الطاقة الحركية

{\displaystyle E_{\text{kin}}\propto mv^{2}} — كانت إيميلي دو شاتليه (1706-1749) أول من نشر العلاقة الخاصة بالطاقة الحركية $E_{\text{kin}}\propto mv^{2}$ مستمدة من الملاحظة التجريبية للأجسام التي تسقط في الطين. (صورة بريشة موريس كوينتين دي لا تور .)

في الفيزياء ، الطاقة الحركية لجسم ما هي شكل الطاقة التي يمتلكها بسبب حركته . ^{[ 1 ]}

في الميكانيكا الكلاسيكية ، الطاقة الحركية لجسم غير دوار كتلته m يتحرك بسرعة v هي ${\textstyle {\frac {1}{2}}mv^{2}}$ [ ²^]

الطاقة الحركية لجسم ما تساوي الشغل ، أو القوة ( F ) في اتجاه الحركة مضروبة في إزاحته ( s )، اللازمة لتسريع الجسم من السكون إلى سرعته المعطاة. ويبذل الجسم نفس مقدار الشغل عند إبطاء سرعته الحالية إلى حالة السكون. ^{[ 2 ]}

وحدة الطاقة في النظام الدولي للوحدات هي الجول ، بينما وحدة الطاقة الإنجليزية هي القدم-الرطل .

في الميكانيكا النسبية ، ${\textstyle {\frac {1}{2}}mv^{2}}$ لا يمثل تقريبًا جيدًا للطاقة الحركية إلا عندما تكون السرعة أقل بكثير من سرعة الضوء .

التاريخ وأصل الكلمات

صفة "حركي " مشتقة من الكلمة اليونانية κίνησις kinesis ، والتي تعني "الحركة". ويمكن تتبع ثنائية الطاقة الحركية والطاقة الكامنة إلى مفاهيم أرسطو عن الواقعية والإمكانية . ^{[ 3 ]}

طوّر غوتفريد لايبنتز ويوهان برنولي مبدأ الميكانيكا الكلاسيكية القائل بأن الطاقة الحركية تتناسب طرديًا مع مربع سرعة الضوء (E ∝ mv² ⁾ ، ووصفا الطاقة الحركية بأنها القوة الحيوية أو القوة الدافعة . ^[⁴^]^:²²⁷ وقدّم ويليم غريفيساند من هولندا دليلًا تجريبيًا على هذه العلاقة عام 1722. فمن خلال إسقاط أوزان من ارتفاعات مختلفة في كتلة من الطين، وجد غريفيساند أن عمق اختراقها يتناسب طرديًا مع مربع سرعة اصطدامها. أدركت إيميلي دو شاتليه أهمية هذه التجربة ونشرت شرحًا لها. ^[⁵^]

يعود استخدام مصطلحي الطاقة الحركية والشغل بمعانيهما العلمية الحالية إلى منتصف القرن التاسع عشر. يُعزى الفهم المبكر لهذين المفهومين إلى توماس يونغ ، الذي كان أول من استخدم مصطلح " الطاقة" للإشارة إلى الطاقة الحركية بمعناها الحديث، بدلاً من "القوة الحيوية" ( vis viva )، وذلك في محاضرته التي ألقاها أمام الجمعية الملكية عام 1802. وفي عام 1829، نشر غاسبار-غوستاف كوريوليس بحثًا بعنوان "حساب تأثير الآلات" (Du Calcul de l'Effet des Machines) يُبين فيه الرياضيات الكامنة وراء الطاقة الحركية. ويُنسب الفضل إلى ويليام طومسون ، الذي أصبح لاحقًا اللورد كلفن، في صياغة مصطلح "الطاقة الحركية" في الفترة ما بين 1849 و1851 تقريبًا. ^[⁶^]^[⁷^] ويستشهد ويليام رانكين ، الذي قدم مصطلح "الطاقة الكامنة" عام 1853، وعبارة "الطاقة الفعلية" لاستكماله، ^[⁸^] لاحقًا بويليام طومسون وبيتر تيت باعتبارهما من استبدلا كلمة "حركية" بكلمة "فعلية". ^[⁹^]

ملخص

توجد الطاقة بأشكال عديدة، منها الطاقة الكيميائية ، والطاقة الحرارية ، والإشعاع الكهرومغناطيسي ، وطاقة الجاذبية ، والطاقة الكهربائية ، والطاقة المرنة ، والطاقة النووية ، وطاقة السكون . ويمكن تصنيف هذه الأشكال إلى فئتين رئيسيتين: طاقة الوضع والطاقة الحركية. الطاقة الحركية هي طاقة حركة الجسم، ويمكن نقلها بين الأجسام وتحويلها إلى أنواع أخرى من الطاقة. ^{[ 10 ]}

يمكن فهم الطاقة الحركية بشكل أفضل من خلال أمثلة توضح كيفية تحولها من وإلى أشكال أخرى من الطاقة. على سبيل المثال، ينقل راكب الدراجة الطاقة الكيميائية المستمدة من الطعام إلى الدراجة ومخزون الطاقة الحركية لديه أثناء زيادة سرعته. على سطح مستوٍ، يمكن الحفاظ على هذه السرعة دون بذل جهد إضافي، باستثناء التغلب على مقاومة الهواء والاحتكاك . لقد تحولت الطاقة الكيميائية إلى طاقة حركية، وهي طاقة الحركة، لكن هذه العملية ليست فعالة تمامًا، إذ تُنتج طاقة حرارية داخل جسم راكب الدراجة.

يمكن تحويل الطاقة الحركية في الدراجة وراكبها إلى أشكال أخرى. على سبيل المثال، قد يصادف راكب الدراجة تلةً مرتفعةً بما يكفي ليصعدها بانسيابية، فتتوقف الدراجة تمامًا عند قمتها. في هذه الحالة، تكون الطاقة الحركية قد تحولت في معظمها إلى طاقة وضع جاذبية يمكن إطلاقها بالانزلاق الحر أسفل التلة. ولأن الدراجة فقدت جزءًا من طاقتها بسبب الاحتكاك، فإنها لا تستعيد سرعتها كاملةً دون بذل جهد إضافي في التبديل. فالطاقة لا تُفنى، بل تتحول إلى شكل آخر بفعل الاحتكاك. بدلاً من ذلك، يمكن لراكب الدراجة توصيل مولد كهربائي بإحدى العجلات لتوليد بعض الطاقة الكهربائية أثناء النزول. ستكون الدراجة أبطأ عند أسفل التلة مقارنةً بما لو لم يكن المولد موجودًا، لأن جزءًا من الطاقة قد تحول إلى طاقة كهربائية. خيار آخر هو أن يستخدم راكب الدراجة المكابح، وفي هذه الحالة ستتبدد الطاقة الحركية بفعل الاحتكاك على شكل حرارة .

كأي كمية فيزيائية تعتمد على السرعة، فإن الطاقة الحركية لجسم ما تعتمد على العلاقة بين الجسم وإطار مرجع الراصد . لذا، فإن الطاقة الحركية لجسم ما ليست ثابتة .

تستخدم المركبات الفضائية الطاقة الكيميائية للإطلاق واكتساب طاقة حركية كبيرة للوصول إلى سرعة مدارية . في مدار دائري تمامًا، تبقى هذه الطاقة الحركية ثابتة نظرًا لانعدام الاحتكاك تقريبًا في الفضاء القريب من الأرض. ومع ذلك، يتضح ذلك عند دخول الغلاف الجوي، حيث يتحول جزء من الطاقة الحركية إلى حرارة. أما إذا كان المدار بيضاويًا أو زائديًا ، فإن الطاقة الحركية والكامنة تتبادلان طوال المدار ؛ وتكون الطاقة الحركية في أعلى مستوياتها والطاقة الكامنة في أدنى مستوياتها عند أقرب نقطة من الأرض أو أي جسم ضخم آخر، بينما تكون الطاقة الكامنة في أعلى مستوياتها والطاقة الحركية في أدنى مستوياتها عند أقصى مسافة. وبغض النظر عن الفقد أو الاكتساب، يبقى مجموع الطاقة الحركية والكامنة ثابتًا.

يمكن نقل الطاقة الحركية من جسم إلى آخر. في لعبة البلياردو ، يُكسب اللاعب كرة البلياردو طاقة حركية بضربها بعصا البلياردو. إذا اصطدمت كرة البلياردو بكرة أخرى، فإنها تتباطأ بشكل ملحوظ، بينما تتسارع الكرة التي اصطدمت بها نتيجة انتقال الطاقة الحركية إليها. تُعتبر التصادمات في البلياردو تصادمات مرنة ، حيث تُحفظ الطاقة الحركية. أما في التصادمات غير المرنة ، فتتبدد الطاقة الحركية في أشكال مختلفة من الطاقة، مثل الحرارة والصوت وطاقة الربط (كسر الروابط).

تم تطوير العجلات الدوارة كوسيلة لتخزين الطاقة . وهذا يوضح أن الطاقة الحركية تُخزن أيضاً في الحركة الدورانية.

توجد عدة معادلات رياضية لوصف الطاقة الحركية في السياق الفيزيائي المناسب. بالنسبة للأجسام والعمليات التي نراها في حياتنا اليومية، تُعدّ معادلة ^{الميكانيكا}الكلاسيكية (½mv² ) مناسبة . مع ذلك ، إذا كانت سرعة الجسم قريبة من سرعة الضوء، تصبح التأثيرات النسبية ذات أهمية، ويُستخدم حينها النموذج النسبي. أما إذا كان الجسم على المستوى الذري أو دون الذري ، فتصبح التأثيرات الكمومية ذات أهمية، ويجب استخدام نموذج كمومي.

الطاقة الحركية للسرعة غير النسبية

تعتمد معالجات الطاقة الحركية على السرعة النسبية للأجسام مقارنةً بسرعة الضوء الثابتة . السرعات التي يختبرها البشر مباشرةً غير نسبية ؛ أما السرعات الأعلى فتتطلب نظرية النسبية .

الطاقة الحركية للأجسام الصلبة

في الميكانيكا الكلاسيكية ، تعتمد الطاقة الحركية لجسم نقطي (جسم صغير جدًا بحيث يمكن افتراض أن كتلته تتركز في نقطة واحدة)، أو لجسم صلب غير دوار، على كتلة الجسم وسرعته . وتساوي الطاقة الحركية نصف حاصل ضرب الكتلة في مربع السرعة. بالصيغة الرياضية:

$E_{\text{k}}={\frac {1}{2}}mv^{2}$

أين $m$ الكتلة و $v$ هي سرعة الجسم (مقدار السرعة المتجهة). في النظام الدولي للوحدات، تُقاس الكتلة بالكيلوغرام ، والسرعة بالأمتار في الثانية ، والطاقة الحركية الناتجة بالجول .

على سبيل المثال، يمكن حساب الطاقة الحركية لكتلة مقدارها 80 كجم (حوالي 180 رطلاً) تتحرك بسرعة 18 مترًا في الثانية (حوالي 40 ميلاً في الساعة، أو 65 كم/ساعة) على النحو التالي:

$E_{\text{k}}={\frac {1}{2}}\cdot 80\,{\text{kg}}\cdot \left(18\,{\text{m/s}}\right)^{2}=12,960\,{\text{J}}=12.96\,{\text{kJ}}$

عندما يرمي شخص كرة، فإنه يبذل شغلاً عليها ليمنحها سرعة لحظة مغادرتها يده. يمكن للكرة المتحركة أن تصطدم بشيء ما وتدفعه، فتبذل شغلاً على ما تصطدم به. الطاقة الحركية لجسم متحرك تساوي الشغل اللازم لنقله من حالة السكون إلى تلك السرعة، أو الشغل الذي يمكن للجسم بذله أثناء توقفه: القوة المحصلة × الإزاحة = الطاقة الحركية .

$Fs={\frac {1}{2}}mv^{2}$

بما أن الطاقة الحركية تزداد مع مربع السرعة، فإن الجسم الذي يضاعف سرعته يمتلك طاقة حركية أكبر بأربعة أضعاف. على سبيل المثال، تحتاج سيارة تسير بسرعة ضعف سرعة سيارة أخرى إلى مسافة أكبر بأربعة أضعاف للتوقف، بافتراض ثبات قوة الكبح. ونتيجةً لهذا التضاعف الرباعي، يتطلب الأمر أربعة أضعاف الشغل لمضاعفة السرعة.

ترتبط الطاقة الحركية لجسم ما بزخمه من خلال المعادلة التالية: $E_{\text{k}}={\frac {p^{2}}{2m}}$

أين:

$p$ الزخم
$m$ كتلة الجسم

بالنسبة للطاقة الحركية الانتقالية، أي الطاقة الحركية المرتبطة بالحركة المستقيمة ، لجسم صلب ذي كتلة ثابتة $m$ ، الذي يتحرك مركز كتلته في خط مستقيم بسرعة $v$ كما هو موضح أعلاه، يساوي

$E_{\text{t}}={\frac {1}{2}}mv^{2}$

أين:

$m$ كتلة الجسم
$v$ هي سرعة مركز كتلة الجسم.

تعتمد الطاقة الحركية لأي جسم على الإطار المرجعي الذي تُقاس فيه. مع ذلك، فإن الطاقة الكلية لنظام معزول، أي نظام لا يمكن للطاقة أن تدخل إليه أو تخرج منه، لا تتغير بمرور الوقت في الإطار المرجعي الذي تُقاس فيه. لذا، فإن الطاقة الكيميائية التي يُحوّلها محرك صاروخي إلى طاقة حركية تُقسّم بشكل مختلف بين الصاروخ وتيار عادمه تبعًا للإطار المرجعي المُختار. يُعرف هذا بتأثير أوبرث . لكن الطاقة الكلية للنظام، بما في ذلك الطاقة الحركية والطاقة الكيميائية للوقود والحرارة، إلخ، تبقى محفوظة بمرور الوقت، بغض النظر عن الإطار المرجعي المُختار. مع ذلك، سيختلف المراقبون المختلفون الذين يتحركون بأطر مرجعية مختلفة في قيمة هذه الطاقة المحفوظة.

تعتمد الطاقة الحركية لهذه الأنظمة على اختيار الإطار المرجعي: الإطار المرجعي الذي يُعطي أقل قيمة لتلك الطاقة هو إطار مركز الزخم ، أي الإطار المرجعي الذي يكون فيه الزخم الكلي للنظام صفرًا. تُساهم هذه الطاقة الحركية الدنيا في الكتلة الثابتة للنظام ككل.

الاشتقاق

بدون حساب المتجهات

الشغل W الذي تبذله القوة F على جسم ما على مسافة s موازية للقوة F يساوي

$W=F\cdot s.$

باستخدام قانون نيوتن الثاني

$F=ma$

حيث m هي كتلة الجسم و a هي تسارعه و

$s={\frac {at^{2}}{2}}$

المسافة التي يقطعها الجسم المتسارع في الزمن t ، نجدها باستخدام $v=at$ بالنسبة لسرعة الجسم v

$W=ma{\frac {at^{2}}{2}}={\frac {m(at)^{2}}{2}}={\frac {mv^{2}}{2}}.$

باستخدام حساب المتجهات

الشغل المبذول لتسريع جسيم كتلته m خلال الفترة الزمنية المتناهية الصغر dt يُعطى بالضرب القياسي للقوة F والإزاحة المتناهية الصغر d x

$\mathbf {F} \cdot d\mathbf {x} =\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} dt={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}\cdot \mathbf {v} dt=\mathbf {v} \cdot d\mathbf {p} =\mathbf {v} \cdot د(m\mathbf {v} )\,,$

حيث افترضنا العلاقة p = m v وصحة قانون نيوتن الثاني . (مع ذلك، انظر أيضًا إلى الاشتقاق النسبي الخاص أدناه .)

بتطبيق قاعدة الضرب، نرى أن:

$d(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )=(d\mathbf {v} )\cdot \mathbf {v} +\mathbf {v} \cdot (d\mathbf {v} )=2(\mathbf {v} \cdot d\mathbf {v} ).$

لذلك (بافتراض ثبات الكتلة بحيث يكون dm = 0)، لدينا

$\mathbf {v} \cdot d(m\mathbf {v} )={\frac {m}{2}}d(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )={\frac {m}{2}}dv^{2}=d\left({\frac {mv^{2}}{2}}\right).$

بما أن هذا تفاضل كلي (أي أنه يعتمد فقط على الحالة النهائية، وليس على كيفية وصول الجسيم إلى هناك)، يمكننا تكامله وتسمية النتيجة بالطاقة الحركية:

$E_{\text{k}}=\int _{v_{1}}^{v_{2}}\mathbf {p} \cdot d\mathbf {v} =\int _{v_{1}}^{v_{2}}m\mathbf {v} \cdot d\mathbf {v} ={mv^{2} \over 2}{\bigg \vert }_{v_{1}}^{v_{2}}={1 \over 2}m(v_{2}^{2}-v_{1}^{2}).$

تنص هذه المعادلة على أن الطاقة الحركية ( Ek ) تساوي تكامل حاصل الضرب القياسي لزخم الجسم ( p) والتغير المتناهي الصغر في سرعته ( v ) . ويُفترض أن الجسم يبدأ حركته بدون طاقة حركية عندما يكون ساكنًا _.

الأجسام الدوارة

إذا كان جسم صلب Q يدور حول أي خط يمر بمركز كتلته، فإنه يمتلك طاقة حركية دورانية ( $E_{\text{r}}\,$ ) وهو ببساطة مجموع الطاقات الحركية لأجزائه المتحركة، وبالتالي يُعطى بالصيغة التالية:

$E_{\text{r}}=\int _{Q}{\frac {v^{2}dm}{2}}=\int _{Q}{\frac {(r\omega )^{2}dm}{2}}={\frac {\omega ^{2}}{2}}\int _{Q}{r^{2}}dm={\frac {\omega ^{2}}{2}}I={\frac {1}{2}}I\omega ^{2}$

أين:

ω هي السرعة الزاوية للجسم
r هي المسافة dm من أي كتلة من ذلك الخط
$I$ عزم القصور الذاتي للجسم ، وهو يساوي ${\textstyle \int _{Q}{r^{2}}dm}$ .

(في هذه المعادلة، يجب أخذ عزم القصور الذاتي حول محور يمر عبر مركز الكتلة، ويجب أن يكون الدوران المقاس بواسطة ω حول هذا المحور؛ توجد معادلات أكثر عمومية للأنظمة التي يكون فيها الجسم عرضة للتذبذب بسبب شكله اللامركزي).

الطاقة الحركية للأنظمة

قد يمتلك نظام من الأجسام طاقة حركية داخلية نتيجة للحركة النسبية للأجسام داخله. على سبيل المثال، في النظام الشمسي، تدور الكواكب والكويكبات حول الشمس. وفي خزان غاز، تتحرك الجزيئات في جميع الاتجاهات. الطاقة الحركية للنظام هي مجموع الطاقات الحركية للأجسام التي يحتويها.

قد يمتلك جسمٌ كبيرٌ ساكن (أي تم اختيار إطار مرجعي يتوافق مع مركز زخم الجسم ) أنواعًا مختلفة من الطاقة الداخلية على المستوى الجزيئي أو الذري، والتي يمكن اعتبارها طاقة حركية، ناتجة عن انتقال الجزيئات ودورانها واهتزازها، وانتقال الإلكترونات ودورانها، ودوران النواة. تُسهم جميع هذه الطاقات في كتلة الجسم، وفقًا لنظرية النسبية الخاصة. عند مناقشة حركات جسم كبير، يُشار عادةً إلى الطاقة الحركية الناتجة عن الحركة الكبيرة فقط. مع ذلك، تُسهم جميع أنواع الطاقات الداخلية في كتلة الجسم وقصوره الذاتي وطاقته الكلية.

ديناميكا الموائع

في ديناميكا الموائع ، تُسمى الطاقة الحركية لكل وحدة حجم عند كل نقطة في مجال تدفق مائع غير قابل للانضغاط بالضغط الديناميكي عند تلك النقطة. ^{[ 11 ]}

$E_{\text{k}}={\frac {1}{2}}mv^{2}$

القسمة على V، وحدة قياس الحجم:

${\begin{aligned}{\frac {E_{\text{k}}}{V}}&={\frac {1}{2}}{\frac {m}{V}}v^{2}\\q&={\frac {1}{2}}\rho v^{2}\end{محاذاة}}$

أين $q$ يمثل الضغط الديناميكي، وρ هي كثافة السائل غير القابل للانضغاط.

إطار مرجعي

تعتمد سرعة الجسم، وبالتالي طاقته الحركية، على الإطار المرجعي (نسبيًا): إذ يمكن أن تأخذ أي قيمة غير سالبة، باختيار إطار مرجعي قصوري مناسب . على سبيل المثال، تمتلك رصاصة تمر بجانب مراقب طاقة حركية في إطاره المرجعي. أما بالنسبة لمراقب آخر يتحرك بنفس سرعة الرصاصة، فتكون الرصاصة نفسها ثابتة، وبالتالي تكون طاقتها الحركية صفرًا. ^{[ 12 ]} في المقابل، لا يمكن اختزال الطاقة الحركية الكلية لنظام من الأجسام إلى الصفر باختيار إطار مرجعي قصوري مناسب، إلا إذا كانت جميع الأجسام تتحرك بنفس السرعة. في أي حالة أخرى، يكون للطاقة الحركية الكلية حد أدنى غير صفري، إذ لا يمكن اختيار إطار مرجعي قصوري تكون فيه جميع الأجسام ثابتة. تساهم هذه الطاقة الحركية الدنيا في الكتلة الثابتة للنظام ، وهي مستقلة عن الإطار المرجعي.

تعتمد الطاقة الحركية الكلية للنظام على الإطار المرجعي العطالي : فهي مجموع الطاقة الحركية الكلية في إطار مركز الزخم والطاقة الحركية التي ستكون للكتلة الكلية إذا كانت مركزة في مركز الكتلة .

يمكن إثبات ذلك ببساطة: ليكن $\textstyle \mathbf {V}$ لتكن السرعة النسبية لمركز كتلة الإطار i في الإطار k .

$v^{2}=\left(v_{i}+V\right)^{2}=\left(\mathbf {v} _{i}+\mathbf {V} \right)\cdot \left(\mathbf {v} _{i}+\mathbf {V} \right)=\mathbf {v} _{i}\cdot \mathbf {v} _{i}+2\mathbf {v} _{i}\cdot \mathbf {V} +\mathbf {V} \cdot \mathbf {V} =v_{i}^{2}+2\mathbf {v} _{i}\cdot \mathbf {V} +V^{2},$

ثم،

$E_{\text{k}}=\int {\frac {v^{2}}{2}}dm=\int {\frac {v_{i}^{2}}{2}}dm+\mathbf {V} \cdot \int \mathbf {v} _{i}dm+{\frac {V^{2}}{2}}\int dm.$

${\textstyle \int {\frac {v_{i}^{2}}{2}}dm=E_{i}}$ هي الطاقة الحركية في إطار مركز الكتلة، و ${\textstyle \int dm=M}$ هي الكتلة الكلية. ${\textstyle \int \mathbf {v} _{i}dm}$ يمثل الزخم الكلي في إطار مركز الكتلة، وهو يساوي صفرًا بحكم التعريف. وبالتعويض، نحصل على: ^{[ 13 ]}

$E_{\text{k}}=E_{i}+{\frac {MV^{2}}{2}}.$

وبالتالي، تكون الطاقة الحركية للنظام في أدنى مستوياتها عند استخدام إطار مرجعي لمركز الزخم، أي الإطار المرجعي الذي يكون فيه مركز الكتلة ثابتًا (سواءً كان إطار مركز الكتلة أو أي إطار مرجعي آخر لمركز الزخم ). في أي إطار مرجعي آخر، توجد طاقة حركية إضافية تُعادل الكتلة الكلية المتحركة بسرعة مركز الكتلة. الطاقة الحركية للنظام في إطار مركز الزخم كمية ثابتة (يراها جميع المراقبين كما هي).

الدوران في الأنظمة

من الملائم أحيانًا تقسيم الطاقة الحركية الكلية للجسم إلى مجموع الطاقة الحركية الانتقالية لمركز كتلة الجسم وطاقة الدوران حول مركز الكتلة ( الطاقة الدورانية ):

$E_{\text{k}}=E_{\text{t}}+E_{\text{r}}$

أين:

E _k هي الطاقة الحركية الكلية
E _t هي الطاقة الحركية الانتقالية
E _r هي الطاقة الدورانية أو الطاقة الحركية الزاوية في إطار السكون

وبالتالي فإن الطاقة الحركية لكرة التنس أثناء طيرانها هي الطاقة الحركية الناتجة عن دورانها، بالإضافة إلى الطاقة الحركية الناتجة عن انتقالها.

الطاقة الحركية النسبية

إذا كانت سرعة جسم ما بالنسبة لإطار مرجعي قصوري تُشكّل جزءًا كبيرًا من سرعة الضوء ، فمن الضروري استخدام الميكانيكا النسبية لحساب طاقته الحركية بالنسبة لهذا الإطار. في الميكانيكا النسبية، تتحد الطاقة مع الزخم بطريقة مماثلة لاندماج الزمان والمكان لتكوين الزمكان . ويمكن التعبير عن مُركّبة الطاقة في الإطار المرجعي القصوري كما يلي: ^{[ 14 ]}^{: 195} $E=\gamma mc^{2},$ أين ${\textstyle \gamma =1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$ و $m$ كتلة الجسم (السكونية) ، $v$ السرعة، و c سرعة الضوء في الفراغ. إذا كان الجسم ساكنًا في الإطار المرجعي العطالي، $v=0$ و $\gamma =1$ لذا تُعرَّف طاقة سكونها على النحو التالي: $E_{\textrm {rest}}=mc^{2}$ [ ¹⁴^]^:²⁰¹ يمكن تعريف الطاقة الحركية بأنها الطاقة الكلية مطروحًا منها طاقة السكون ^:^[¹⁴^]^:²⁰¹ $({\textrm {kinetic}}\ {\textrm {energy}})=({\textrm {energy}})-({\textrm {rest}}\ {\textrm {energy}}).$

هناك طريقة أخرى لوصف الطاقة الحركية وهي البدء بالطاقة الكلية المعطاة بعلاقة الطاقة والزخم :

$E^{2}=(p{\textrm {c}})^{2}+\left(m{\textrm {c}}^{2}\right)^{2}\,$

هنا $p=m\gamma v$ هو التعبير النسبي للزخم الخطي، حيث ${\textstyle \gamma =1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$ و $m$ كتلة الجسم (السكونية) ، $v$ السرعة، و c سرعة الضوء في الفراغ. إذن، الطاقة الحركية هي الطاقة النسبية الكلية مطروحًا منها طاقة السكون . $E_{K}=E-mc^{2}={\sqrt {(p{\textrm {c}})^{2}+\left(m{\textrm {c}}^{2}\right)^{2}}}-mc^{2}$

عند السرعات المنخفضة، يمكن توسيع الجذر التربيعي وتختفي طاقة السكون، مما يعطي الطاقة الحركية النيوتونية.

لوغاريتم الطاقة الحركية النسبية مقابل لوغاريتم الزخم النسبي، للعديد من الأجسام ذات الأحجام المختلفة اختلافًا كبيرًا. تقترب نقاط تقاطع خطوط الجسم مع المحور السفلي من طاقة السكون. عند الطاقة الحركية المنخفضة، يعكس ميل خطوط الجسم قوانين نيوتن الميكانيكية. ومع اقتراب الخطوط من $c$ ينحني المنحدر عند حاجز سرعة الضوء.

{\displaystyle c} — لوغاريتم الطاقة الحركية النسبية مقابل لوغاريتم الزخم النسبي، للعديد من الأجسام ذات الأحجام المختلفة اختلافًا كبيرًا. تقترب نقاط تقاطع خطوط الجسم مع المحور السفلي من طاقة السكون. عند الطاقة الحركية المنخفضة، يعكس ميل خطوط الجسم قوانين نيوتن الميكانيكية. ومع اقتراب الخطوط من $c$ ينحني المنحدر عند حاجز سرعة الضوء.

حد السرعة المنخفضة

والنتيجة الرياضية لهذه العملية الحسابية هي صيغة تكافؤ الكتلة والطاقة ، والتي تنص على أن الكتلة والطاقة هما في الأساس الشيء نفسه: ^{[ 15 ]}^{: 51}^{[ 16 ]}^{: 121}

$E_{\text{rest}}=mc^{2}$

عند السرعات المنخفضة ( v ≪ c )، يمكن تقريب الطاقة الحركية النسبية جيدًا بالطاقة الحركية الكلاسيكية. ولتوضيح ذلك، طبّق تقريب ذي الحدين أو خذ الحدين الأولين من متسلسلة تايلور بدلالة قوى . $v^{2}$ للجذر التربيعي المقلوب: ^{[ 15 ]}^{: 51}

$E_{\text{k}}\approx mc^{2}\left(1+{\frac {1}{2}}{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)-mc^{2}={\frac {1}{2}}mv^{2}$

إذن، الطاقة الكلية $E_{k}$ يمكن تقسيمها إلى طاقة كتلة السكون بالإضافة إلى الطاقة الحركية غير النسبية عند السرعات المنخفضة.

عندما تتحرك الأجسام بسرعة أبطأ بكثير من سرعة الضوء (كما هو الحال في الظواهر اليومية على الأرض)، فإن الحدين الأولين من المتسلسلة هما السائدان. أما الحد التالي في تقريب متسلسلة تايلور...

$E_{\text{k}}\approx mc^{2}\left(1+{\frac {1}{2}}{\frac {v^{2}}{c^{2}}}+{\frac {3}{8}}{\frac {v^{4}}{c^{4}}}\right)-mc^{2}={\frac {1}{2}}mv^{2}+{\frac {3}{8}}m{\frac {v^{4}}{c^{2}}}$

تكون صغيرة عند السرعات المنخفضة. على سبيل المثال، عند سرعة 10 كم/ث (22000 ميل/ساعة) يكون تصحيح الطاقة الحركية غير النسبية 0.0417 جول/كجم (على طاقة حركية غير نسبية تبلغ 50 ميجا جول/كجم) وعند سرعة 100 كم/ث يكون 417 جول/كجم (على طاقة حركية غير نسبية تبلغ 5 جيجا جول/كجم).

العلاقة النسبية بين الطاقة الحركية والزخم تُعطى بالعلاقة التالية

$E_{\text{k}}={\sqrt {p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}-mc^{2}$

ويمكن أيضًا توسيع هذا على شكل متسلسلة تايلور ، والتي يمثل حدها الأول التعبير البسيط من الميكانيكا النيوتونية: ^{[ 17 ]}

E_{\text{k}}\approx {\frac {p^{2}}{2m}}-{\frac {p^{4}}{8m^{3}c^{2}}}.

يشير هذا إلى أن صيغ الطاقة والزخم ليست خاصة وبديهية، بل هي مفاهيم ناشئة عن تكافؤ الكتلة والطاقة ومبادئ النسبية.

النسبية العامة

باستخدام الاصطلاح الذي

$g_{\alpha \beta }\,u^{\alpha }\,u^{\beta }\,=\,-c^{2}$

حيث السرعة الرباعية للجسيم هي

$u^{\alpha }\,=\,{\frac {dx^{\alpha }}{d\tau }}$

و $\tau$ إذا كان الزمن الخاص بالجسيم، فهناك أيضًا تعبير عن الطاقة الحركية للجسيم في النسبية العامة .

إذا كان للجسيم زخم

$p_{\beta }\,=\,m\,g_{\beta \alpha }\,u^{\alpha }$

عندما يمر الجسيم بمراقب ذي سرعة رباعية u _{<sub>obs</sub>} ، فإن تعبير الطاقة الكلية للجسيم كما هو مُلاحَظ (مقاس في إطار مرجعي قصوري محلي) هو

$E\,=\,-\,p_{\beta }\,u_{\text{obs}}^{\beta }$

ويمكن التعبير عن الطاقة الحركية بأنها الطاقة الكلية مطروحًا منها طاقة السكون:

$E_{k}\,=\,-\,p_{\beta }\,u_{\text{obs}}^{\beta }\,-\,m\,c^{2}\,.$

لنفترض حالة مقياس قطري ومتناحٍ مكانيًا ( g _tt , g _ss , g _ss , g _ss ). بما أن

$u^{\alpha }={\frac {dx^{\alpha }}{dt}}{\frac {dt}{d\tau }}=v^{\alpha }u^{t}$

حيث v ^α هي السرعة العادية المقاسة بالنسبة لنظام الإحداثيات، نحصل على

$-c^{2}=g_{\alpha \beta }u^{\alpha }u^{\beta }=g_{tt}\left(u^{t}\right)^{2}+g_{ss}v^{2}\left(u^{t}\right)^{2}\,.$

بحل المعادلة لإيجاد قيمة u ^t نحصل على

$u^{t}=c{\sqrt {\frac {-1}{g_{tt}+g_{ss}v^{2}}}}\,.$

وبالتالي بالنسبة لمراقب ثابت ( v = 0)

$u_{\text{obs}}^{t}=c{\sqrt {\frac {-1}{g_{tt}}}}$

وبالتالي تأخذ الطاقة الحركية الشكل التالي

$E_{\text{k}}=-mg_{tt}u^{t}u_{\text{obs}}^{t}-mc^{2}=mc^{2}{\sqrt {\frac {g_{tt}}{g_{tt}+g_{ss}v^{2}}}}-mc^{2}\,.$

بإخراج طاقة السكون كعامل مشترك نحصل على:

$E_{\text{k}}=mc^{2}\left({\sqrt {\frac {g_{tt}}{g_{tt}+g_{ss}v^{2}}}}-1\right)\,.$

يختزل هذا التعبير إلى الحالة النسبية الخاصة لمقياس الفضاء المسطح حيث

${\begin{aligned}g_{tt}&=-c^{2}\\g_{ss}&=1\,.\end{aligned}}$

في التقريب النيوتني للنسبية العامة

${\begin{aligned}g_{tt}&=-\left(c^{2}+2\Phi \right)\\g_{ss}&=1-{\frac {2\Phi }{c^{2}}}\end{aligned}}$

حيث Φ هو جهد الجاذبية النيوتوني . وهذا يعني أن الساعات تعمل بشكل أبطأ وأن قضبان القياس تكون أقصر بالقرب من الأجسام الضخمة.

الطاقة الحركية في ميكانيكا الكم

في ميكانيكا الكم ، تُمثَّل الكميات القابلة للرصد، مثل الطاقة الحركية، كمؤثرات . بالنسبة لجسيم واحد كتلته m ، يظهر مؤثر الطاقة الحركية كحد في الهاميلتوني، ويُعرَّف بدلالة مؤثر الزخم الأكثر أساسية. ${\hat {p}}$ يمكن كتابة مؤثر الطاقة الحركية في الحالة غير النسبية على النحو التالي:

${\hat {T}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}.$

لاحظ أنه يمكن الحصول على ذلك عن طريق الاستبدال $p$ بواسطة ${\hat {p}}$ في التعبير الكلاسيكي للطاقة الحركية بدلالة الزخم ،

$E_{\text{k}}={\frac {p^{2}}{2m}}.$

في صورة شرودنغر ، ${\hat {p}}$ يأخذ الشكل $-i\hbar \nabla$ حيث يتم حساب المشتقة بالنسبة لإحداثيات الموضع، وبالتالي

${\hat {T}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}.$

القيمة المتوقعة للطاقة الحركية للإلكترون، $\left\langle {\hat {T}}\right\rangle$ بالنسبة لنظام مكون من N إلكترون موصوف بدالة الموجة $\vert \psi \rangle$ هو مجموع القيم المتوقعة لمؤثر الإلكترون الواحد:

$\left\langle {\hat {T}}\right\rangle =\left\langle \psi \left\vert \sum _{i=1}^{N}{\frac {-\hbar ^{2}}{2m_{\text{e}}}}\nabla _{i}^{2}\right\vert \psi \right\rangle =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{\text{e}}}}\sum _{i=1}^{N}\left\langle \psi \left\vert \nabla _{i}^{2}\right\vert \psi \right\rangle$

أين $m_{\text{e}}$ كتلة الإلكترون و $\nabla _{i}^{2}$ يمثل عامل لابلاس الذي يعمل على إحداثيات الإلكترون ^رقمi ، ويجري الجمع على جميع الإلكترونات.

لا تتطلب الصيغة الوظيفية للكثافة في ميكانيكا الكم سوى معرفة كثافة الإلكترون ، أي أنها لا تتطلب رسميًا معرفة الدالة الموجية. بفرض كثافة إلكترونية $\rho (\mathbf {r} )$ إن دالة الطاقة الحركية الدقيقة لنظام مكون من N إلكترون غير معروفة؛ ومع ذلك، في الحالة الخاصة لنظام مكون من إلكترون واحد، يمكن كتابة الطاقة الحركية على النحو التالي:

$T[\rho ]={\frac {1}{8}}\int {\frac {\nabla \rho (\mathbf {r} )\cdot \nabla \rho (\mathbf {r} )}{\rho (\mathbf {r} )}}d^{3}r$

أين $T[\rho ]$ يُعرف باسم دالة الطاقة الحركية لفون فايتسكر .

انظر أيضاً

ملحوظات

↑ جاين، ماهيش سي. (2009). كتاب في الفيزياء الهندسية (الجزء الأول) . دار نشر PHI Learning Pvt.، ص 9. ISBN 978-81-203-3862-3أُرشف من المصدر الأصلي بتاريخ 4 أغسطس 2020. تم الاطلاع عليه بتاريخ 21 يونيو 2018 .، الفصل 1، صفحة 9. مؤرشف بتاريخ 4 أغسطس 2020 في أرشيف الإنترنت (Wayback Machine).
1 2 ريسنيك، روبرت وهاليداي، ديفيد (1960) الفيزياء ، القسم 7-5، طبعة وايلي الدولية
↑ برينر، جوزيف (2008). المنطق في الواقع ( طبعة مصورة). سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 93. ISBN 978-1-4020-8375-4أُرشف من المصدر الأصلي بتاريخ 25 يناير 2020. تم الاطلاع عليه بتاريخ 1 فبراير 2016 .مقتطف من الصفحة 93، مؤرشف بتاريخ 4 أغسطس 2020 في أرشيف الإنترنت (Wayback Machine) .
↑ فيذر، نورمان (1959). مقدمة في فيزياء الكتلة والطول والزمن ( طبعة غلاف مقوى). مطبعة جامعة إدنبرة . تم الاطلاع عليه في 9 يوليو 2025 .
↑ جوديث ب. زينسر (2007). إميلي دو شاتليه: عبقرية جريئة من عصر التنوير . دار بنغوين للنشر. رقم ISBN 978-0-14-311268-6.
↑ كروسبي سميث، إم. نورتون وايز (26 أكتوبر 1989). الطاقة والإمبراطورية: دراسة سيرة ذاتية للورد كلفن . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 866. ISBN 0-521-26173-2.
↑ جون ثيودور ميرز (1912). تاريخ الفكر الأوروبي في القرن التاسع عشر . بلاكوود. ص 139. ISBN 0-8446-2579-5.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
↑ ويليام جون ماكوورن رانكين (1853). "حول القانون العام لتحول الطاقة" . وقائع الجمعية الفلسفية في غلاسكو . 3 (5).
↑ "... ما تبقى هو تحديد معنى كلمة "الطاقة" بصفات مناسبة، للتمييز بين طاقة النشاط وطاقة التكوين. ويبدو أن زوج الصفات المتضادة المعروف، "فعلي" و"محتمل"، مناسب تمامًا لهذا الغرض. ... وقد استبدل السير ويليام طومسون والبروفيسور تيت مؤخرًا كلمة "حركي" بكلمة "فعلي". " ويليام جون ماكورن رانكين (1867). " حول عبارة "الطاقة الكامنة"، وحول تعريفات الكميات الفيزيائية" . وقائع الجمعية الفلسفية في غلاسكو . المجلد السادس (الجزء الثالث).
↑ جويل، ف. ك. (2007). أساسيات الفيزياء 11 ( طبعة مصورة). دار تاتا ماكجرو هيل للتعليم. ص 12.30. ISBN 978-0-07-062060-5أُرشف من المصدر الأصلي بتاريخ 3 أغسطس 2020. تم الاطلاع عليه بتاريخ 7 يوليو 2020 .مقتطف من الصفحة 12.30، مؤرشف بتاريخ 7 يوليو 2020 في أرشيف الإنترنت (Wayback Machine) .
^ آم كويث وجي دي شيتزر (1959). أسس الديناميكا الهوائية ، الطبعة الثانية، ص.53. جون وايلي وأولاده ISBN 0-471-50952-3
↑ سيرز، فرانسيس ويستون؛ بريم، روبرت و. (1968). مقدمة في نظرية النسبية . أديسون-ويسلي. ص 127 . مقتطف من الصفحة ١٢٧ ، مؤرشف بتاريخ ٢٠٢٠-٠٨-٠٤ في أرشيف الإنترنت (Wayback Machine).
↑ ملاحظات في الفيزياء – الطاقة الحركية في إطار مركز الكتلة. مؤرشفة بتاريخ 11 يونيو 2007 على موقع Wayback Machine . Duke.edu . تاريخ الوصول: 24 نوفمبر 2007.
1 2 3 تايلور، إدوين ف.؛ ويلر، جون أرشيبالد (1992). فيزياء الزمكان: مقدمة في النسبية الخاصة (الطبعة الثانية ). نيويورك: دبليو إتش فريمان. ISBN 978-0-7167-2327-1.
1 2 أينشتاين، ألبرت (1922). معنى النسبية: أربع محاضرات ألقيت في جامعة برينستون، مايو 1921. ميثوين وشركاه المحدودة. ص 51-52 .
↑ ريسنيك، روبرت (1968). مقدمة في النسبية الخاصة . نيويورك: وايلي. ISBN 978-0-471-71725-6تم الاطلاع عليه بتاريخ 17 نوفمبر 2024 .
↑ فيتزباتريك، ريتشارد (20 يوليو 2010). "البنية الدقيقة للهيدروجين" . ميكانيكا الكم . مؤرشف من الأصل في 25 أغسطس 2016. تم الاسترجاع في 20 أغسطس 2016 .

مراجع

موقع Physics Classroom (2000). "الطاقة الحركية" . تم الاطلاع عليه بتاريخ 19-07-2015 .
كلية الرياضيات والإحصاء، جامعة سانت أندروز (2000). "سيرة غاسبار-غوستاف دي كوريوليس (1792-1843)" . تاريخ الاسترجاع: 3 مارس 2006 .
سيرواي، ريموند أ.؛ جويت، جون و. (2004). الفيزياء للعلماء والمهندسين ( الطبعة السادسة). بروكس/كول. ISBN 0-534-40842-7.
تيبلر، بول (2004). الفيزياء للعلماء والمهندسين: الميكانيكا، والتذبذبات والأمواج، والديناميكا الحرارية (الطبعة الخامسة ). دبليو إتش فريمان. رقم ISBN 0-7167-0809-4.
تيبلر، بول؛ ليويلين، رالف (2002). الفيزياء الحديثة ( الطبعة الرابعة). دبليو إتش فريمان. رقم ISBN 0-7167-4345-0.

روابط خارجية

الوسائط المتعلقة بالطاقة الحركية على ويكيميديا كومنز

[1] جاين، ماهيش سي. (2009). كتاب في الفيزياء الهندسية (الجزء الأول) . دار نشر PHI Learning Pvt.، ص 9. ISBN 978-81-203-3862-3أُرشف من المصدر الأصلي بتاريخ 4 أغسطس 2020. تم الاطلاع عليه بتاريخ 21 يونيو 2018 .، الفصل 1، صفحة 9. مؤرشف بتاريخ 4 أغسطس 2020 في أرشيف الإنترنت (Wayback Machine).

[R&H-2] 1 2 ريسنيك، روبرت وهاليداي، ديفيد (1960) الفيزياء ، القسم 7-5، طبعة وايلي الدولية

[3] برينر، جوزيف (2008). المنطق في الواقع ( طبعة مصورة). سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 93. ISBN 978-1-4020-8375-4أُرشف من المصدر الأصلي بتاريخ 25 يناير 2020. تم الاطلاع عليه بتاريخ 1 فبراير 2016 .مقتطف من الصفحة 93، مؤرشف بتاريخ 4 أغسطس 2020 في أرشيف الإنترنت (Wayback Machine) .

[4] فيذر، نورمان (1959). مقدمة في فيزياء الكتلة والطول والزمن ( طبعة غلاف مقوى). مطبعة جامعة إدنبرة . تم الاطلاع عليه في 9 يوليو 2025 .

[5] جوديث ب. زينسر (2007). إميلي دو شاتليه: عبقرية جريئة من عصر التنوير . دار بنغوين للنشر. رقم ISBN 978-0-14-311268-6.

[6] كروسبي سميث، إم. نورتون وايز (26 أكتوبر 1989). الطاقة والإمبراطورية: دراسة سيرة ذاتية للورد كلفن . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 866. ISBN 0-521-26173-2.

[7] جون ثيودور ميرز (1912). تاريخ الفكر الأوروبي في القرن التاسع عشر . بلاكوود. ص 139. ISBN 0-8446-2579-5.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )

[8] ويليام جون ماكوورن رانكين (1853). "حول القانون العام لتحول الطاقة" . وقائع الجمعية الفلسفية في غلاسكو . 3 (5).

[9] "... ما تبقى هو تحديد معنى كلمة "الطاقة" بصفات مناسبة، للتمييز بين طاقة النشاط وطاقة التكوين. ويبدو أن زوج الصفات المتضادة المعروف، "فعلي" و"محتمل"، مناسب تمامًا لهذا الغرض. ... وقد استبدل السير ويليام طومسون والبروفيسور تيت مؤخرًا كلمة "حركي" بكلمة "فعلي". " ويليام جون ماكورن رانكين (1867). " حول عبارة "الطاقة الكامنة"، وحول تعريفات الكميات الفيزيائية" . وقائع الجمعية الفلسفية في غلاسكو . المجلد السادس (الجزء الثالث).

[10] جويل، ف. ك. (2007). أساسيات الفيزياء 11 ( طبعة مصورة). دار تاتا ماكجرو هيل للتعليم. ص 12.30. ISBN 978-0-07-062060-5أُرشف من المصدر الأصلي بتاريخ 3 أغسطس 2020. تم الاطلاع عليه بتاريخ 7 يوليو 2020 .مقتطف من الصفحة 12.30، مؤرشف بتاريخ 7 يوليو 2020 في أرشيف الإنترنت (Wayback Machine) .

[11] آم كويث وجي دي شيتزر (1959). أسس الديناميكا الهوائية ، الطبعة الثانية، ص.53. جون وايلي وأولاده ISBN 0-471-50952-3

[12] سيرز، فرانسيس ويستون؛ بريم، روبرت و. (1968). مقدمة في نظرية النسبية . أديسون-ويسلي. ص 127 . مقتطف من الصفحة ١٢٧ ، مؤرشف بتاريخ ٢٠٢٠-٠٨-٠٤ في أرشيف الإنترنت (Wayback Machine).

[13] ملاحظات في الفيزياء – الطاقة الحركية في إطار مركز الكتلة. مؤرشفة بتاريخ 11 يونيو 2007 على موقع Wayback Machine . Duke.edu . تاريخ الوصول: 24 نوفمبر 2007.

[TaylorWheeler-1992-14] 1 2 3 تايلور، إدوين ف.؛ ويلر، جون أرشيبالد (1992). فيزياء الزمكان: مقدمة في النسبية الخاصة (الطبعة الثانية ). نيويورك: دبليو إتش فريمان. ISBN 978-0-7167-2327-1.

[Einstein1922-15] 1 2 أينشتاين، ألبرت (1922). معنى النسبية: أربع محاضرات ألقيت في جامعة برينستون، مايو 1921. ميثوين وشركاه المحدودة. ص 51-52 .

[16] ريسنيك، روبرت (1968). مقدمة في النسبية الخاصة . نيويورك: وايلي. ISBN 978-0-471-71725-6تم الاطلاع عليه بتاريخ 17 نوفمبر 2024 .

[17] فيتزباتريك، ريتشارد (20 يوليو 2010). "البنية الدقيقة للهيدروجين" . ميكانيكا الكم . مؤرشف من الأصل في 25 أغسطس 2016. تم الاسترجاع في 20 أغسطس 2016 .

[ 1 ]

2

[ 3 ]

[

[

[

[

[

[

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗