السطح الفائق

في الهندسة ، يُعد السطح الفائق تعميمًا لمفاهيم المستوى الفائق ، والمنحنى المستوي ، والسطح . السطح الفائق هو متعدد الشعب أو تنوع جبري ذو بُعد n − 1 ، مُضمّن في فضاء محيط ذي بُعد n ، وهو عادةً فضاء إقليدي ، أو فضاء أفيني ، أو فضاء إسقاطي . ^{[ 1 ]} تشترك الأسطح الفائقة، مع الأسطح في الفضاء ثلاثي الأبعاد ، في خاصية تعريفها بمعادلة ضمنية واحدة ، على الأقل محليًا (بالقرب من كل نقطة)، وأحيانًا على مستوى العالم.

السطح الفائق في فضاء ثنائي الأبعاد (إقليدي، أو أفيني، أو إسقاطي) هو منحنى مستوٍ. أما في فضاء ثلاثي الأبعاد، فهو سطح.

على سبيل المثال، المعادلة

${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}-1=0}$

يُعرّف سطحًا جبريًا فائقًا ذو بُعد n − 1 في الفضاء الإقليدي ذي البُعد n . هذا السطح الفائق هو أيضًا متعدد شعب أملس ، ويُطلق عليه اسم كرة فائقة أو كرة ( n – 1) .

يُطلق على السطح الفائق الذي يمثل متعدد الشعب الأملس اسم السطح الفائق الأملس .

في الفضاء R ⁿ ، يكون السطح الفائق الأملس قابلاً للتوجيه . ^{[ 2 ]} كل سطح فائق أملس متصل ومضغوط هو مجموعة مستوى ، ويفصل R ⁿ إلى مكونين متصلين؛ وهذا مرتبط بنظرية فصل جوردان-بروير . ^{[ 3 ]}

السطح الجبري هو نوع جبري يمكن تعريفه بمعادلة ضمنية واحدة على الشكل التالي:

${\displaystyle p(x_{1},\ldots ,x_{n})=0,}$

حيث p دالة متعددة المتغيرات . يُفترض عمومًا أن تكون هذه الدالة غير قابلة للاختزال . عندما لا يكون الأمر كذلك، فإن السطح الفائق ليس صنفًا جبريًا، بل مجرد مجموعة جبرية . قد يعتمد تعريف السطح الفائق على المؤلفين أو السياق. ولتجنب الالتباس، يُستخدم مصطلح "السطح الفائق غير القابل للاختزال" غالبًا.

أما بالنسبة للأصناف الجبرية، فقد تنتمي معاملات متعددة الحدود المحددة إلى أي حقل ثابت k ، وتكون نقاط السطح الفائق هي أصفار p في الفضاء الأفيني${\displaystyle K^{n},}$حيث K هو امتداد مغلق جبريًا لـ k .

قد تحتوي الأسطح الفائقة على نقاط شاذة ، وهي الأصفار المشتركة، إن وجدت، لكثير الحدود المحدد ومشتقاته الجزئية. وعلى وجه الخصوص، فإن السطح الجبري الحقيقي ليس بالضرورة متعدد شعب.

يُعرَّف السطح الإسقاطي (الجبري) ذو البعد n – 1 في فضاء إسقاطي ذي البعد n على حقل k بواسطة متعدد حدود متجانس${\displaystyle P(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})}$في n + 1 غير محدد. وكما هو معتاد، فإن متعددة الحدود المتجانسة تعني أن جميع أحاديات P لها نفس الدرجة، أو بصورة مكافئة أن${\displaystyle P(cx_{0},cx_{1},\ldots ,cx_{n})=c^{d}P(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})}$لكل ثابت c ، حيث d هي درجة متعددة الحدود. نقاط السطح الفائق هي نقاط الفضاء الإسقاطي التي إحداثياتها الإسقاطية هي أصفار P.

إذا اختار المرء المستوى الفائق للمعادلة${\displaystyle x_{0}=0}$باعتباره مستوىً فائقًا عند اللانهاية ، فإن مكمل هذا المستوى الفائق هو فضاء تآلفي ، وتشكل نقاط السطح الفائق الإسقاطي التي تنتمي إلى هذا الفضاء التآلفي سطحًا فائقًا تآلفيًا من المعادلة${\displaystyle P(1,x_{1},\ldots ,x_{n})=0.}$على العكس من ذلك، بالنظر إلى سطح فائق أفيني ذي معادلة${\displaystyle p(x_{1},\ldots ,x_{n})=0,}$يُعرّف هذا النموذج سطحًا إسقاطيًا فائقًا، يُسمى إكماله الإسقاطي ، وتُستنتج معادلته بتجانس p . أي أن معادلة الإكمال الإسقاطي هي${\displaystyle P(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})=0,}$مع

${\displaystyle P(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})=x_{0}^{d}p(x_{1}/x_{0},\ldots ,x_{n}/x_{0}),}$

حيث d هي درجة P.

تُعدّ هاتان العمليتان، الإكمال الإسقاطي والتقييد على فضاء فرعي أفيني، عمليتين متعاكستين. ولذلك، فإنّ السطح الفائق الأفيني وإكماله الإسقاطي لهما نفس الخصائص الأساسية، وغالبًا ما يُعتبران وجهتي نظر لنفس السطح الفائق.

مع ذلك، قد يحدث أن يكون السطح الفائق الأفيني غير منفرد ، بينما يحتوي إكماله الإسقاطي على نقاط منفردة. في هذه الحالة، يُقال إن السطح الأفيني منفرد عند اللانهاية . على سبيل المثال، الأسطوانة الدائرية ذات المعادلة

${\displaystyle x^{2}+y^{2}-1=0}$

في الفضاء الأفيني ذي البعد ثلاثة، توجد نقطة مفردة فريدة، وهي عند اللانهاية، في الاتجاه x = 0، y = 0 .

• كرة أفينية
• سطح كوبل الفائق
• عائلة دوورك
• سطح فائق صفري
• سطح قطبي فائق

• "السطح الفائق" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]
• شوشيتشي كوباياشي وكاتسومي نوميزو (1969)، أسس الهندسة التفاضلية، المجلد الثاني، وايلي إنترساينس
• PA Simionescu & D. Beal (2004) تصور الأسطح الفائقة والدوال متعددة المتغيرات (الهدف) عن طريق العولمة الجزئية ، The Visual Computer 20(10):665 – 81.