قاعدة ساروس

في نظرية المصفوفات ، تُعد قاعدة ساروس أداة تذكيرية لحساب محدد مصفوفة${\displaystyle 3\times 3}$المصفوفة سميت على اسم عالم الرياضيات الفرنسي بيير فريدريك ساروس . ^{[ 1 ]}

ضع في اعتبارك${\displaystyle 3\times 3}$مصفوفة

${\displaystyle M={\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}}$

ثم يمكن حساب محددها باستخدام المخطط التالي.

اكتب العمودين الأولين من المصفوفة على يمين العمود الثالث، لتحصل على خمسة أعمدة متتالية. ثم اجمع نواتج ضرب الأقطار من الأعلى إلى الأسفل (الخط المتصل) واطرح نواتج ضرب الأقطار من الأسفل إلى الأعلى (الخط المتقطع). ينتج عن ذلك ^{[ 1 ] [ 2 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\det(M)={\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}=aei+bfg+cdh-gec-hfa-idb.\end{aligned}}}$

يُمكن تطبيق مخطط مماثل يعتمد على الأقطار لـ${\displaystyle 2\times 2}$المصفوفات: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}=ad-bc}$

كلاهما حالتان خاصتان من صيغة لايبنتز ، التي لا تُنتج مع ذلك مخططات حفظ مماثلة للمصفوفات الأكبر حجمًا. يمكن إيجاد محددات المصفوفات من الرتبة 4×4 بتوسيع الصف أو العمود الأنسب باستخدام المرافقات، ثم تطبيق القاعدة على كل محدد من المحددات الناتجة (خاصةً إذا كانت هناك عناصر في المصفوفة تساوي صفرًا). بالنسبة للمصفوفات التي تتجاوز 4×4، يصبح ذلك غير عملي إلا في حالات محددة حيث يوجد العديد من العناصر الصفرية. يمكن أيضًا اشتقاق قاعدة ساروس باستخدام توسيع لابلاس لـ${\displaystyle 3\times 3}$المصفوفة. ^{[ 1 ]}

هناك طريقة أخرى للتفكير في قاعدة ساروس وهي تخيل أن المصفوفة ملفوفة حول أسطوانة، بحيث يتم ربط الحواف اليمنى واليسرى.

• حكم ساروس في بلانيت ماث
• الجبر الخطي: قاعدة ساروس للمحددات على موقع khanacademy.org