توسيع لابلاس

في الجبر الخطي ، يُعرف مفكوك لابلاس ، نسبةً إلى بيير سيمون لابلاس ، ويُسمى أيضًا مفكوك المرافقات ، بأنه تعبير عن محدد مصفوفة B من الرتبة n × n كمجموع مرجح للمحددات الفرعية ، وهي محددات بعض المصفوفات الفرعية من الرتبة ( n − 1) × ( n − 1) من B. وبالتحديد، لكل i ، يكون مفكوك لابلاس على طول الصف i هو المساواة التالية :$${\displaystyle {\begin{aligned}\det(B)&=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}b_{i,j}m_{i,j},\end{aligned}}}$$ أين${\displaystyle b_{i,j}}$يمثل العنصر الموجود في الصف i والعمود j من المصفوفة B ، و${\displaystyle m_{i,j}}$يمثل المحدد للمصفوفة الفرعية الناتجة عن حذف الصف i والعمود j من المصفوفة B. وبالمثل، فإن توسيع لابلاس على طول العمود j هو المساواة $${\displaystyle {\begin{aligned}\det(B)&=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+j}b_{i,j}m_{i,j}.\end{aligned}}}$$ (كل عنصر متطابق يستلزم الآخر، لأن محددات كل من المصفوفة ومنقولتها هي نفسها.)

المعامل${\displaystyle (-1)^{i+j}m_{i,j}}$ل${\displaystyle b_{i,j}}$يُطلق على العامل المرافق في المجموع أعلاه اسم العامل المرافق لـ${\displaystyle b_{i,j}}$في ب .

يُعدّ توسيع لابلاس مفيدًا في البراهين، كما في السماح، على سبيل المثال، بالاستدلال التكراري على حجم المصفوفات. وهو ذو أهمية تعليمية أيضًا لبساطته، ولأنه أحد الطرق العديدة لعرض وحساب المحدد. بالنسبة للمصفوفات الكبيرة، يصبح حسابه غير فعال بسرعة مقارنةً بطريقة الحذف الغاوسي .

ضع في اعتبارك المصفوفة

${\displaystyle B={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}}.}$

يمكن حساب محدد هذه المصفوفة باستخدام متسلسلة لابلاس على طول أي صف أو عمود منها. على سبيل المثال، ينتج عن المتسلسلة على طول الصف الأول ما يلي:

${\displaystyle {\begin{aligned}|B|&=1\cdot {\begin{vmatrix}5&6\\8&9\end{vmatrix}}-2\cdot {\begin{vmatrix}4&6\\7&9\end{vmatrix}}+3\cdot {\begin{vmatrix}4&5\\7&8\end{vmatrix}}\\[5pt]&=1\cdot (-3)-2\cdot (-6)+3\cdot (-3)=0.\end{aligned}}}$

يؤدي توسيع لابلاس على طول العمود الثاني إلى نفس النتيجة:

${\displaystyle {\begin{aligned}|B|&=-2\cdot {\begin{vmatrix}4&6\\7&9\end{vmatrix}}+5\cdot {\begin{vmatrix}1&3\\7&9\end{vmatrix}}-8\cdot {\begin{vmatrix}1&3\\4&6\end{vmatrix}}\\[5pt]&=-2\cdot (-6)+5\cdot (-12)-8\cdot (-6)=0.\end{aligned}}}$

من السهل التحقق من صحة النتيجة: المصفوفة منفردة لأن مجموع عمودها الأول والثالث يساوي ضعف العمود الثاني، وبالتالي فإن محددها يساوي صفرًا.

يفترض${\displaystyle B}$هي مصفوفة من الرتبة n × n و${\displaystyle i,j\in \{1,2,\dots ,n\}.}$ولتوضيح الأمر، قمنا أيضاً بتسمية مدخلات${\displaystyle B}$التي تشكلها${\displaystyle i,j}$المصفوفة الثانوية${\displaystyle M_{ij}}$مثل

${\displaystyle (a_{st})}$ل${\displaystyle 1\leq s,t\leq n-1.}$

ضع في اعتبارك الحدود في توسيع${\displaystyle |B|}$التي لديها${\displaystyle b_{ij}}$كعامل. لكل منها الشكل

${\displaystyle \operatorname {sgn} \tau \,b_{1,\tau (1)}\cdots b_{i,j}\cdots b_{n,\tau (n)}=\operatorname {sgn} \tau \,b_{ij}a_{1,\sigma (1)}\cdots a_{n-1,\sigma (n-1)}}$

لبعض التبديلات τ ∈ S _n مع${\displaystyle \tau (i)=j}$وترتيب فريد ومرتبط بشكل واضح${\displaystyle \sigma \in S_{n-1}}$والذي يختار نفس المدخلات الثانوية مثل τ . وبالمثل، يحدد كل اختيار لـ σ قيمة τ المقابلة ، أي التطابق.${\displaystyle \sigma \leftrightarrow \tau }$هو تقابل بين${\displaystyle S_{n-1}}$و${\displaystyle \{\tau \in S_{n}\colon \tau (i)=j\}.}$ باستخدام تدوين كوشي ذي السطرين ، العلاقة الصريحة بين${\displaystyle \tau }$و${\displaystyle \sigma }$يمكن كتابتها على النحو التالي

${\displaystyle \sigma ={\begin{pmatrix}1&2&\cdots &i&\cdots &n-1\\(\leftarrow )_{j}(\tau (1))&(\leftarrow )_{j}(\tau (2))&\cdots &(\leftarrow )_{j}(\tau (i+1))&\cdots &(\leftarrow )_{j}(\tau (n))\end{pmatrix}}}$

أين${\displaystyle (\leftarrow )_{j}}$هي اختصار مؤقت للدورة${\displaystyle (n,n-1,\cdots ,j+1,j)}$تُقلل هذه العملية جميع المؤشرات الأكبر من j بحيث يتناسب كل مؤشر مع المجموعة {1، 2، ...، n-1}

يمكن اشتقاق التبديل τ من σ كما يلي. عرّف${\displaystyle \sigma '\in S_{n}}$بواسطة${\displaystyle \sigma '(k)=\sigma (k)}$ل${\displaystyle 1\leq k\leq n-1}$و${\displaystyle \sigma '(n)=n}$. ثم${\displaystyle \sigma '}$يُعبّر عنه بـ

${\displaystyle \sigma '={\begin{pmatrix}1&2&\cdots &i&\cdots &n-1&n\\(\leftarrow )_{j}(\tau (1))&(\leftarrow )_{j}(\tau (2))&\cdots &(\leftarrow )_{j}(\tau (i+1))&\cdots &(\leftarrow )_{j}(\tau (n))&n\end{pmatrix}}}$

والآن، العملية التي تنطبق${\displaystyle (\leftarrow )_{i}}$أولاً ثم قم بالتطبيق${\displaystyle \sigma '}$(لاحظ أن تطبيق A قبل B يعادل تطبيق معكوس A على الصف العلوي من B في تدوين السطرين)

${\displaystyle \sigma '(\leftarrow )_{i}={\begin{pmatrix}1&2&\cdots &i+1&\cdots &n&i\\(\leftarrow )_{j}(\tau (1))&(\leftarrow )_{j}(\tau (2))&\cdots &(\leftarrow )_{j}(\tau (i+1))&\cdots &(\leftarrow )_{j}(\tau (n))&n\end{pmatrix}}}$

أين${\displaystyle (\leftarrow )_{i}}$هي اختصار مؤقت لـ${\displaystyle (n,n-1,\cdots ,i+1,i)}$.

العملية التي تنطبق${\displaystyle \tau }$أولاً ثم يطبق${\displaystyle (\leftarrow )_{j}}$يكون

${\displaystyle (\leftarrow )_{j}\tau ={\begin{pmatrix}1&2&\cdots &i&\cdots &n-1&n\\(\leftarrow )_{j}(\tau (1))&(\leftarrow )_{j}(\tau (2))&\cdots &n&\cdots &(\leftarrow )_{j}(\tau (n-1))&(\leftarrow )_{j}(\tau (n))\end{pmatrix}}}$

وبالتالي، فإن الاثنين المذكورين أعلاه متساويان.

${\displaystyle (\leftarrow )_{j}\tau =\sigma '(\leftarrow )_{i}}$

${\displaystyle \tau =(\rightarrow )_{j}\sigma '(\leftarrow )_{i}}$

أين${\displaystyle (\rightarrow )_{j}}$هو عكس${\displaystyle (\leftarrow )_{j}}$وهو${\displaystyle (j,j+1,\cdots ,n)}$.

هكذا

${\displaystyle \tau \,=(j,j+1,\ldots ,n)\sigma '(n,n-1,\ldots ,i)}$

بما أن الدورتين يمكن كتابتهما على التوالي على النحو التالي${\displaystyle n-i}$و${\displaystyle n-j}$التبديلات ،

${\displaystyle \operatorname {sgn} \tau \,=(-1)^{2n-(i+j)}\operatorname {sgn} \sigma '\,=(-1)^{i+j}\operatorname {sgn} \sigma .}$

ومنذ الخريطة${\displaystyle \sigma \leftrightarrow \tau }$دالة تقابلية،

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=1}^{n}\sum _{\tau \in S_{n}:\tau (i)=j}\operatorname {sgn} \tau \,b_{1,\tau (1)}\cdots b_{n,\tau (n)}&=\sum _{i=1}^{n}\sum _{\sigma \in S_{n-1}}(-1)^{i+j}\operatorname {sgn} \sigma \,b_{ij}a_{1,\sigma (1)}\cdots a_{n-1,\sigma (n-1)}\\&=\sum _{i=1}^{n}b_{ij}(-1)^{i+j}\sum _{\sigma \in S_{n-1}}\operatorname {sgn} \sigma \,a_{1,\sigma (1)}\cdots a_{n-1,\sigma (n-1)}\\&=\sum _{i=1}^{n}b_{ij}(-1)^{i+j}M_{ij}\end{aligned}}}$

ومن ثمّ تترتب النتيجة. وبالمثل، تبقى النتيجة صحيحة إذا تم استبدال فهرس المجموع الخارجي بـ${\displaystyle j}$[ ^{1 ]​}

يمكن تعميم توسيع المرافقات لابلاس على النحو التالي.

يُعدّ توسيع لابلاس غير فعال حسابيًا للمصفوفات عالية الأبعاد، حيث تبلغ تعقيداته الزمنية O ( n !) وفقًا لترميز Big O. في المقابل، يمكن استخدام تحليل المصفوفات إلى مصفوفات مثلثية ، كما في تحليل LU، ^للحصول على محددات ذات تعقيد زمني O ( n³ ) . ^{[ 2 ]} يُنفّذ كود بايثون التالي توسيع لابلاس:

def determineminant ( M ): # الحالة الأساسية للدالة التكرارية: مصفوفة 1x1 إذا كان طول ( M ) == 1 : return M [ 0 ][ 0 ]المجموع = 0 لكل عمود ، عنصر في تعداد ( M [ 0 ]): # استبعاد الصف الأول والعمود الحالي. K = [ x [: column ] + x [ column + 1 :] لكل x في M [ 1 :]] s = 1 إذا كان العمود % 2 == 0 وإلا -1 المجموع + = s * العنصر * المحدد ( K ) إرجاع المجموع

• صيغة لايبنيز للمحددات
• قاعدة ساروس لـ${\displaystyle 3\times 3}$المحددات

• ديفيد بول: الجبر الخطي. مقدمة حديثة . سينجايج ليرنينج 2005، رقم ISBN 0-534-99845-3، الصفحات  265-267 ( نسخة إلكترونية محدودة ، الصفحة 265، على كتب جوجل )
• هارفي إي. روز: الجبر الخطي: مدخل رياضي بحت . سبرينغر 2002، رقم ISBN 3-7643-6905-1، الصفحات  57-60 ( نسخة إلكترونية محدودة ، الصفحة 57، على كتب جوجل )