متعدد الشعب الزائدي

في الرياضيات ، يُعرف الفضاء الزائدي بأنه فضاء تبدو فيه كل نقطة محليًا كفضاء زائدي ذي بُعد معين. وتُدرس هذه الفضاءات بشكل خاص في البُعدين 2 و3، حيث تُسمى على التوالي بالأسطح الزائدية والفضاءات الزائدية ثلاثية الأبعاد . في هذين البُعدين، تكتسب أهمية بالغة لأن معظم الفضاءات يُمكن تحويلها إلى فضاء زائدي بواسطة تماثل طوبولوجي . وهذا نتيجة لنظرية التوحيد للأسطح ونظرية الهندسة للفضاءات ثلاثية الأبعاد التي أثبتها بيرلمان .

زائدية​${\displaystyle n}$-manifold هو ريماني كامل${\displaystyle n}$-متعدد الشعب ذو انحناء مقطعي ثابت${\displaystyle -1}$.

كل مشعب كامل، متصل، بسيط الاتصال ذو انحناء سالب ثابت${\displaystyle -1}$متساوي القياس مع الفضاء الزائدي الحقيقي${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$ونتيجة لذلك، فإن الغطاء العالمي لأي مشعب مغلق${\displaystyle M}$انحناء سالب ثابت${\displaystyle -1}$يكون${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$وبالتالي، فإن كل واحد من هؤلاء${\displaystyle M}$يمكن كتابتها على النحو التالي${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}/\Gamma }$أين${\displaystyle \Gamma }$هي مجموعة منفصلة خالية من الالتواء من التماثلات على${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$. إنه،${\displaystyle \Gamma }$هي مجموعة فرعية منفصلة من${\displaystyle \mathrm {O} _{1,n}^{+}\mathbb {R} }$يكون للمتشعب حجم محدود إذا وفقط إذا${\displaystyle \Gamma }$هي شبكة .

يتكون تحليلها السميك-الرقيق من جزء رقيق يتألف من أحياء أنبوبية من خطوط جيوديسية مغلقة ونهايات ناتجة عن مسار إقليدي (${\displaystyle n-1}$مشعب ذو حجم محدود ونصف شعاع مغلق. يكون المشعب ذو حجم محدود إذا وفقط إذا كان الجزء السميك منه مضغوطًا.

أبسط مثال على الفضاء الزائدي هو الفضاء الزائدي ، حيث أن كل نقطة في الفضاء الزائدي لها جوار متساوي القياس مع الفضاء الزائدي.

لكن المثال البسيط غير التافه هو الطارة المثقوبة مرة واحدة . هذا مثال على (Isom(${\displaystyle \mathbb {H} ^{2}}$)${\displaystyle \mathbb {H} ^{2}}$متعدد الشعب (-) . يمكن تشكيل هذا عن طريق أخذ مستطيل مثالي في${\displaystyle \mathbb {H} ^{2}}$– أي مستطيل تكون رؤوسه على الحدود عند اللانهاية، وبالتالي لا توجد في المتشعب الناتج – وتحديد الصور المتقابلة.

وبالمثل، يمكننا إنشاء الكرة المثقوبة ثلاث مرات، الموضحة أدناه، عن طريق لصق مثلثين مثاليين معًا. يوضح هذا أيضًا كيفية رسم المنحنيات على السطح - يصبح الخط الأسود في الرسم البياني منحنى مغلقًا عند لصق الحواف الخضراء معًا. بما أننا نتعامل مع كرة مثقوبة، فإن الدوائر الملونة على السطح - بما في ذلك حدودها - ليست جزءًا من السطح، وبالتالي يتم تمثيلها في الرسم البياني كرؤوس مثالية .

العديد من العقد والوصلات ، بما في ذلك بعض العقد الأبسط مثل عقدة الرقم ثمانية وحلقات بوروميان ، هي عقد زائدية ، وبالتالي فإن متممة العقدة أو الوصلة في${\displaystyle S^{3}}$هو متعدد الشعب الزائدي ثلاثي الأبعاد ذو حجم محدود.

ل${\displaystyle n>2}$البنية الزائدية على حجم محدود زائدية${\displaystyle n}$تتميز المتشعبات بفرادتها وفقًا لصلابة موستو ، ولذا فإن الثوابت الهندسية هي في الواقع ثوابت طوبولوجية. ومن هذه الثوابت الهندسية، التي تُستخدم كثوابت طوبولوجية، الحجم الزائدي لمكمل العقدة أو الرابطة، والذي يسمح لنا بتمييز عقدتين عن بعضهما البعض من خلال دراسة هندسة المتشعبات الخاصة بكل منهما.

• متعدد الشعب الزائدي ثلاثي الأبعاد
• الفضاء الزائدي
• نظرية التفرع الزائد
• ليمّا مارغوليس
• مشعب ثابت زائدي عادةً

• كابوفيتش، مايكل (2009) [2001]، المشعبات الزائدية والمجموعات المنفصلة ، ​​كلاسيكيات بيركهاوزر الحديثة، بوسطن، ماساتشوستس: بيركهاوزر بوسطن، doi : 10.1007/978-0-8176-4913-5 ، ISBN 978-0-8176-4912-8MR 1792613​ 
• ماكلاشلان، كولين؛ ريد، آلان دبليو. (2003)، حسابيات المشعبات الزائدية ثلاثية الأبعاد ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات ، المجلد  219، برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، ISBN 978-0-387-98386-8، MR 1937957 
• راتكليف، جون ج. (2006) [1994]، أسس المشعبات الزائدية ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد  149 (الطبعة الثانية  )، برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، doi : 10.1007/978-0-387-47322-2 ، ISBN 978-0-387-33197-3MR 2249478​