية في صورةو{\displaystyle f}. لوS1{\displaystyle S_{1}}وهو أيضًا أحادي ذو عنصر محايدهـ1{\displaystyle e_{1}}وهـ1{\displaystyle e_{1}}ينتمي إلى صورةو{\displaystyle f}، ثمو(هـ0)=هـ1{\displaystyle f(e_{0})=e_{1}}، أيو{\displaystyle f}هو تشاكل أحادي. على وجه الخصوص، إذاو{\displaystyle f}إذا كان شاملاً ، فهو تشاكل أحادي.

مجموعتان شبهيتانS{\displaystyle S}وتي{\displaystyle T}يقال إن المجموعات متماثلة إذا وُجد تماثل تقابلي بين المجموعات .و:S→تي{\displaystyle f:S\to T}. المجموعات النصفية المتماثلة لها نفس البنية.

تطابق شبه المجموعة∼{\displaystyle \sim }هي علاقة تكافؤ متوافقة مع عملية شبه المجموعة. أي مجموعة جزئية∼⊆S×S{\displaystyle \sim \,\subseteq S\times S}هذه علاقة تكافؤ وx∼y{\displaystyle x\sim y}وu∼v{\displaystyle u\sim v}يشير إلىxu∼yv{\displaystyle xu\sim yv}لكلx،y،u،v{\displaystyle x,y,u,v}فيS{\displaystyle S}. مثل أي علاقة تكافؤ، فإن تطابق شبه المجموعة∼{\displaystyle \sim }يُحفز فئات التطابق

[أ]={x∈S|x∼أ}{\displaystyle [a]=\{x\in S\mid x\sim a\}}

وتؤدي عملية شبه المجموعة إلى عملية ثنائية∘{\displaystyle \circ }حول فئات التطابق:

[u]∘[v]=[uv]{\displaystyle [u]\circ [v]=[uv]}.

لأن∼{\displaystyle \sim }هي تطابق، مجموعة جميع فئات التطابق لـ∼{\displaystyle \sim }تشكل شبه مجموعة مع∘{\displaystyle \circ }، والتي تسمى شبه المجموعة الخارجة أو شبه المجموعة العاملية ، ويرمز لها بـS/∼{\displaystyle S/\!\sim }. رسم الخرائطx↦[x]{\displaystyle x\mapsto [x]}هو تماثل شبه زمرة، ويسمى دالة القسمة ، أو الإسقاط الشامل القانوني ، أو الإسقاط ؛ إذاS{\displaystyle S}إذا كانت شبه زمرة أحادية، فإن شبه زمرة القسمة تكون شبه زمرة أحادية ذات عنصر محايد[1]{\displaystyle [1]}على النقيض من ذلك، فإن نواة أي تشاكل شبه زمرة هي تطابق شبه زمرة. هذه النتائج ليست سوى تخصيص لنظرية التشاكل الأولى في الجبر الشامل . تُعدّ فئات التطابق وأحاديات العوامل موضوعات للدراسة في أنظمة إعادة كتابة السلاسل .

تطابق نووي علىS{\displaystyle S}هو أحد العناصر التي تمثل نواة تشاكل داخلي لـS{\displaystyle S}[ 6 ]​

شبه مجموعةS{\displaystyle S}تحقق الشرط الأقصى على التطابقات إذا كانت أي عائلة من التطابقات علىS{\displaystyle S}تحتوي المجموعة المرتبة حسب الاحتواء على عنصر أقصى. وبحسب مبرهنة زورن ، فإن هذا يكافئ القول بأن شرط السلسلة التصاعدية متحقق: لا توجد سلسلة تصاعدية لانهائية من التطابقات علىS{\displaystyle S}[ 7 ]​

كل مثالأنا{\displaystyle I}يؤدي وجود شبه زمرة إلى ظهور شبه زمرة عاملة، وهي شبه زمرة عاملة ريس ، عبر التطابق.ρ{\displaystyle \rho }محدد بواسطةxρy{\displaystyle x\rho y}إذا كان أي منهماx=y{\displaystyle x=y}أو كليهماx{\displaystyle x}وy{\displaystyle y}فيأنا{\displaystyle I}.

القسمة والقسمة

المفاهيم التالية [ 8 ] تقدم فكرة أن شبه المجموعة تحتوي على مجموعة أخرى.

تُسمى شبه المجموعة T خارج قسمة شبه المجموعة S إذا وُجد تشاكل شبه مجموعة شامل من S إلى T. على سبيل المثال، ( Z / 2Z , +) هو خارج قسمة ( Z / 4Z , +) ، باستخدام التشاكل الذي يتكون من أخذ باقي قسمة عدد صحيح على 2.

تقسم شبه المجموعة T شبه المجموعة S ، ويُرمز لها بـ T ≼ S إذا كانت T خارج قسمة شبه مجموعة جزئية من S. وبالتحديد، تقسم شبه المجموعات الجزئية من S المجموعة T ، بينما ليس بالضرورة أن يكون هناك خارج قسمة من S.

كلتا هاتين العلاقتين متعدية.

بنية أنصاف المجموعات

لكل مجموعة جزئية A من S، توجد أصغر شبه زمرة جزئية T من S تحتوي على A ، ونقول إن A تولد T. يولد عنصر واحد x من S شبه الزمرة الجزئية { xⁿ | n ∈ Z⁺ } . إذا كانت هذه الشبه زمرة منتهية، يُقال إن x من رتبة منتهية ، وإلا فهي من رتبة غير منتهية . تُسمى شبه الزمرة دورية إذا كانت جميع عناصرها من رتبة منتهية. تُسمى شبه الزمرة المولدة بواسطة عنصر واحد أحادية التولد (أو دورية ). إذا كانت شبه الزمرة أحادية التولد غير منتهية، فإنها تكون متماثلة مع شبه زمرة الأعداد الصحيحة الموجبة مع عملية الجمع. إذا كانت منتهية وغير فارغة، فلا بد أن تحتوي على عنصر واحد على الأقل من عناصر التساوي . وبالتالي، فإن كل شبه زمرة دورية غير فارغة تحتوي على عنصر واحد على الأقل من عناصر التساوي.

تُسمى الزمرة الجزئية التي تُشكّل زمرةً زمرةً جزئية . ثمة علاقة وثيقة بين الزمر الجزئية للزمرة الجزئية وعناصرها المحايدّة. تحتوي كل زمرة جزئية على عنصر محايد واحد فقط، وهو العنصر المحايد في الزمرة الجزئية. لكل عنصر محايد e في الزمرة الجزئية، توجد زمرة جزئية عظمى وحيدة تحتوي على e . تنشأ كل زمرة جزئية عظمى بهذه الطريقة، لذا توجد علاقة تناظرية بين العناصر المحايدة والزمر الجزئية العظمى. يختلف مصطلح " الزمرة الجزئية العظمى" هنا عن استخدامه الشائع في نظرية الزمر.

يمكن قول المزيد غالبًا عندما يكون الترتيب محدودًا. على سبيل المثال، كل شبه زمرة منتهية غير فارغة دورية، ولها مثالي أدنى وعنصر واحد على الأقل من عناصر التساوي. عدد أنصاف الزمر المنتهية ذات حجم معين (أكبر من 1) أكبر (بشكل بديهي) من عدد الزمر من نفس الحجم. على سبيل المثال، من بين جداول الضرب الستة عشر الممكنة لمجموعة من عنصرين { a , b } ، ثمانية منها تُشكل أنصاف زمر ، بينما أربعة منها فقط أحادية، واثنان فقط تُشكلان زمرًا. لمزيد من المعلومات حول بنية أنصاف الزمر المنتهية، انظر نظرية كروهن-رودس .

فئات خاصة من أنصاف الزمر

نظرية البنية للمجموعات شبه التبادلية

توجد نظرية هيكلية للمجموعات النصفية التبادلية بدلالة الشبكات النصفية . [ 10 ] الشبكة النصفية (أو بتعبير أدق، الشبكة النصفية المتقاطعة) ( L , ≤) هي مجموعة مرتبة جزئيًا حيث يكون لكل زوج من العناصر a , b ∈ L حد أدنى أكبر ، يُرمز له بـ a ∧ b . تجعل العملية ∧ من L مجموعة نصفية تحقق قانون التساوي الإضافي a ∧ a = a .

بالنظر إلى تشاكل f  : S → L من شبه زمرة اختيارية إلى شبه شبكة، فإن كل صورة معكوسة S a = f −1 { a } هي شبه زمرة (قد تكون فارغة). علاوة على ذلك، تصبح S متدرجة بواسطة L ، بمعنى أن S a S b ⊆ S a ∧ b .

إذا كانت الدالة f شاملة، فإن شبه الشبكة L متماثلة مع خارج قسمة S بواسطة علاقة التكافؤ ~ بحيث يكون x ~ y إذا وفقط إذا كان f ( x ) = f ( y ) . علاقة التكافؤ هذه هي تطابق شبه المجموعة، كما هو مُعرَّف أعلاه.

عندما نأخذ خارج قسمة شبه زمرة تبديلية على تطابق، نحصل على شبه زمرة تبديلية أخرى. تنص نظرية البنية على أنه لأي شبه زمرة تبديلية S ، يوجد تطابق أدق ~ بحيث يكون خارج قسمة S على علاقة التكافؤ هذه شبه شبكة. إذا رمزنا لهذه الشبه شبكة بـ L ، نحصل على تشاكل f من S إلى L. وكما ذكرنا، تصبح S متدرجة بواسطة هذه الشبه شبكة.

علاوة على ذلك، فإن جميع المكونات S a هي أنصاف زمر أرخميدية . وشبه الزمرة الأرخميدية هي زمرة يوجد فيها، لأي زوج من العناصر x و y ، عنصر z و n > 0 بحيث يكون x n = yz .

تترتب خاصية أرخميدس مباشرة من الترتيب في شبه الشبكة L ، لأنه مع هذا الترتيب يكون لدينا f ( x ) ≤ f ( y ) إذا وفقط إذا كان x n = yz لبعض z و n > 0 .

مجموعة الكسور

مجموعة الكسور أو إكمال المجموعة لشبه مجموعة S هي المجموعة G = G ( S ) المولدة بواسطة عناصر S كمولدات وجميع المعادلات xy = z التي تتحقق في S كعلاقات . [ 11 ] يوجد تشاكل شبه مجموعة واضح j : S → G ( S ) يُرسل كل عنصر من S إلى المولد المقابل. يتمتع هذا بخاصية عامة للتشاكلات من S إلى مجموعة: [ 12 ] لأي مجموعة H وأي تشاكل شبه مجموعة k : S → H ، يوجد تشاكل مجموعة وحيد f : G → H حيث k = fj . يمكننا اعتبار G المجموعة "الأكثر عمومية" التي تحتوي على صورة تشاكلية لـ S.   

من الأسئلة المهمة تحديد خصائص أنصاف الزمر التي يكون هذا التطبيق بمثابة تضمين لها. ليس بالضرورة أن يكون هذا هو الحال دائمًا: على سبيل المثال، لنفترض أن S هي نصف زمرة المجموعات الجزئية لمجموعة ما X ، حيث يكون التقاطع النظري للمجموعات هو العملية الثنائية (وهذا مثال على نصف شبكة). بما أن A . A = A ينطبق على جميع عناصر S ، فيجب أن ينطبق هذا أيضًا على جميع مولدات G ( S )، وهي بالتالي الزمرة التافهة . من الواضح أنه من الضروري للتضمين أن تتمتع S بخاصية الإلغاء . عندما تكون S تبديلية، يكون هذا الشرط كافيًا أيضًا، [ 13 ] ويمكن بناء زمرة الكسور كزمرة غروتينديك لنصف الزمرة، أو عبر صيغة معدلة قليلاً من البناء القياسي لحقل الكسور في مجال تكاملي. [ 14 ] يمكن تتبع مشكلة أنصاف الزمر غير التبديلية إلى أول ورقة بحثية جوهرية حول أنصاف الزمر. [ 15 ] [ 16 ] قدم أناتولي مالتسيف الشروط اللازمة والكافية للتضمين في عام 1937. [ 17 ]

طرق شبه المجموعة في المعادلات التفاضلية الجزئية

يمكن استخدام نظرية شبه الزمر لدراسة بعض المسائل في مجال المعادلات التفاضلية الجزئية . وبشكل عام، تعتمد نظرية شبه الزمر على اعتبار المعادلة التفاضلية الجزئية المعتمدة على الزمن معادلة تفاضلية عادية على فضاء الدوال. على سبيل المثال، لننظر إلى مسألة القيمة الابتدائية/الحدودية التالية لمعادلة الحرارة على الفترة المكانية (0, 1) ⊂ R والأزمنة t ≥ 0 :

{∂تu(ت،x)=∂x2u(ت،x)،x∈(0،1)،ت>0;u(ت،x)=0،x∈{0،1}،ت>0;u(ت،x)=u0(x)،x∈(0،1)،ت=0.{\displaystyle {\begin{cases}\partial _{t}u(t,x)=\partial _{x}^{2}u(t,x),&x\in (0,1),t>0;\\u(t,x)=0,&x\in \{0,1\},t>0;\\u(t,x)=u_{0}(x),&x\in (0,1),t=0.\end{cases}}}

ليكن X = L² ((0, 1) R ) فضاء الدوال الحقيقية القابلة للتكامل التربيعي في فضاء L²p ، ومجاله الفترة (0, 1) ، وليكن A مؤثر المشتقة الثانية ومجاله

د(أ)={u∈ح2((0،1);R)|u(0)=u(1)=0}،{\displaystyle D(A)={\big \{}u\in H^{2}((0,1);\mathbf {R} ){\big |}u(0)=u(1)=0{\big \}},}

أينح2{\displaystyle H^{2}}إذا كان فضاء سوبوليف ، فيمكن تفسير مسألة القيمة الابتدائية/الحدودية المذكورة أعلاه على أنها مسألة قيمة ابتدائية لمعادلة تفاضلية عادية على الفضاء X :

{u˙(ت)=أu(ت);u(0)=u0.{\displaystyle {\begin{cases}{\dot {u}}(t)=Au(t);\\u(0)=u_{0}.\end{cases}}}

على المستوى الاستدلالي، ينبغي أن يكون حل هذه المشكلة هو u(ت)=خبرة⁡(تأ)u0.{\displaystyle u(t)=\exp(tA)u_{0}.} مع ذلك، وللحصول على معالجة دقيقة، لا بد من تحديد معنى الدالة الأسية لـ tA . باعتبارها دالة لـ t ، فإن exp( tA ) هي شبه زمرة من المؤثرات من X إلى نفسها، تأخذ الحالة الابتدائية u₀ عند الزمن t = 0 إلى الحالة u ( t ) = exp( tA ) u₀ عند الزمن t . ويُقال إن المؤثر A هو المولد المتناهي الصغر لشبه الزمرة.

تاريخ

تأخرت دراسة أنصاف الزمر عن دراسة البنى الجبرية الأخرى ذات البديهيات الأكثر تعقيدًا، مثل الزمر والحلقات . وتُنسب عدة مصادر [ 18 ] [ 19 ] أول استخدام للمصطلح (بالفرنسية) إلى جان-أ. دي سيغييه في كتابه "عناصر نظرية الزمر المجردة" ( Élements de la Théorie des Groupes Abstraits ) عام 1904. وقد استُخدم المصطلح باللغة الإنجليزية عام 1908 في كتاب هارولد هينتون " نظرية الزمر ذات الرتبة المحدودة" .

حقق أنطون سوشكيفيتش أولى النتائج المهمة حول أنصاف الزمر. فقد حددت ورقته البحثية المنشورة عام 1928 بعنوان "Über die endlichen Gruppen ohne das Gesetz der eindeutigen Umkehrbarkeit" ("حول الزمر المنتهية بدون قاعدة الانعكاس الوحيد") بنية أنصاف الزمر البسيطة المنتهية، وأظهرت أن المثالي الأدنى (أو علاقات غرين من الفئة J) لنصف زمرة منتهية هو بسيط. [ 19 ] ومنذ ذلك الحين، وضع ديفيد ريس ، وجيمس ألكسندر غرين ، وإيفجيني سيرجيفيتش ليابين ، وألفريد هـ. كليفورد، وغوردون بريستون ، أسس نظرية أنصاف الزمر . وقد نشر الأخيران دراسة شاملة من مجلدين حول نظرية أنصاف الزمر عامي 1961 و1967 على التوالي. وفي عام 1970، أصبحت دورية جديدة بعنوان " منتدى أنصاف الزمر " (التي تنشرها حاليًا دار نشر سبرينغر ) واحدة من المجلات الرياضية القليلة المخصصة بالكامل لنظرية أنصاف الزمر.

طُوِّرت نظرية تمثيل أنصاف الزمر عام 1963 على يد بوريس شاين باستخدام العلاقات الثنائية على المجموعة A وتركيب العلاقات لحساب حاصل ضرب أنصاف الزمر. [ 20 ] وفي مؤتمر جبري عام 1972، استعرض شاين الأدبيات المتعلقة بـ BA ، وهي أنصاف زمر العلاقات على A. [ 21 ] وفي عام 1997، أثبت شاين ورالف ماكنزي أن كل أنصاف زمر متماثلة مع أنصاف زمر متعدية من العلاقات الثنائية. [ 22 ]

في السنوات الأخيرة، أصبح الباحثون في هذا المجال أكثر تخصصًا مع ظهور دراسات متخصصة حول فئات مهمة من أنصاف المجموعات، مثل أنصاف المجموعات العكسية ، بالإضافة إلى دراسات تركز على التطبيقات في نظرية الأوتوماتا الجبرية ، وخاصة للأوتوماتا المحدودة، وكذلك في التحليل الوظيفي .

التعميمات

هياكل شبيهة بالمجموعات
المجموعجمعيةهويةقابل للقسمة
صهارة جزئيةغير ضروريغير ضروريغير ضروريغير ضروري
شبه مجموعةغير ضروريمطلوبغير ضروريغير ضروري
فئة صغيرةغير ضروريمطلوبمطلوبغير ضروري
مجموعةغير ضروريمطلوبمطلوبمطلوب
ماجمامطلوبغير ضروريغير ضروريغير ضروري
شبه المجموعةمطلوبغير ضروريغير ضروريمطلوب
الصهارة الموحدةمطلوبغير ضروريمطلوبغير ضروري
حلقةمطلوبغير ضروريمطلوبمطلوب
شبه مجموعةمطلوبمطلوبغير ضروريغير ضروري
شبه المجموعة الترابطيةمطلوبمطلوبغير ضروريمطلوب
أحاديمطلوبمطلوبمطلوبغير ضروري
مجموعةمطلوبمطلوبمطلوبمطلوب

إذا تم إسقاط بديهية التجميع لشبه المجموعة، فإن النتيجة هي مجموعة صهارة ، وهي ليست أكثر من مجموعة M مزودة بعملية ثنائية مغلقة M × M → M.

بتعميمٍ في اتجاهٍ مختلف، فإنّ شبه المجموعة من الرتبة n (وتُسمى أيضًا شبه المجموعة n ، أو شبه المجموعة متعددة الحدود، أو شبه المجموعة متعددة العناصر ) هي تعميمٌ لشبه المجموعة إلى مجموعة G مع عملية من الرتبة n بدلًا من عملية ثنائية. [ 23 ] يُعمَّم قانون التجميع كما يلي: التجميع الثلاثي هو ( abc ) de = a ( bcd ) e = ab ( cde ) ، أي السلسلة abcde مع أي ثلاثة عناصر متجاورة بين قوسين. التجميع من الرتبة n هو سلسلة طولها n + ( n - 1) مع أي n عنصرًا متجاورًا بين قوسين. شبه المجموعة من الرتبة 2 هي ببساطة شبه مجموعة. وتؤدي بديهيات أخرى إلى مجموعة من الرتبة n .

التعميم الثالث هو شبه الزمرة ، حيث يُلغى شرط أن تكون العلاقة الثنائية كلية. وبما أن الفئات تعمم المونويدات بنفس الطريقة، فإن شبه الزمرة تتصرف بشكل مشابه للفئة ولكنها تفتقر إلى العناصر المحايدّة.

وقد تناول العديد من المؤلفين في بعض الأحيان التعميمات اللانهائية لأنصاف الزمر التبادلية. [ ج ]

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ يُستدل على بديهية الإغلاق من تعريف العملية الثنائية على مجموعة. ولذلك، يتجاهلها بعض المؤلفين ويحددون ثلاث بديهيات للزمرة وبديهية واحدة فقط (التجميعية) لشبه الزمرة.
  2. ↑ أي: شبه المجموعة التافهة التي يكون فيها (لكل x و y ) xy = a ونظيرتها التي يكون فيها xy = b ، وشبه المجموعات القائمة على الضرب modulo 2 (اختيار a أو b كعنصر محايد 1)، والمجموعات المكافئة للجمع modulo 2 (اختيار a أو b ليكون العنصر المحايد 0)، وشبه المجموعات التي تكون فيها العناصر إما عناصر محايدة يسارية أو عناصر محايدة يمينية.
  3. ↑ انظر المراجع في كتاب أودو هيبيش وهانز يواكيم واينرت، أنصاف الحلقات وأشباه الحقول ، وخاصة القسم 10، أنصاف الحلقات ذات المجاميع اللانهائية ، في كتاب م. هازوينكل ، دليل الجبر، المجلد 1، إلسيفير، 1996. لاحظ أنه في هذا السياق يستخدم المؤلفون مصطلح شبه الوحدة بدلاً من شبه المجموعة .

الاقتباسات

  1. ↑ فيلر 1971
  2. ↑ جاكوبسون 2009 ، ص 30، مثال 5
  3. 1 2 لوسون 1998 ، ص 20 
  4. ↑ كيلب، ماتي؛ كناور، يو.؛ ميخاليف، ألكسندر ف. (2000). المونويدات، والأفعال، والفئات: مع تطبيقات على منتجات الأكاليل والرسوم البيانية  : دليل للطلاب والباحثين . والتر دي جرويتر. ص  25. ISBN 978-3-11-015248-7. Zbl 0945.20036 . 
  5. ↑ ليابين، إي إس (1968). أنصاف الزمر . الجمعية الرياضية الأمريكية. ص 96. ISBN  978-0-8218-8641-0.
  6. ↑ لوثير 2011 ، ص 463
  7. ↑ لوثير 2011 ، ص 465
  8. ↑ بين، جان إريك (30 نوفمبر 2016). الأسس الرياضية لنظرية الأوتوماتا (ملف PDF) . ص 19. 
  9. ↑ كليفورد وبريستون 2010 ، ص 3
  10. ↑ جريليه 2001
  11. ↑ فارب، ب. (2006). مسائل حول رسم مجموعات الفئات والمواضيع ذات الصلة . الجمعية الأمريكية للرياضيات، ص 357. ISBN  978-0-8218-3838-9.
  12. ^ أوسلاندر، م. بوخسباوم، دا (1974). المجموعات والخواتم والوحدات . هاربر ورو. ص. 50. رقم ISBN  978-0-06-040387-4.
  13. ↑ كليفورد وبريستون 1961 ، ص 34
  14. ↑ كاين 2012 ، النظرية 6.1.
  15. ↑ سوشكيفيتش 1928
  16. ↑ بريستون، جي بي (1990). ذكريات شخصية عن التاريخ المبكر لأنصاف المجموعات . مؤرشف من الأصل في 9 يناير 2009. تم الاسترجاع في 12 مايو 2009 .
  17. ↑ مالتسيف، أ. (1937). "حول غمر حلقة جبرية في حقل". حوليات الرياضيات . 113 : 686-691 . doi : 10.1007/BF01571659 . S2CID 122295935 . 
  18. ↑ "أقدم الاستخدامات المعروفة لبعض كلمات الرياضيات" .
  19. 1 2 "تقرير عن ورقة سوشكيفيتش بقلم كريستوفر هولينغز" (ملف PDF) . مؤرشف من الأصل (ملف PDF) بتاريخ 25-10-2009.
  20. ↑ بي إم شاين (1963) "تمثيلات أنصاف المجموعات بواسطة العلاقات الثنائية" (بالروسية)، مجموعة الرياضيات 60: 292-303 MR 0153760 
  21. ↑ بي إم شاين (1972) مؤتمر مصغر حول نظرية شبه المجموعة ، MR 0401970 
  22. ↑ بي إم شاين و ر. ماكنزي (1997) "كل شبه زمرة متماثلة مع شبه زمرة متعدية من العلاقات الثنائية"، معاملات الجمعية الرياضية الأمريكية 349(1): 271-85 MR 1370647 
  23. ↑ دوديك، دبليو إيه (2001). "حول بعض المشكلات القديمة في الزمر من الرتبة n " . الزمر شبهية والأنظمة ذات الصلة . 8 : 15-36 . مؤرشف من الأصل في 14-07-2009.

مراجع

مراجع عامة

مراجع محددة