الانحدار شبه البارامتري

يُعطى النموذج الخطي الجزئي بواسطة

${\displaystyle Y_{i}=X'_{i}\beta +g\left(Z_{i}\right)+u_{i},\,\quad i=1,\ldots ,n,\,}$

أين${\displaystyle Y_{i}}$المتغير التابع،${\displaystyle X_{i}}$هو${\displaystyle p\times 1}$متجه المتغيرات التفسيرية،${\displaystyle \beta }$هو${\displaystyle p\times 1}$متجه المعاملات المجهولة و${\displaystyle Z_{i}\in \operatorname {R} ^{q}}$يُعطى الجزء البارامتري من النموذج الخطي الجزئي بواسطة متجه المعاملات.${\displaystyle \beta }$بينما الجزء غير البارامتري هو الدالة المجهولة${\displaystyle g\left(Z_{i}\right)}$يُفترض أن البيانات مستقلة ومتطابقة التوزيع.${\displaystyle E\left(u_{i}|X_{i},Z_{i}\right)=0}$ويسمح النموذج بعملية خطأ غير متجانسة مشروطة${\displaystyle E\left(u_{i}^{2}|x,z\right)=\sigma ^{2}\left(x,z\right)}$ذات شكل غير معروف. تم اقتراح هذا النوع من النماذج بواسطة روبنسون (1988) وتم توسيعه للتعامل مع المتغيرات الفئوية بواسطة راسين ولي (2007).

يتم تطبيق هذه الطريقة عن طريق الحصول على${\displaystyle {\sqrt {n}}}$مقدر متسق لـ${\displaystyle \beta }$ثم اشتقاق مُقدِّر لـ${\displaystyle g\left(Z_{i}\right)}$من الانحدار غير البارامتري لـ${\displaystyle Y_{i}-X'_{i}{\hat {\beta }}}$على${\displaystyle z}$باستخدام طريقة انحدار غير معلمية مناسبة. ^{[ 1 ]}

يأخذ نموذج المؤشر الواحد الشكل التالي:

${\displaystyle Y=g\left(X'\beta _{0}\right)+u,\,}$

أين${\displaystyle Y}$،${\displaystyle X}$و${\displaystyle \beta _{0}}$يتم تعريفها كما سبق، وحد الخطأ${\displaystyle u}$يرضي${\displaystyle E\left(u|X\right)=0}$يستمد نموذج المؤشر الفردي اسمه من الجزء البارامتري من النموذج${\displaystyle x'\beta }$وهو مؤشر عددي مفرد. أما الجزء غير البارامتري فهو الدالة المجهولة.${\displaystyle g\left(\cdot \right)}$.

يقترح هاستي وتيبشيراني (1993) نموذجًا سلسًا للمعاملات يُعطى بواسطة

${\displaystyle Y_{i}=\alpha \left(Z_{i}\right)+X'_{i}\beta \left(Z_{i}\right)+u_{i}=\left(1+X'_{i}\right)\left({\begin{array}{c}\alpha \left(Z_{i}\right)\\\beta \left(Z_{i}\right)\end{array}}\right)+u_{i}=W'_{i}\gamma \left(Z_{i}\right)+u_{i},}$

أين${\displaystyle X_{i}}$هو${\displaystyle k\times 1}$متجه و${\displaystyle \beta \left(z\right)}$هو متجه من الدوال الملساء غير المحددة لـ${\displaystyle z}$.

${\displaystyle \gamma \left(\cdot \right)}$يمكن التعبير عنها على النحو التالي

${\displaystyle \gamma \left(Z_{i}\right)=\left(E\left[W_{i}W'_{i}|Z_{i}\right]\right)^{-1}E\left[W_{i}Y_{i}|Z_{i}\right].}$