Sears–Haack body

The Sears–Haack body is the shape with the lowest theoretical wave drag in supersonic flow, for a slender solid body of revolution with a given body length and volume. The mathematical derivation assumes small-disturbance (linearized) supersonic flow, which is governed by the Prandtl–Glauert equation. The derivation and shape were published independently by two separate researchers: Wolfgang Haack in 1941 and later by William Sears in 1947.^[1][2][3]

The Kármán–Moore theory indicates that the wave drag scales as the square of the second derivative of the area distribution, ${\displaystyle D_{\text{wave}}\sim \left[S''\left(x\right)\right]^{2}}$ (see full expression below), so for low wave drag it is necessary that ${\displaystyle S(x)}$ be smooth. Thus, the Sears–Haack body is pointed at each end and grows smoothly to a maximum and then decreases smoothly toward the second point.

Because these formulas assume a slender body, they assume L >> 2R_max (i.e. a large fineness ratiof = ⁠L/2R_max⁠), but no specific upper limit on R_max (or lower limit on fineness) is specified. $${\displaystyle {\begin{aligned}R_{\text{max}}&={\frac {4}{\pi }}{\sqrt {\frac {V}{3L}}}\\V&={\frac {3\pi ^{2}}{16}}R_{\text{max}}^{2}L\\L&={\frac {16V}{3\pi ^{2}R_{\text{max}}^{2}}}\\f&:={\frac {L}{2R_{\text{max}}}}={\frac {\pi }{8}}{\sqrt {\frac {3L^{3}}{V}}}&&={\frac {8V}{3\pi ^{2}R_{\text{max}}^{3}}}\\S_{\text{max}}&={\frac {16V}{3\pi L}}&&=\pi R_{\text{max}}^{2}\\S(x)&={\frac {128V}{3\pi L}}{\bigl (}x(1-x){\bigr )}^{3/2}&&=8\pi R_{\text{max}}^{2}{\bigl (}x(1-x){\bigr )}^{3/2}\\r(x)&={\frac {8}{\pi }}{\sqrt {\frac {2V}{3L}}}{\bigl (}x(1-x){\bigr )}^{3/4}&&=2{\sqrt {2}}R_{\text{max}}{\bigl (}x(1-x){\bigr )}^{3/4}\\r'(x)&={\frac {3R_{\text{max}}(1-2x)}{{\sqrt {2}}{\sqrt[{4}]{x(1-x)}}}},&&S'(x)=12\pi R_{\text{max}}^{2}(1-2x){\sqrt {x(1-x)}}\\r''(x)&=-{\frac {3R_{\text{max}}{\bigl (}1+4x(1-x){\bigr )}}{4{\sqrt {2}}{\bigl (}x(1-x){\bigr )}^{5/4}}},&&S''(x)=-{\frac {6\pi R_{\text{max}}^{2}(8(1-x)x-1)}{\sqrt {x(1-x)}}}\\\end{aligned}}}$$

where:

• x is the ratio of the distance from the nose to the whole body length (this is always between 0 and 1),
• ${\displaystyle r(x)}$ is the local radius,
• ${\displaystyle r'(x)}$ is the local slope,
• ${\displaystyle S(x)}$ is the local cross-sectional area,
• ${\displaystyle R_{\text{max}}}$ is the radius at its maximum (occurs at x = 0.5, center of the shape),
• ${\displaystyle S_{\text{max}}}$ is the maximum cross-sectional area when x = 0.5 and ${\displaystyle r(x)}$ = ${\displaystyle R_{\text{max}}}$,
• V is the volume,
• L is the length,
• f is the fineness ratio.

From Kármán–Moore theory, it follows that: $${\displaystyle D_{\text{wave}}=-{\frac {1}{4\pi }}\rho U^{2}\int _{0}^{\ell }\int _{0}^{\ell }S''(x_{1})S''(x_{2})\ln |x_{1}-x_{2}|\mathrm {d} x_{1}\mathrm {d} x_{2},}$$

aIternatively:

$${\displaystyle D_{\text{wave}}=-{\frac {1}{2\pi }}\rho U^{2}\int _{0}^{\ell }S''(x)\mathrm {d} x\int _{0}^{x}S''(x_{1})\ln(x-x_{1})\mathrm {d} x_{1}.}$$

These formulae may be combined to get the following:

$$\begin{aligned}D_{\text{wave}}&={\frac {64V^{2}}{\pi L^{4}}}\rho U^{2}&&={\frac {9\pi ^{3}R_{max}^{4}}{4L^{2}}}\rho U^{2},\\C_{D_{\text{wave}}}&={\frac {24V}{L^{3}}}&&={\frac {9\pi ^{2}R_{max}^{2}}{2L^{2}}},\\a&={\frac {64V\rho }{\pi L^{4}\rho _{\text{b}}}}U^{2}&&={\frac {12\pi R_{max}^{2}\rho }{L^{3}\rho _{\text{b}}}}U^{2},\\\end{aligned}}}$$

where:

• ${\displaystyle D_{\text{wave}}}$ is the wave drag force,
• ${\displaystyle C_{D_{\text{wave}}}}$ is the drag coefficient (normaled by the dynamic pressure and frontal area),
• ρ is the density of the fluid,
• U is the velocity,
• ρ_b is the average density of the body,
• a is the magnitude of the acceleration due to the wave drag force.

Since the kinetic energyE of the body depends solely on its volume, density, and velocity, this can also be presented as:

$${\displaystyle {\begin{aligned}E&={\frac {\rho _{\text{b}}VU^{2}}{2}}\Rightarrow U^{2}={\frac {2E}{\rho _{\text{b}}V}}\\a&={\frac {128\rho E}{\pi L^{4}\rho _{\text{b}}^{2}}}\\\end{aligned}}}$$

وفقًا لنظرية كارمان-مور ، تُعطى قوة سحب الموجة بالعلاقة التالية

$${\displaystyle F=-{\frac {\rho u^{2}}{2\pi }}\int _{0}^{l}\int _{0}^{l}S''(\xi _{1})S''(\xi _{2})\ln |\xi _{2}-\xi _{1}|d\xi _{1}d\xi _{2}}$$

أين${\displaystyle S(x)}$هي مساحة المقطع العرضي للجسم العمودية على محور الجسم؛ هنا${\displaystyle x=0}$يمثل الطليعة و${\displaystyle x=l}$الحافة الخلفية هي ، على الرغم من أن نظرية كارمان-مور لا تميز بين هاتين النهايتين لأن معامل السحب مستقل عن اتجاه الحركة في النظرية الخطية. بدلاً من${\displaystyle S(x)}$، يمكننا تعريف الدالة${\displaystyle f(x)=S'(x)}$وقم بتوسيعها في سلسلة

$${\displaystyle {\begin{aligned}f(\theta )&=-l\sum _{n=2}^{\infty }A_{n}\sin n\theta \\x(\theta )&={\frac {l}{2}}(1-\cos \theta )=l\sin ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right)\\\theta (x)&=3\pi -2\arccos \left({\sqrt {\frac {x}{l}}}\right)=2\pi +2\arcsin \left({\sqrt {\frac {x}{l}}}\right)\\\end{aligned}}}$$

أين${\textstyle 0\leq \theta \leq \pi ,\ 0\leq x\leq l}$تبدأ السلسلة من${\displaystyle n=2}$بسبب الحالة${\displaystyle S(0)=S(l)=0}$لدينا

$${\displaystyle {\begin{aligned}&S(x)=\int _{0}^{x}f(x)dx,\quad V=\int _{0}^{l}S(x)dx={\frac {\pi }{16}}l^{3}A_{2}\\\end{aligned}}}$$

لاحظ أن حجم الجسم يعتمد فقط على المعامل${\displaystyle A_{2}}$.

لحساب قوة السحب، سنقوم أولاً بإعادة كتابة صيغة قوة السحب، وذلك بالتكامل بالتجزئة مرة واحدة.

$${\displaystyle F=\mathrm {p.v.} {\frac {\rho U^{2}}{2\pi }}\int _{0}^{l}\int _{0}^{l}f(\xi _{1})f'(\xi _{2}){\frac {d\xi _{1}d\xi _{2}}{\xi _{1}-\xi _{2}}}}$$

في أي${\displaystyle \mathrm {p.v.} }$يرمز إلى القيمة الرئيسية لكوشي . الآن يمكننا استبدال التوسع بـ${\displaystyle f}$وقم بتكامل التعبير باستخدام المتطابقتين التاليتين

$${\displaystyle \mathrm {p.v.} \int _{0}^{\pi }{\frac {\cos n\theta _{2}}{\cos \theta _{2}-\cos \theta _{1}}}d\theta _{2}={\frac {\pi \sin n\theta _{1}}{\sin \theta _{1}}},\quad \int _{0}^{\pi }\sin n\theta _{1}\sin m\theta _{1}d\theta _{1}={\frac {\pi }{2}}{\begin{cases}1\,\,(m=n),\\0,\,\,(m\neq n).\end{cases}}}$$

والنتيجة النهائية، المعبر عنها بدلالة معامل السحب C _d ، تُعطى ببساطة بواسطة ^{[ 4 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}C_{\mathrm {d} }&={\frac {2F}{\rho u^{2}l^{2}}},l^{2}={\text{area}}\\&={\frac {\pi }{4}}\sum _{n=2}^{\infty }nA_{n}^{2}\\\end{aligned}}}$$

منذ${\displaystyle V}$يعتمد فقط على${\displaystyle A_{2}}$، القيمة الدنيا لـ${\displaystyle F}$يتم الوصول إلى هذه المرحلة عندما${\displaystyle A_{n}=0}$ل${\displaystyle n\geq 3}$.

وبالتالي، فإن الإعداد${\displaystyle A_{n}=0}$ل${\displaystyle n\geq 3}$، نحصل

$${\displaystyle {\begin{aligned}S&={\frac {l^{3}A_{2}\sin ^{3}\theta }{3}}\\C_{d}&={\frac {128}{\pi }}\left({\frac {V}{l^{3}}}\right)^{2}={\frac {9\pi }{2}}\left({\frac {S_{\mathrm {max} }}{l^{2}}}\right)^{2}\\r(x)&={\frac {8}{\pi l^{2}}}{\sqrt {\frac {2V}{3}}}[x(l-x)]^{\frac {3}{4}}={\frac {8}{\pi }}{\sqrt {\frac {2V}{3l}}}\left[{\frac {x}{l}}\left(1-{\frac {x}{l}}\right)\right]^{\frac {3}{4}}\\\end{aligned}}}$$

أين${\displaystyle r(x)}$يمثل نصف القطر كدالة لـ x ؛${\displaystyle {\frac {x}{l}}}$يُظهر الإصدار الصيغة حيث يكون x نسبيًا إلى l ، كما هو الحال في قسم الصيغ المفيدة أعلاه.

إن اشتقاق شكل الجسم لسيرز-هاك صحيح فقط في حالة الجسم النحيف. وقد عُممت النظرية لتشمل الأشكال النحيفة غير المتناظرة محوريًا بواسطة روبرت ت. جونز في تقرير NACA رقم 1284. ^{[ 5 ]} في هذا التوسيع، المساحة${\displaystyle S(x)}$يتم تعريفها على مخروط ماخ الذي تقع قمته في الموقع${\displaystyle x}$بدلاً من أن يكون على${\displaystyle x={\text{constant}}}$الطائرة كما افترضها سيرز وهاك. ومن ثم، فإن نظرية جونز تجعلها قابلة للتطبيق على أشكال أكثر تعقيدًا مثل الطائرات الأسرع من الصوت بأكملها .

يُعدّ مفهوم قاعدة ويتكومب للمساحة مفهومًا ذا صلة ظاهرية ، إذ تنصّ على أن مقاومة الموجة الناتجة عن الحجم في التدفق فوق الصوتي تعتمد أساسًا على توزيع مساحة المقطع العرضي الكلية، وللحصول على مقاومة موجة منخفضة، يجب أن يكون هذا التوزيع سلسًا. ومن المفاهيم الخاطئة الشائعة أن جسم سيرز-هاك يمتلك توزيع المساحة المثالي وفقًا لقاعدة المساحة، ولكن هذا غير صحيح. فمعادلة براندتل-غلاورت ، التي تُشكّل نقطة البداية في اشتقاق شكل جسم سيرز-هاك، لا تُطبّق في التدفق فوق الصوتي، حيث تُطبّق قاعدة المساحة .

• تحويل براندتل-غلاورت
• الديناميكا الهوائية
• هيكل مقاوم للصدمات
• مخروط أنف من سلسلة هاك
• قاعدة المنطقة
• الليمون (الهندسة)

• رصاصة بندقية هاك ذات مقاومة السحب الدنيا، مؤرشفة بتاريخ 27-09-2007 على موقع Wayback Machine ( الموقع معطل) – https://web.archive.org/web/20160306044740/http://www.lima-wiederladetechnik.de/englisch/haack_minimum_drag_bullet.htm
• Geschoßformen kleinsten Wellenwiderstandes بقلم دبليو هاك، Bericht 139 der Lilienthal-Gesellschaft (1941)
• حاسبة الجسم من سيرز-هاك