تقديرات شاودر

📅 آخر تحديث: ١ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ١ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 29 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، وتحديدًا في التحليل الوظيفي والمعادلات التفاضلية الجزئية ، تُعدّ تقديرات شاودر مجموعة من النتائج التي وضعها يوليوس شاودر ( 1934 ، 1937 ) والمتعلقة بانتظام حلول المعادلات التفاضلية الجزئية الخطية الإهليلجية المنتظمة . تنص هذه التقديرات على أنه عندما تحتوي المعادلة على حدود وحلول سلسة بشكل مناسب، فإنه يمكن التحكم في معيار هولدر للحل بدلالة معايير هولدر لمعاملات وحدود المصدر. ولأن هذه التقديرات تفترض وجود حل، فإنها تُسمى تقديرات قبلية . 

توجد نتيجة داخلية تُعطي شرط هولدر للحل في المجالات الداخلية البعيدة عن الحدود، ونتيجة حدودية تُعطي شرط هولدر للحل في المجال بأكمله. يعتمد الحد الأول فقط على البُعد المكاني والمعادلة والمسافة إلى الحدود؛ بينما يعتمد الحد الثاني على نعومة الحدود أيضًا.

تُعدّ تقديرات شاودر شرطًا أساسيًا لاستخدام طريقة الاستمرارية لإثبات وجود وانتظام حلول مسألة ديريشليه للمعادلات التفاضلية الجزئية الإهليلجية. وتنص هذه النتيجة على أنه عندما تكون معاملات المعادلة وطبيعة الشروط الحدية سلسة بدرجة كافية، يوجد حل كلاسيكي سلس للمعادلة التفاضلية الجزئية.

الترميز

يتم تقديم تقديرات شاودر من حيث معايير هولدر الموزونة؛ وسيتبع الترميز ما ورد في نص د. جيلبارج ونيل ترودينجر ( 1983 ) . 

المعيار الأعلى لدالة متصلةو∈ج(Ω){\displaystyle f\in C(\Omega )}يُعطى بواسطة

|و|0؛Ω=رشفةx∈Ω|و(x)|{\displaystyle |f|_{0;\Omega }=\sup _{x\in \Omega }|f(x)|}

بالنسبة لدالة متصلة وفقًا لشرط هولدر مع أسα{\displaystyle \alpha }أيو∈ج0،α(Ω){\displaystyle f\in C^{0,\alpha }(\Omega )}، يُعطى شبه معيار هولدر المعتاد بواسطة

[و]0،α؛Ω=رشفةx،y∈Ω|و(x)-و(y)||x-y|α.{\displaystyle [f]_{0,\alpha ;\Omega }=\sup _{x,y\in \Omega }{\frac {|f(x)-f(y)|}{|xy|^{\alpha }}}.}

مجموع الاثنين هو معيار هولدر الكامل لـ f

|و|0،α؛Ω=|و|0؛Ω+[و]0،α؛Ω=رشفةx∈Ω|و(x)|+رشفةx،y∈Ω|و(x)-و(y)||x-y|α.{\displaystyle |f|_{0,\alpha ;\Omega }=|f|_{0;\Omega }+[f]_{0,\alpha  ;\Omega }=\sup _{x\in \Omega }|f(x)|+\sup _{x,y\in \Omega }{\frac {|f(x)-f(y)|}{|xy|^{\alpha }}}.}

بالنسبة للدوال القابلة للتفاضل u ، من الضروري النظر في المعايير ذات الرتبة الأعلى، والتي تتضمن المشتقات. المعيار في فضاء الدوال ذات k مشتقة متصلة،جك(Ω){\displaystyle C^{k}(\أوميغا )}، يتم تحديده بواسطة

|u|ك؛Ω=∑|β|≤كرشفةx∈Ω|دβu(x)|{\displaystyle |u|_{k;\Omega }=\sum _{|\beta |\leq k}\sup _{x\in \Omega }|D^{\beta }u(x)|}

أينβ{\displaystyle \beta }تتراوح على جميع المؤشرات المتعددة من الرتب المناسبة. بالنسبة للدوال ذات المشتقات من الرتبة k والتي تكون متصلة هولدر مع الأسα{\displaystyle \alpha }، ويُعطى المعيار شبه المناسب بواسطة

[u]ك،α؛Ω=رشفة|β|=كx،y∈Ω|دβu(x)-دβu(y)||x-y|α{\displaystyle [u]_{k,\alpha ;\Omega }=\sup _{\stackrel {x,y\in \Omega }{|\beta |=k}}{\frac {|D^{\beta }u(x)-D^{\beta }u(y)|}{|xy|^{\alpha }}}}

مما يعطي معيارًا كاملاً لـ

|u|ك،α؛Ω=|u|ك؛Ω+[u]ك،α؛Ω=∑|β|≤كرشفةx∈Ω|دβu(x)|+رشفة|β|=كx،y∈Ω|دβu(x)-دβu(y)||x-y|α.{\displaystyle |u|_{k,\alpha ;\Omega }=|u|_{k;\Omega }+[u]_{k,\alpha  ;\Omega }=\sum _{|\beta |\leq k}\sup _{x\in \Omega }|D^{\beta }u(x)|+\sup _{\stackrel {x,y\in \Omega }{|\beta |=k}}{\frac {|D^{\beta }u(x)-D^{\beta }u(y)|}{|xy|^{\alpha }}}.}

بالنسبة للتقديرات الداخلية، يتم ترجيح المعايير حسب المسافة إلى الحدود.

دx=د(x،∂Ω){\displaystyle d_{x}=d(x,\partial \Omega )}

مرفوعة إلى نفس قوة المشتقة، ويتم ترجيح أنصاف المعايير بواسطة

دx،y=مين(دx،دy){\displaystyle d_{x,y}=\min(d_{x},d_{y})}

مرفوعة إلى القوة المناسبة. يُعطى المعيار الداخلي الموزون الناتج لدالة ما بالصيغة التالية:

|u|ك،α؛Ω*=|u|ك؛Ω*+[u]ك،α؛Ω*=∑|β|≤كرشفةx∈Ω|دx|β|دβu(x)|+رشفة|β|=كx،y∈Ωدx،yك+α|دβu(x)-دβu(y)||x-y|α{\displaystyle |u|_{k,\alpha ;\Omega }^{*}=|u|_{k;\Omega }^{*}+[u]_{k,\alpha  ;\Omega }^{*}=\sum _{|\beta |\leq k}\sup _{x\in \Omega }|d_{x}^{|\beta |}D^{\beta }u(x)|+\sup _{\stackrel {x,y\in \Omega }{|\beta |=k}}d_{x,y}^{k+\alpha }{\frac {|D^{\beta }u(x)-D^{\beta }u(y)|}{|xy|^{\alpha }}}}

قد يكون من الضروري أحيانًا إضافة قوى "إضافية" للوزن، ويرمز لها بـ

|u|ك،α؛Ω(م)=|u|ك؛Ω(م)+[u]ك،α؛Ω(م)=∑|β|≤كرشفةx∈Ω|دx|β|+مدβu(x)|+رشفة|β|=كx،y∈Ωدx،yم+ك+α|دβu(x)-دβu(y)||x-y|α.{\displaystyle |u|_{k,\alpha ;\Omega }^{(m)}=|u|_{k;\Omega }^{(m)}+[u]_{k,\alpha  ;\Omega }^{(m)}=\sum _{|\beta |\leq k}\sup _{x\in \Omega }|d_{x}^{|\beta |+m}D^{\beta }u(x)|+\sup _{\stackrel {x,y\in \Omega }{|\beta |=k}}d_{x,y}^{m+k+\alpha }{\frac {|D^{\beta }u(x)-D^{\beta }u(y)|}{|xy|^{\alpha }}}.}

التركيبة

تم أخذ الصيغ الواردة في هذا القسم من نص D. Gilbarg و Neil Trudinger ( 1983 ) . 

تقديرات داخلية

لنفترض حلاً محدوداًu∈ج2،α(Ω){\displaystyle u\in C^{2,\alpha }(\Omega )}على النطاقΩأوميغاإلى المعادلة التفاضلية الجزئية الإهليلجية من الدرجة الثانية

∑أنا،جأأنا،ج(x)دأنادجu(x)+∑أنابأنا(x)دأناu(x)+ج(x)u(x)=و(x){\displaystyle \sum _{i,j}a_{i,j}(x)D_{i}D_{j}u(x)+\sum _{i}b_{i}(x)D_{i}u(x)+c(x)u(x)=f(x)}

حيث يحقق مصطلح المصدرو∈جα(Ω){\displaystyle f\in C^{\alpha }(\Omega )}إذا كان هناك ثابتλ>0{\displaystyle \lambda >0}بحيث يكونأأنا،ج{\displaystyle a_{i,j}}هي إهليلجية تمامًا،

∑أأنا،ج(x)ξأناξج≥λ|ξ|2{\displaystyle \sum a_{i,j}(x)\xi _{i}\xi _{j}\geq \lambda |\xi |^{2}}للجميعx∈Ω،ξ∈Rن{\displaystyle x\in \Omega ,\xi \in \mathbb {R} ^{n}}

وتكون جميع معاملات المعايير ذات الصلة محدودة بثابت آخرΛ{\displaystyle \Lambda }

|أأنا،ج|0،α؛Ω،|بأنا|0،α؛Ω(1)،|ج|0،α؛Ω(2)≤Λ.{\displaystyle |a_{i,j}|_{0,\alpha ;\Omega },|b_{i}|_{0,\alpha  ;\Omega }^{(1)},|c|_{0,\alpha  ;\Omega }^{(2)}\leq \Lambda .}

ثم المرجحج2،α{\displaystyle C^{2,\alpha }}يتم التحكم في معيار u بواسطة الحد الأعلى لـ u ومعيار هولدر لـ f :

|u|2،α؛Ω*≤ج(ن،α،λ،Λ)(|u|0،Ω+|و|0،α؛Ω(2)).{\displaystyle |u|_{2,\alpha ;\Omega }^{*}\leq C(n,\alpha ,\lambda ,\Lambda )(|u|_{0,\Omega }+|f|_{0,\alpha  ;\Omega }^{(2)}).}

تقديرات الحدود

يتركΩأوميغاكنج2،α{\displaystyle C^{2,\alpha }}المجال (أي، حول أي نقطة على حدود المجال، يمكن تمثيل السطح الفائق الحدودي ، بعد تدوير مناسب للإحداثيات، كـج2،α{\displaystyle C^{2,\alpha }}دالة)، مع بيانات حدود ديريشليه التي تتطابق مع دالةϕ(x){\displaystyle \phi (x)}وهو أيضاً على الأقلج2،α{\displaystyle C^{2,\alpha }}ثم، مع مراعاة الشروط المماثلة على المعاملات كما في حالة التقدير الداخلي، يتم التحكم في معيار هولدر غير المرجح لـ u بواسطة المعايير غير المرجحة لمصطلح المصدر، وبيانات الحدود، ومعيار القيمة العليا لـ u :

|u|2،α؛Ω≤ج(ن،α،λ،Λ،Ω)(|u|0،Ω+|و|0،α؛Ω+|ϕ|2،α؛∂Ω).{\displaystyle |u|_{2,\alpha ;\Omega }\leq C(n,\alpha ,\lambda ,\Lambda ,\Omega )(|u|_{0,\Omega }+|f|_{0,\alpha  ;\Omega }+|\phi |_{2,\alpha  ;\partial \Omega }).}

عندما يحقق الحل u مبدأ الحد الأقصى ، يمكن حذف العامل الأول على الجانب الأيمن.

مصادر

للمزيد من القراءة