دالة زيتا لسيلبرغ

تم تقديم دالة زيتا سيلبرغ بواسطة أتلي سيلبرغ ( 1956 ) . وهي مماثلة لدالة زيتا ريمان الشهيرة. 

${\displaystyle \zeta (s)=\prod _{p\in \mathbb {P} }{\frac {1}{1-p^{-s}}}}$

أين${\displaystyle \mathbb {P} }$هي مجموعة الأعداد الأولية. تستخدم دالة زيتا سيلبرغ أطوال الجيوديسيات المغلقة البسيطة بدلاً من الأعداد الأولية. إذا${\displaystyle \Gamma }$إذا كانت مجموعة فرعية من SL(2, R ) ، فإن دالة زيتا المرتبطة بها من سيلبرغ تُعرَّف على النحو التالي:

${\displaystyle \zeta _{\Gamma }(s)=\prod _{p}(1-N(p)^{-s})^{-1},}$

أو

${\displaystyle Z_{\Gamma }(s)=\prod _{p}\prod _{n=0}^{\infty }(1-N(p)^{-sn}),}$

حيث يمتد p على فئات الترافق للجيوديسيات الأولية (أو ما يعادلها، فئات الترافق للعناصر الزائدية الأولية لـ${\displaystyle \Gamma }$)، و N ( p ) تشير إلى${\displaystyle \exp({\text{length of }}p)}$(بصورة مكافئة، مربع القيمة الذاتية الأكبر لـ p ).

لكل سطح زائدي ذي مساحة محدودة، توجد دالة زيتا مرتبطة به تُعرف باسم دالة سيلبرغ ؛ وهذه الدالة هي دالة ميرومورفية مُعرَّفة في المستوى المركب . تُعرَّف دالة زيتا بدلالة الخطوط الجيوديسية المغلقة للسطح.

يمكن وصف أصفار وأقطاب دالة زيتا سيلبرغ، Z ( s )، من حيث البيانات الطيفية للسطح.

توجد الأصفار عند النقاط التالية:

1. لكل شكل ذي قيمة ذاتية${\displaystyle s_{0}(1-s_{0})}$يوجد صفر عند النقطة${\displaystyle s_{0}}$رتبة الصفر تساوي بُعد الفضاء الذاتي المقابل. (الشكل القمي هو دالة ذاتية لمؤثر لابلاس-بيلترامي الذي له متسلسلة فورييه ذات حد ثابت صفري .)
2. كما أن دالة زيتا لها صفر عند كل قطب من أقطاب محدد مصفوفة التشتت،${\displaystyle \phi (s)}$رتبة الصفر تساوي رتبة القطب المقابل لمصفوفة التشتت.

تحتوي دالة زيتا أيضًا على أقطاب عند${\displaystyle 1/2-\mathbb {N} }$ويمكن أن تحتوي على أصفار أو أقطاب عند النقاط${\displaystyle -\mathbb {N} }$.

تعتبر دالة زيتا إيهارا نظيرًا لدالة زيتا سيلبرغ من النوع p -adic (ومن الناحية النظرية للرسم البياني).

في حالة كون السطح${\displaystyle \Gamma \backslash \mathbb {H} ^{2}}$، أين${\displaystyle \Gamma }$في المجموعة النمطية ، تكتسب دالة زيتا سيلبرغ أهمية خاصة. في هذه الحالة الخاصة، ترتبط دالة زيتا سيلبرغ ارتباطًا وثيقًا بدالة زيتا ريمان .

في هذه الحالة ، يُعطى محدد مصفوفة التشتت بالصيغة التالية:

${\displaystyle \varphi (s)=\pi ^{1/2}{\frac {\Gamma (s-1/2)\zeta (2s-1)}{\Gamma (s)\zeta (2s)}}.}$

على وجه الخصوص، نرى أنه إذا كانت دالة زيتا لريمان لها صفر عند${\displaystyle s_{0}}$إذن، فإن محدد مصفوفة التشتت له قطب عند${\displaystyle s_{0}/2}$وبالتالي فإن دالة زيتا لسيلبرغ لها صفر عند${\displaystyle s_{0}/2}$.

• صيغة سيلبرغ للآثار

• فيشر، يورغن (1987)، مدخل إلى صيغة أثر سيلبرغ عبر دالة زيتا لسيلبرغ ، سلسلة محاضرات في الرياضيات، المجلد  1253، برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، doi : 10.1007/BFb0077696 ، ISBN 978-3-540-15208-8، MR 0892317 
• هيجال، دينيس أ. (1976)، صيغة سيلبرغ للأثر لـ PSL(2,R). المجلد الأول ، سلسلة محاضرات في الرياضيات، المجلد 548  ، برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، doi : 10.1007/BFb0079608 ، ISBN 978-3-540-07988-0، MR 0439755 
• هيجال، دينيس أ. (1983)، صيغة سيلبرغ الأثرية لـ PSL(2,ℝ) ، سلسلة محاضرات في الرياضيات، المجلد  1001، برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، doi : 10.1007/BFb0061302 ، ISBN 978-3-540-12323-1، MR 0711197 
• إيوانيك، هـ. الأساليب الطيفية للأشكال التلقائية، الجمعية الرياضية الأمريكية، الطبعة الثانية، 2002.
• سيلبرغ، أتلي (1956)، "التحليل التوافقي والمجموعات غير المتصلة في فضاءات ريمان المتناظرة بشكل ضعيف مع تطبيقات على متسلسلات ديريشليه"، مجلة الجمعية الرياضية الهندية ، السلسلة الجديدة، 20 : 47-87 ، MR 0088511 
• فينكوڤ، أ.ب. النظرية الطيفية للدوال التلقائية. وقائع معهد ستيكلوف للرياضيات، 1982.
• Sunada, T. , L-functions in geometry and some applications, Proc. Taniguchi Symp. 1985, “Curture and Topology of Riemannian Manifolds”, Springer Lect. Note in Math. 1201(1986), 266-284.