صيغة سيلبرغ للآثار

📅 آخر تحديث: ٢ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 43 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، تُعرف صيغة سيلبرغ للأثر ، التي قدمها سيلبرغ (1956) ، بأنها تعبير عن خاصية التمثيل الوحدوي لزمرة لي G على فضاء الدوال القابلة للتكامل التربيعي L² (Γ\ G ) ، حيث Γ زمرة منفصلة منتهية . وتُعطى هذه الخاصية بأثر دوال معينة على G.

أبسط الحالات هي عندما تكون Γ مجموعةً متراصةً ، حيث ينقسم التمثيل إلى مجموعات منفصلة. في هذه الحالة، تُعدّ صيغة الأثر امتدادًا لصيغة فروبينيوس لخاصية التمثيل المُستحث للمجموعات المنتهية. عندما تكون Γ هي المجموعة الفرعية المتراصة Z من الأعداد الحقيقية G = R ، فإن صيغة أثر سيلبرغ هي في جوهرها صيغة مجموع بواسون .

تُعدّ الحالة التي لا تكون فيها المجموعة Γ\ G متراصة أكثر تعقيدًا، نظرًا لوجود طيف متصل ، يُوصف باستخدام متسلسلات أيزنشتاين . وقد حلّ سيلبرغ الحالة غير المتراصة عندما تكون G هي المجموعة SL(2, R ) ؛ ويُعرف امتدادها إلى مجموعات ذات رتب أعلى بصيغة أثر آرثر-سيلبرغ .

عندما تكون Γ هي المجموعة الأساسية لسطح ريمان ، فإن صيغة سيلبرغ للأثر تصف طيف المؤثرات التفاضلية، مثل مؤثر لابلاس، بدلالة البيانات الهندسية التي تتضمن أطوال الخطوط الجيوديسية على سطح ريمان. في هذه الحالة، تُشابه صيغة سيلبرغ للأثر، شكليًا، الصيغ الصريحة التي تربط أصفار دالة زيتا لريمان بالأعداد الأولية، حيث تُقابل أصفار زيتا القيم الذاتية لمؤثر لابلاس، وتُقابل الأعداد الأولية الخطوط الجيوديسية. وانطلاقًا من هذا التشابه، قدّم سيلبرغ دالة زيتا لسطح ريمان، والتي تُشفّر خصائصها التحليلية بواسطة صيغة سيلبرغ للأثر.

التاريخ المبكر

تشمل الحالات ذات الأهمية الخاصة تلك التي يكون فيها الفضاء سطح ريمان مضغوط S. تناول المنشور الأول لأتل سيلبرغ عام 1956 هذه الحالة، ومؤثر لابلاس التفاضلي الخاص بها، وقواه. يمكن استخدام آثار قوى لابلاس لتعريف دالة زيتا لسيلبرغ . تكمن أهمية هذه الحالة في التشابه بين الصيغة المُستنتجة والصيغ الصريحة لنظرية الأعداد الأولية . هنا، تلعب الخطوط الجيوديسية المغلقة على S دور الأعداد الأولية.

في الوقت نفسه، ارتبط الاهتمام بآثار مؤثرات هيكه بصيغة إيخلر-سيلبرغ للأثر ، التي وضعها سيلبرغ ومارتن إيخلر ، لمؤثر هيكه يعمل على فضاء متجهي من الأشكال الحدية ذات وزن معين، لمجموعة فرعية توافقية معينة من المجموعة النمطية . هنا، أثر مؤثر الوحدة هو بُعد الفضاء المتجهي، أي بُعد فضاء الأشكال النمطية من نوع معين: وهي كمية تُحسب تقليديًا باستخدام نظرية ريمان-روخ .

التطبيقات

تُستخدم صيغة الأثر في الهندسة الحسابية ، ونظرية الأعداد التحليلية ، والهندسة الطيفية ، ونظرية الأشكال التلقائية . في حالة الأسطح الزائدية، تُترجم هذه الصيغة معلومات حول طيف مؤثر لابلاس -بيلترامي إلى معلومات هندسية حول الجيوديسيات المغلقة، والعكس صحيح. [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]

باختيار دالة اختبار مناسبة، تُعطي صيغة الأثر معلومات تقاربية حول القيم الذاتية لمؤثر لابلاس، بما في ذلك التقاربات من نوع فايل . بالنسبة للأسطح الزائدية المدمجة، تُظهر أيضًا أن طيف لابلاس يُحدد طيف أطوال الجيوديسيات المغلقة، وبالتالي فإن أطوال الجيوديسيات المغلقة الأولية هي ثوابت طيفية. [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]

يؤدي التشابه بين صيغة سيلبرغ للأثر والصيغ الصريحة لنظرية الأعداد الأولية إلى نظرية الجيوديسية الأولية ، التي تحسب الجيوديسيات المغلقة الأولية، أو ما يكافئها من فئات الترافق الزائدي الأولية ، حسب الطول أو المعيار. تُعد صيغة الأثر ودالة زيتا لسيلبرغ أدوات أساسية في إثبات هذه النظرية وفي تحسين حد الخطأ فيها. [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]

في زمر التطابق ، تُستخدم صيغ الأثر لدراسة الأشكال الذاتية وآثار مؤثرات هيك . في الإطار الكلاسيكي، يشمل ذلك صيغة أثر إيخلر-سيلبرغ، التي تُعطي صيغًا لآثار مؤثرات هيك على فضاءات الأشكال الحدية ، وفي حالات خاصة، صيغًا للأبعاد لفضاءات الأشكال النمطية. وبشكل أعم، تُعد صيغة الأثر إحدى الأدوات الأساسية في النظرية الطيفية للأشكال الذاتية وفي نظرية الأعداد التحليلية. [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]

تُعدّ صيغة الأثر أساسيةً أيضاً في النظرية التحليلية لدالة زيتا سيلبرغ . ويمكن استخدامها لإثبات الاستمرار الميرومورفي والمعادلة الدالية لدالة زيتا، ولربط أصفارها بالقيم الذاتية لابلاس وبهندسة الجيوديسيات المغلقة. [ 10 ] [ 4 ]

صيغة سيلبرغ للأثر للأسطح الزائدية المدمجة

يمكن كتابة السطح الزائدي المضغوط X على أنه فضاء المداراتΓ∖ح،{\displaystyle \Gamma \backslash \mathbf {H} ,}حيث Γ هي مجموعة فرعية من PSL(2, R ) ، و H هو النصف العلوي من المستوى ، و Γ تؤثر على H عن طريق التحويلات الكسرية الخطية .

تُعد صيغة سيلبرغ الأثرية لهذه الحالة أسهل من الحالة العامة لأن السطح مضغوط لذا لا يوجد طيف مستمر، ولا تحتوي المجموعة Γ على عناصر مكافئة أو إهليلجية (بخلاف عنصر الوحدة).

إذن، يكون طيف مؤثر لابلاس-بيلترامي على X منفصلاً وحقيقياً، لأن مؤثر لابلاس ذاتي الترافق مع مُحلِّل مضغوط ؛ أي 0=μ0<μ1≤μ2≤⋯{\displaystyle 0=\mu _{0}<\mu _{1}\leq \mu _{2}\leq \cdots }حيث تتوافق القيم الذاتية μ n مع الدوال الذاتية u الثابتة تحت تأثير Γ في C ∞ ( H ) لمؤثر لابلاس؛ بعبارة أخرى {u(γz)=u(z)،∀γ∈Γy2(uxx+uyy)+μنu=0.{\displaystyle {\begin{cases}u(\gamma z)=u(z),\qquad \forall \gamma \in \Gamma \\y^{2}\left(u_{xx}+u_{yy}\right)+\mu _{n}u=0.\end{cases}}}

باستخدام استبدال المتغيرات μ=s(1-s)،s=12+أنار{\displaystyle \mu =s(1-s),\qquad s={\tfrac {1}{2}}+ir} يتم تسمية القيم الذاتية رن،ن≥0.{\displaystyle r_{n},n\geq 0.}

ثم تُعطى صيغة أثر سيلبرغ على النحو التالي∑ن=0∞ح(رن)=μ(X)4π∫-∞∞رح(ر)tanh⁡(πر)در+∑{تي}سجل⁡شمال(تي0)شمال(تي)12-شمال(تي)-12ز(سجل⁡شمال(تي)).{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }h(r_{n})={\frac {\mu (X)}{4\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }r\,h(r)\tanh(\pi r)\,dr+\sum _{\{T\}}{\frac {\log N(T_{0})}{N(T)^{\frac {1}{2}}-N(T)^{-{\frac {1}{2}}}}}g(\log N(T)).}

الطرف الأيمن هو مجموع على فئات الترافق للمجموعة Γ ، حيث يمثل الحد الأول العنصر المحايد، وتشكل الحدود المتبقية مجموعًا على فئات الترافق الأخرى { T } (وهي جميعها زائدية في هذه الحالة). يجب أن تحقق الدالة h ما يلي:

  • كن تحليليًا على |Im( r ) | ≤ 1 / 2 + δ ؛
  • h (− r ) = h ( r ) ;
  • توجد ثوابت موجبة δ و M بحيث:|ح(ر)|≤م(1+|يكرر⁡(ر)|)-2-دلتا.{\displaystyle \vert h(r)\vert \leq M\left(1+\left|\operatorname {Re} (r)\right|\right)^{-2-\delta }.}

الدالة g هي تحويل فورييه للدالة h ، أي ح(ر)=∫-∞∞ز(u)هـأنارuدu.{\displaystyle h(r)=\int _{-\infty }^{\infty }g(u)e^{iru}\,du.}

صيغة سيلبرغ العامة للأثر للقسمات المتراصة

بيان عام

ليكن G زمرة أحادية المعامل متراصة محلياً، وΓ{\displaystyle \Gamma }مجموعة فرعية منفصلة متراصة من G وϕ{\displaystyle \phi }دالة متصلة ذات دعم مضغوط على G. صيغة الأثر في هذا السياق هي المساواة التالية: ∑γ∈{Γ}أΓجي(γ)∫جيγ∖جيϕ(x-1γx)دx=∑π∈جي^أΓجي(π)tr⁡π(ϕ)// {tr} \pi (\phi )} أين{Γ}{\displaystyle \{\Gamma \}}هي مجموعة فئات الاقتران فيΓ{\displaystyle \Gamma }،جي^{\displaystyle {\widehat {G}}}هو الثنائي الوحدوي لـ G و:

  • لعنصرγ∈Γ{\displaystyle \gamma \in \Gamma }،أΓجي(γ)=مقدار(Γγ∖جيγ){\displaystyle a_{\Gamma }^{G}(\gamma )={\text{volume}}(\Gamma ^{\gamma }\setminus G^{\gamma })}معجيγ،Γγ{\displaystyle G^{\gamma },\Gamma ^{\gamma }}مركزييγ{\displaystyle \gamma }فيجي،Γ{\displaystyle G,\Gamma }على التوالى؛
  • لتمثيل وحدوي غير قابل للاختزالπ{\displaystyle \pi }لجي{\displaystyle G}،أΓجي(π){\displaystyle a_{\Gamma }^{G}(\pi )}تعددية​​π{\displaystyle \pi }في التمثيل الصحيح علىΓ∖جي{\displaystyle \Gamma \backslash G}فيل2(Γ∖جي{\displaystyle L^{2}(\Gamma \backslash G})، وπ(ϕ){\displaystyle \pi (\phi )}هو المشغل∫جيϕ(ز)π(ز)دز{\displaystyle \int _{G}\phi (g)\pi (g)dg}؛
  • تُحسب جميع التكاملات والأحجام بالنسبة إلى مقياس هار علىجي{\displaystyle G}أو نواتج قسمتها.

يُطلق على الجانب الأيسر من الصيغة اسم الجانب الهندسي ، وعلى الجانب الأيمن اسم الجانب الطيفي .∫جيγ∖جيϕ(x-1γx)دx{\displaystyle \int _{G^{\gamma }\setminus G}\phi (x^{-1}\gamma x)\,dx}هي تكاملات مدارية .

دليل

عرّف المعامل التالي على الدوال ذات الدعم المحدود علىΓ∖جي{\displaystyle \Gamma \backslash G}: R(ϕ)=∫جيϕ(x)R(x)دx.{\displaystyle R(\phi )=\int _{G}\phi (x)R(x)\,dx.} ويمتد بشكل مستمر إلىل2(Γ∖جي){\displaystyle L^{2}(\Gamma \setminus G)}ولـو∈ل2(Γ∖جي){\displaystyle f\in L^{2}(\Gamma \setminus G)}لدينا: (R(ϕ)و)(x)=∫جيϕ(y)و(xy)دy=∫Γ∖جي(∑γ∈Γϕ(x-1γy))و(y)دy{\displaystyle (R(\phi )f)(x)=\int _{G}\phi (y)f(xy)\,dy=\int _{\Gamma \setminus G}\left(\sum _{\gamma \in \Gamma }\phi (x^{-1}\gamma y)\right)f(y)\,dy} بعد تغيير المتغيرات. بافتراضΓ∖جي{\displaystyle \Gamma \setminus G}صغير الحجم، المشغلR(ϕ){\displaystyle R(\phi )}هي فئة التتبع ، وصيغة التتبع هي نتيجة حساب تتبعها بطريقتين كما هو موضح أدناه. [ 11 ]

أثرR(ϕ){\displaystyle R(\phi )}يمكن التعبير عنها كتكامل النواةك(x،y)=∑γ∈Γϕ(x-1γy){\displaystyle K(x,y)=\sum _{\gamma \in \Gamma }\phi (x^{-1}\gamma y)}على طول القطر، أي: tr⁡R(ϕ)=∫Γ∖جي∑γ∈Γϕ(x-1γx)دx.{\displaystyle \operatorname {tr} R(\phi )=\int _{\Gamma \setminus G}\sum _{\gamma \in \Gamma }\phi (x^{-1}\gamma x)\,dx.} يترك{Γ}{\displaystyle \{\Gamma \}}تشير إلى مجموعة من ممثلي فئات الاقتران فيΓ{\displaystyle \Gamma }، وΓγ{\displaystyle \Gamma ^{\gamma }}وجيγ{\displaystyle G^{\gamma }}الجهات المركزية المعنيةγ{\displaystyle \gamma }ثم يمكن كتابة التكامل أعلاه بعد إجراء بعض العمليات الحسابية. tr⁡R(ϕ)=∑γ∈{Γ}أΓجي(γ)∫جيγ∖جيϕ(x-1γx)دx.{\displaystyle \operatorname {tr} R(\phi )=\sum _{\gamma \in \{\Gamma \}}a_{\Gamma }^{G}(\gamma )\int _{G^{\gamma }\setminus G}\phi (x^{-1}\gamma x)\,dx.} وهذا يعطي الجانب الهندسي لصيغة الأثر.

يأتي الجانب الطيفي من صيغة الأثر من حساب أثرR(ϕ){\displaystyle R(\phi )}باستخدام تحليل التمثيل المنتظم لـجي{\displaystyle G}إلى مكوناتها غير القابلة للاختزال. وهكذا. tr⁡R(ϕ)=∑π∈جي^أΓجي(π)tr⁡π(ϕ){\displaystyle \operatorname {tr} R(\phi )=\sum _{\pi \in {\hat {G}}}a_{\Gamma }^{G}(\pi )\operatorname {tr} \pi (\phi )} أينجي^{\displaystyle {\hat {G}}}هي مجموعة التمثيلات الوحدوية غير القابلة للاختزال لـجي{\displaystyle G}(تذكر أن العدد الصحيح الموجبأΓجي(π){\displaystyle a_{\Gamma }^{G}(\pi )}تعدديةπ{\displaystyle \pi }في التمثيل الوحدويR{\displaystyle R}علىل2(Γ∖جي){\displaystyle L^{2}(\Gamma \setminus G)}).

حالة مجموعات لي شبه البسيطة والفضاءات المتناظرة

متىجي{\displaystyle G}هي زمرة لي شبه بسيطة ذات زمرة فرعية مضغوطة قصوىك{\displaystyle K}وX=جي/ك{\displaystyle X=G/K}الفضاء المتناظر المرتبط بفئات الاقتران فيΓ{\displaystyle \Gamma }يمكن وصفها بمصطلحات هندسية باستخدام مشعب ريماني مضغوط (أو بشكل أعم مشعب مداري).Γ∖X{\displaystyle \Gamma \backslash X}. يمكن بعد ذلك حساب التكاملات المدارية والآثار في الحدود غير القابلة للاختزال بشكل أكبر، وعلى وجه الخصوص يمكن للمرء استعادة حالة صيغة الأثر للأسطح الزائدية بهذه الطريقة.

أعمال لاحقة

لقد استندت النظرية العامة لمتسلسلات أيزنشتاين إلى حد كبير إلى ضرورة فصل الطيف المتصل ، وهو ما يميز الحالة غير المتراصة. [ 12 ]

غالبًا ما تُستخدم صيغة الأثر للمجموعات الجبرية فوق الأديليات بدلًا من مجموعات لي، لأن ذلك يجعل المجموعة الفرعية المنفصلة المقابلة Γ مجموعة جبرية فوق حقل، وهو ما يُسهّل التعامل معها تقنيًا. نُوقشت حالة SL 2 ( C ) في غيلفاند، غريف ، وبياتيتسكي -شابيرو (1990) وإلسترودت ، غرونوالد، ومينيك (1998) . كما تناول غيلفاند وآخرون SL 2 ( F ) حيث F حقل طوبولوجي متراص محليًا ذو معيار فائق القياس ، أي امتداد محدود للأعداد p-adic Q p أو لسلسلة لوران الرسمية F q (( T ))؛ كما تناولوا الحالة الأديليّة في الخاصية 0، جامعًا جميع الإكمالات R و Q p للأعداد النسبية Q.

من بين النظريات المعاصرة التي تلت هذه النظرية، صيغة أثر آرثر-سيلبرغ التي تنطبق على حالة G شبه البسيط العام ، والعديد من الدراسات التي تناولت صيغة الأثر في فلسفة لانجلاندز (والتي تتناول مسائل تقنية مثل التنظير الداخلي ). ويمكن اشتقاق صيغة أثر سيلبرغ من صيغة أثر آرثر-سيلبرغ ببذل بعض الجهد.

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. 1 2 بوسر، بيتر (1992). هندسة وأطياف أسطح ريمان المدمجة . سلسلة التقدم في الرياضيات. المجلد  106. بوسطن: بيركهاوزر بوسطن. ISBN 0-8176-3406-1.
  2. 1 2 تشافيل، إسحاق؛ راندول، بيرتون (1984). "الحادي عشر. صيغة أثر سيلبرغ". القيم الذاتية في الهندسة الريمانية . الرياضيات البحتة والتطبيقية. المجلد 115. دار النشر الأكاديمية. ISBN  0-12-170640-0.
  3. 1 2 سونادا، توشيكازو (1991). "صيغ الأثر في الهندسة الطيفية". وقائع المؤتمر الدولي للرياضيات، كيوتو، 1990. سبرينغر-فيرلاغ. ص 577-585 . 
  4. 1 2 هيجال، دينيس أ. (1976). "صيغة سيلبرغ الأثرية ودالة زيتا لريمان". مجلة ديوك الرياضية . 43 (3): 441-482 . doi : 10.1215/S0012-7094-76-04338-6 .
  5. ^ إيوانيك، هنريك (1984). “النظرية الجيوديسية الأولية”. Journal für die reine und angewandte Mathematik . 349 : 136 – 159.
  6. ↑ هيجال، دينيس أ. (1976). صيغة سيلبرغ الأثرية لـ PSL(2,R). المجلد الأول . سلسلة محاضرات في الرياضيات. المجلد 548. برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ. doi : 10.1007/BFb0079608 . ISBN  978-3-540-07988-0.
  7. ↑ بوريل، أرماند (1997). الأشكال التلقائية على SL 2 (R) . سلسلة كامبريدج في الرياضيات. المجلد 130. مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN  0-521-58049-8.
  8. ↑ إيوانيك، هنريك (2002). الطرق الطيفية للأشكال التلقائية . دراسات عليا في الرياضيات. المجلد 53 ( الطبعة الثانية). الجمعية الأمريكية للرياضيات. ISBN   0-8218-3160-7.
  9. ↑ كناب، أ. و.؛ روغافسكي، ج. د. (1997). "تطبيقات صيغة الأثر". نظرية التمثيل والأشكال التلقائية . وقائع الندوات في الرياضيات البحتة. المجلد 61. بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية. الصفحات 413-431 . doi : 10.1090/pspum/061/1476507 .  
  10. ↑ فيشر، يورغن (1987). مدخل إلى صيغة أثر سيلبرغ عبر دالة زيتا لسيلبرغ . سلسلة محاضرات في الرياضيات. المجلد 1253. برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ. doi : 10.1007/BFb0077696 . ISBN  978-3-540-15208-8.
  11. ↑ هذا العرض التقديمي مأخوذ من آرثر (1989). "صيغة الأثر ومؤثرات هيك". نظرية الأعداد، صيغ الأثر، والمجموعات المنفصلة . دار النشر الأكاديمية.
  12. ↑ لاكس وفيليبس 1980

مراجع