توزيع لوغاريتمي لوجستي مُزاح

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 28 صور
الموسوعة الحرة

يُعرف التوزيع اللوجستي المُزاح أيضًا باسم التوزيع اللوجستي المعمم أو التوزيع اللوجستي ذي المعلمات الثلاث . [ 1 ] [ 2 ] وقد أُطلق عليه أيضًا اسم التوزيع اللوجستي المعمم ، [ 3 ] ولكن هذا يتعارض مع استخدامات أخرى للمصطلح: انظر التوزيع اللوجستي المعمم .

تعريف

يمكن الحصول على التوزيع اللوجستي اللوغاريتمي المُزاح من التوزيع اللوجستي اللوغاريتمي بإضافة مُعامل إزاحة .دلتا{\displaystyle \delta }وبالتالي إذاX{\displaystyle X}إذا كان التوزيع لوجستيًا لوغاريتميًاX+دلتا{\displaystyle X+\delta }له توزيع لوغاريتمي لوجستي مُزاح. لذا Y{\displaystyle Y}يكون له توزيع لوغاريتمي لوجستي مُزاح إذاسجل⁡(Y-دلتا){\displaystyle \log(Y-\delta )}يتبع التوزيع اللوجستي. تضيف معلمة الإزاحة معلمة موقع إلى معلمات المقياس والشكل للتوزيع اللوجستي (غير المُزاح).

يمكن استنتاج خصائص هذا التوزيع بسهولة من خصائص التوزيع اللوجستي اللوغاريتمي. ومع ذلك، فإن استخدام معلمات بديلة، مشابهة لتلك المستخدمة في توزيع باريتو المعمم وتوزيع القيمة القصوى المعمم ، يوفر معلمات أكثر قابلية للتفسير ويساعد أيضًا في تقديرها.

في هذه المعلمة، تكون دالة التوزيع التراكمي (CDF) للتوزيع اللوجستي المزاح هي

F(x؛μ،σ،ξ)=11+(1+ξ(x-μ)σ)-1/ξ{\displaystyle F(x;\mu ,\sigma ,\xi )={\frac {1}{1+\left(1+{\frac {\xi (x-\mu )}{\sigma }}\right)^{-1/\xi }}}}

ل1+ξ(x-μ)/σ⩾0{\displaystyle 1+\xi (x-\mu )/\sigma \geqslant 0}، أينμ∈R{\displaystyle \mu \in \mathbb {R} }هو مُعامل الموقع،σ>0{\displaystyle \sigma >0\,}معامل المقياس وξ∈R{\displaystyle \xi \in \mathbb {R} }معامل الشكل. لاحظ أن بعض المراجع تستخدمκ=-ξ{\displaystyle \kappa =-\xi \,\!}لتحديد معلمات الشكل. [ 3 ] [ 4 ]

دالة كثافة الاحتمال (PDF) هي

و(x؛μ،σ،ξ)=(1+ξ(x-μ)σ)-(1/ξ+1)σ[1+(1+ξ(x-μ)σ)-1/ξ]2،{\displaystyle f(x;\mu ,\sigma ,\xi )={\frac {\left(1+{\frac {\xi (x-\mu )}{\sigma }}\right)^{-(1/\xi +1)}}{\sigma \left[1+\left(1+{\frac {\xi (x-\mu )}{\sigma }}\right)^{-1/\xi }\right]^{2}}},}

مرة أخرى، من أجل1+ξ(x-μ)/σ⩾0.{\displaystyle 1+\xi (x-\mu )/\sigma \geqslant 0.}

معامل الشكلξ{\displaystyle \xi }غالباً ما يقتصر نطاق دالة كثافة الاحتمال على الفترة [-1,1]، عندما تكون دالة كثافة الاحتمال محدودة.|ξ|>1{\displaystyle |\xi |>1}، ولها خط تقارب عندx=μ-σ/ξ{\displaystyle x=\mu -\sigma /\xi }عكس إشارةξ{\displaystyle \xi }يعكس ملف PDF وملف CDF حولx=μ.{\displaystyle x=\mu .}.

  • متىμ=σ/ξ،{\displaystyle \mu =\sigma /\xi ,}يختزل التوزيع اللوجستي المزاح إلى التوزيع اللوجستي.
  • متىξ{\displaystyle \xi }→ 0، يختزل التوزيع اللوجستي المزاح إلى التوزيع اللوجستي .
  • النموذج اللوجستي المزاح ذو معامل الشكلξ=1{\displaystyle \xi =1}وهو نفسه توزيع باريتو المعمم ذو معامل الشكلξ=1.{\displaystyle \xi =1.}

التطبيقات

يُستخدم التوزيع اللوجستي ذو الثلاثة معلمات في علم المياه لنمذجة تواتر الفيضانات. [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]

تحديد المعلمات البديلة

فيما يلي صيغة بديلة للمعاملات تتضمن تعبيرات أبسط لدالة كثافة الاحتمال ودالة التوزيع التراكمي. بالنسبة لمعامل الشكلα{\displaystyle \alpha }، معامل المقياسβ{\displaystyle \beta }ومعلمة الموقعγ{\displaystyle \gamma }يتم تقديم دالة كثافة الاحتمال بواسطة [ 6 ] [ 7 ]

و(x)=αβ(x-γβ)α-1(1+(x-γβ)α)-2{\displaystyle f(x)={\frac {\alpha }{\beta }}{\bigg (}{\frac {x-\gamma }{\beta }}{\bigg )}^{\alpha -1}{\bigg (}1+{\bigg (}{\frac {x-\gamma }{\beta }}{\bigg )}^{\alpha }{\bigg )}^{-2}}

يتم إعطاء دالة التوزيع التراكمي بواسطة

F(x)=(1+(βx-γ)α)-1{\displaystyle F(x)={\bigg (}1+{\bigg (}{\frac {\beta }{x-\gamma }}{\bigg )}^{\alpha }{\bigg )}^{-1}}

المتوسط ​​هوβθcsc⁡(θ)+γ{\displaystyle \beta \theta \csc(\theta )+\gamma }والتباين هوβ2θ[2csc⁡(2θ)-θcsc2⁡(θ)]{\displaystyle \beta ^{2}\theta [2\csc(2\theta )-\theta \csc ^{2}(\theta )]}، أينθ=πα{\displaystyle \theta ={\frac {\pi }{\alpha }}}[ 7 ]​

مراجع

  1. ↑ فينتر، غاري ج. (ربيع 1994)، "مقدمة لأوراق مختارة من برنامج جائزة التباين في الاحتياطيات" (ملف PDF) ، منتدى جمعية الخبراء الاكتواريين في مجال التأمين على الحوادث ، 1 : 91-101
  2. ↑ جيسكوس، رونالد ب. (2001)، "طرق لتقدير توزيع فترة حضانة الإيدز عند حذف تاريخ التحول المصلي"، الإحصاء في الطب ، 20 (5): 795-812 ، doi : 10.1002/sim.700 ، PMID 11241577 
  3. 1 2 3 هوسكينغ، جوناثان آر إم؛ واليس، جيمس آر (1997)، تحليل التردد الإقليمي: منهج قائم على العزوم-L ، مطبعة جامعة كامبريدج، ISBN 0-521-43045-3
  4. 1 2 روبسون، أ.؛ ريد، د. (1999)، دليل تقدير الفيضانات ، المجلد 3: "الإجراءات الإحصائية لتقدير تواتر الفيضانات"، والينغفورد، المملكة المتحدة: معهد الهيدرولوجيا، ISBN  0-948540-89-3
  5. ↑ أحمد، إم آي؛ سنكلير، سي دي؛ ويريتي، أ. (1988)، "تحليل تردد الفيضانات باستخدام نموذج اللوجستي اللوجستي"، مجلة علم المياه ، 98 ( 3-4 ): 205-224 ، رمز Bibcode : 1988JHyd...98..205A ، doi : 10.1016/0022-1694(88)90015-7
  6. ↑ "EasyFit - Log-Logistic Distribution" . تم الاطلاع عليه في 1 أكتوبر 2016 .
  7. 1 2 "دليل الاستخدام - RISK7_EN.pdf" (PDF) . تم الاسترجاع 1 أكتوبر 2016 .