صيغة لايبنيز للمحددات

في الجبر ، تُعبّر صيغة لايبنتز ، التي سُميت تكريماً لغوتفريد لايبنتز ، عن محدد المصفوفة المربعة بدلالة تباديل عناصر المصفوفة.${\displaystyle A}$هو${\displaystyle n\times n}$المصفوفة، حيث${\displaystyle a_{ij}}$هو المدخل في${\displaystyle i}$الصف رقم -th و${\displaystyle j}$العمود رقم - من${\displaystyle A}$الصيغة هي ^{[ 1 ]}

${\displaystyle \det(A)=\sum _{\tau \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\tau )\prod _{i=1}^{n}a_{i\tau (i)}=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{\sigma (i)i}}$

أين${\displaystyle \operatorname {sgn} }$هي دالة الإشارة للتباديل في مجموعة التبديلات${\displaystyle S_{n}}$، وهو ما يعود${\displaystyle +1}$و${\displaystyle -1}$للتباديل الزوجية والفردية على التوالي.

هناك طريقة أخرى شائعة لاستخدام الصيغة وهي استخدام رمز ليفي-تشيفيتا ، وتعتمد على تدوين جمع أينشتاين ، حيث تصبح

${\displaystyle \det(A)=\epsilon _{i_{1}\cdots i_{n}}{a}_{1i_{1}}\cdots {a}_{ni_{n}},}$

وهو ما قد يكون أكثر ألفة لدى الفيزيائيين.

يتطلب التقييم المباشر لصيغة لايبنتز من التعريف${\displaystyle \Omega (n!\cdot n)}$ العمليات بشكل عام - أي عدد من العمليات التي تتناسب تقاربياً مع${\displaystyle n}$المضروب —لأن${\displaystyle n!}$هو عدد الطلبات-${\displaystyle n}$التباديل. هذا صعب للغاية حتى بالنسبة للأعداد الصغيرة نسبيًا${\displaystyle n}$بدلاً من ذلك، يمكن تقييم المحدد في${\displaystyle O(n^{3})}$العمليات عن طريق تشكيل تحليل LU${\displaystyle A=LU}$(عادةً عن طريق الحذف الغاوسي أو طرق مماثلة)، وفي هذه الحالة${\displaystyle \det A=\det L\cdot \det U}$ومحددات المصفوفات المثلثية${\displaystyle L}$و${\displaystyle U}$هي ببساطة حاصل ضرب عناصر قطرها. (مع ذلك، في التطبيقات العملية للجبر الخطي العددي ، نادرًا ما تكون هناك حاجة إلى حساب صريح للمحدد). انظر، على سبيل المثال، Trefethen & Bau (1997) . يمكن أيضًا حساب قيمة المحدد في عدد أقل من${\displaystyle O(n^{3})}$يمكن إجراء العمليات عن طريق اختزال المشكلة إلى ضرب المصفوفات ، ولكن معظم هذه الخوارزميات غير عملية.

نظرية. توجد دالة واحدة فقط${\displaystyle F:M_{n}(\mathbb {K} )\rightarrow \mathbb {K} }$وهو متعدد الخطية بالتناوب بالنسبة للأعمدة، بحيث${\displaystyle F(I)=1}$.

دليل.

التفرد: دع${\displaystyle F}$لتكن هذه دالة، ولتكن${\displaystyle A=(a_{i}^{j})_{i=1,\dots ,n}^{j=1,\dots ,n}}$كن${\displaystyle n\times n}$مصفوفة. اتصل${\displaystyle A^{j}}$ال${\displaystyle j}$العمود رقم - من${\displaystyle A}$، أي${\displaystyle A^{j}=(a_{i}^{j})_{i=1,\dots ,n}}$، لهذا السبب${\displaystyle A=\left(A^{1},\dots ,A^{n}\right).}$

دع أيضًا${\displaystyle E^{k}}$يشير إلى${\displaystyle k}$المتجه العمودي رقم -th من مصفوفة الوحدة .

والآن يكتب كل واحد من${\displaystyle A^{j}}$'s من حيث${\displaystyle E^{k}}$، أي

${\displaystyle A^{j}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{j}E^{k}}$.

مثل${\displaystyle F}$إذا كان متعدد الخطوط، فإن المرء لديه

${\displaystyle {\begin{aligned}F(A)&=F\left(\sum _{k_{1}=1}^{n}a_{k_{1}}^{1}E^{k_{1}},\dots ,\sum _{k_{n}=1}^{n}a_{k_{n}}^{n}E^{k_{n}}\right)=\sum _{k_{1},\dots ,k_{n}=1}^{n}\left(\prod _{i=1}^{n}a_{k_{i}}^{i}\right)F\left(E^{k_{1}},\dots ,E^{k_{n}}\right).\end{aligned}}}$

يستنتج من التناوب أن أي حد ذي فهارس متكررة يساوي صفرًا. وبالتالي، يمكن حصر المجموع في الصفوف ذات الفهارس غير المتكررة، أي التباديل.

${\displaystyle F(A)=\sum _{\sigma \in S_{n}}\left(\prod _{i=1}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)F(E^{\sigma (1)},\dots ,E^{\sigma (n)}).}$

لأن F متناوب، فإن الأعمدة${\displaystyle E}$يمكن تبديلها حتى تصبح عنصرًا محايدًا. دالة الإشارة${\displaystyle \operatorname {sgn}(\sigma )}$يُعرَّف هذا المصطلح لحساب عدد عمليات التبديل اللازمة ومراعاة تغيير الإشارة الناتج. والنتيجة النهائية هي:

${\displaystyle {\begin{aligned}F(A)&=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\left(\prod _{i=1}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)F(I)\\&=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\end{aligned}}}$

مثل${\displaystyle F(I)}$يشترط أن يكون مساوياً لـ${\displaystyle 1}$.

لذلك، لا يمكن لأي دالة أخرى غير الدالة المعرفة بصيغة لايبنيز أن تكون دالة متناوبة متعددة الخطية مع${\displaystyle F\left(I\right)=1}$.

الوجود: سنوضح الآن أن F، حيث F هي الدالة المعرفة بواسطة صيغة لايبنيز، لها هذه الخصائص الثلاث.

متعدد الخطوط :

${\displaystyle {\begin{aligned}F(A^{1},\dots ,cA^{j},\dots )&=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )ca_{\sigma (j)}^{j}\prod _{i=1,i\neq j}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\\&=c\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )a_{\sigma (j)}^{j}\prod _{i=1,i\neq j}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\\&=cF(A^{1},\dots ,A^{j},\dots )\\\\F(A^{1},\dots ,b+A^{j},\dots )&=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\left(b_{\sigma (j)}+a_{\sigma (j)}^{j}\right)\prod _{i=1,i\neq j}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\\&=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\left(\left(b_{\sigma (j)}\prod _{i=1,i\neq j}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)+\left(a_{\sigma (j)}^{j}\prod _{i=1,i\neq j}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)\right)\\&=\left(\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )b_{\sigma (j)}\prod _{i=1,i\neq j}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)+\left(\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)\\&=F(A^{1},\dots ,b,\dots )+F(A^{1},\dots ,A^{j},\dots )\\\\\end{aligned}}}$

بالتناوب :

${\displaystyle {\begin{aligned}F(\dots ,A^{j_{1}},\dots ,A^{j_{2}},\dots )&=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\left(\prod _{i=1,i\neq j_{1},i\neq j_{2}}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)a_{\sigma (j_{1})}^{j_{1}}a_{\sigma (j_{2})}^{j_{2}}\\\end{aligned}}}$

لأي${\displaystyle \sigma \in S_{n}}$يترك${\displaystyle \sigma '}$ليكن الزوج المرتب مساوياً لـ${\displaystyle \sigma }$مع${\displaystyle j_{1}}$و${\displaystyle j_{2}}$تم تبديل المؤشرات.

${\displaystyle {\begin{aligned}F(A)&=\sum _{\sigma \in S_{n},\sigma (j_{1})<\sigma (j_{2})}\left[\operatorname {sgn}(\sigma )\left(\prod _{i=1,i\neq j_{1},i\neq j_{2}}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)a_{\sigma (j_{1})}^{j_{1}}a_{\sigma (j_{2})}^{j_{2}}+\operatorname {sgn}(\sigma ')\left(\prod _{i=1,i\neq j_{1},i\neq j_{2}}^{n}a_{\sigma '(i)}^{i}\right)a_{\sigma '(j_{1})}^{j_{1}}a_{\sigma '(j_{2})}^{j_{2}}\right]\\&=\sum _{\sigma \in S_{n},\sigma (j_{1})<\sigma (j_{2})}\left[\operatorname {sgn}(\sigma )\left(\prod _{i=1,i\neq j_{1},i\neq j_{2}}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)a_{\sigma (j_{1})}^{j_{1}}a_{\sigma (j_{2})}^{j_{2}}-\operatorname {sgn}(\sigma )\left(\prod _{i=1,i\neq j_{1},i\neq j_{2}}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)a_{\sigma (j_{2})}^{j_{1}}a_{\sigma (j_{1})}^{j_{2}}\right]\\&=\sum _{\sigma \in S_{n},\sigma (j_{1})<\sigma (j_{2})}\operatorname {sgn}(\sigma )\left(\prod _{i=1,i\neq j_{1},i\neq j_{2}}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)\underbrace {\left(a_{\sigma (j_{1})}^{j_{1}}a_{\sigma (j_{2})}^{j_{2}}-a_{\sigma (j_{1})}^{j_{2}}a_{\sigma (j_{2})}^{j_{_{1}}}\right)} _{=0{\text{, if }}A^{j_{1}}=A^{j_{2}}}\\\\\end{aligned}}}$

وبالتالي إذا${\displaystyle A^{j_{1}}=A^{j_{2}}}$ثم${\displaystyle F(\dots ,A^{j_{1}},\dots ,A^{j_{2}},\dots )=0}$.

أخيراً،${\displaystyle F(I)=1}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}F(I)&=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}I_{\sigma (i)}^{i}=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}\operatorname {\delta } _{i,\sigma (i)}\\&=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\operatorname {\delta } _{\sigma ,\operatorname {id} _{\{1\ldots n\}}}=\operatorname {sgn}(\operatorname {id} _{\{1\ldots n\}})=1\end{aligned}}}$

وبالتالي فإن الدوال الخطية المتعددة المتناوبة الوحيدة هي تلك التي${\displaystyle F(I)=1}$تقتصر هذه الخصائص على الدالة المُعرَّفة بصيغة لايبنتز، وهي في الواقع تمتلك هذه الخصائص الثلاث أيضًا. لذا، يمكن تعريف المحدد على أنه الدالة الوحيدة.${\displaystyle \det :M_{n}(\mathbb {K} )\rightarrow \mathbb {K} }$بهذه الخصائص الثلاث.

• المصفوفة
• توسيع لابلاس
• قاعدة كرامر

• "المحدد" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS، 2001 [1994]
• تريفثين، لويد ن.؛ باو ، ديفيد (1 يونيو 1997). الجبر الخطي العددي . سيام . رقم ISBN 978-0898713619.