توزيع باريتو

انطلاقاً من التعريف، فإن دالة التوزيع التراكمي لمتغير عشوائي باريتو ذي المعاملات α و x _m هي

$${\displaystyle F_{X}(x)={\begin{cases}1-\left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{x}}\right)^{\alpha }&x\geq x_{\mathrm {m} },\\0&x<x_{\mathrm {m} }.\end{cases}}}$$

ويترتب على ذلك ( بالتفاضل ) أن دالة كثافة الاحتمال هي

$$//$$

عند تمثيل التوزيع بيانيًا على محاور خطية، فإنه يأخذ شكل المنحنى المألوف على هيئة حرف J، والذي يقترب من كل محور من المحاور المتعامدة بشكل تقاربي . جميع أجزاء المنحنى متشابهة ذاتيًا (مع مراعاة عوامل القياس المناسبة). أما عند تمثيله بيانيًا على مخطط لوغاريتمي ، فيُمثَّل التوزيع بخط مستقيم.

• القيمة المتوقعة لمتغير عشوائي يتبع توزيع باريتو هي$${\displaystyle \operatorname {E} (X)={\begin{cases}\infty &\alpha \leq 1,\\{\frac {\alpha x_{\mathrm {m} }}{\alpha -1}}&\alpha >1.\end{cases}}}$$
• تباين المتغير العشوائي الذي يتبع توزيع باريتو هو$${\displaystyle \operatorname {Var} (X)={\begin{cases}\infty &\alpha \in (1,2],\\\left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{\alpha -1}}\right)^{2}{\frac {\alpha }{\alpha -2}}&\alpha >2.\end{cases}}}$$(إذا كانت قيمة α ≤ 1، فإن التباين غير موجود.)
• اللحظات الخام هي$${\displaystyle \mu _{n}'={\begin{cases}\infty &\alpha \leq n,\\{\frac {\alpha x_{\mathrm {m} }^{n}}{\alpha -n}}&\alpha >n.\end{حالات}}}$$
• تُعرَّف دالة توليد العزوم فقط للقيم غير الموجبة t  ≤  0 كما يلي:$${\displaystyle M\left(t;\alpha ,x_{\mathrm {m} }\right)=\operatorname {E} \left[e^{tX}\right]=\alpha (-x_ {\mathrm {m} }t)^{\alpha }\Gamma (-\alpha ,-x_{\mathrm {m} }t)}$$$${\displaystyle M\left(0,\alpha ,x_{\mathrm {m} }\right)=1.}$$وبالتالي، بما أن القيمة المتوقعة لا تتقارب على فترة مفتوحة تحتوي على${\displaystyle t=0}$نقول إن دالة توليد العزوم غير موجودة.
• الدالة المميزة معطاة بالصيغة التالية$${\displaystyle \varphi (t;\alpha ,x_{\mathrm {m} })=\alpha (-ix_{\mathrm {m} }t)^{\alpha }\Gamma (-\alpha ,-ix_{\mathrm {m} }t),}$$حيث Γ( a , x ) هي دالة غاما غير الكاملة . 

يمكن إيجاد المعاملات باستخدام طريقة العزوم . ^{[ 9 ]}

التوزيع الاحتمالي الشرطي لمتغير عشوائي يتبع توزيع باريتو، بالنظر إلى الحدث الذي يكون فيه أكبر من أو يساوي عددًا معينًا ${\displaystyle x_{1}}$تجاوز${\displaystyle x_{\text{m}}}$، هو توزيع باريتو له نفس مؤشر باريتو ${\displaystyle \alpha }$ولكن بأقل قدر ممكن ${\displaystyle x_{1}}$بدلاً من${\displaystyle x_{\text{m}}}$:

$${\displaystyle {\text{Pr}}(X\geq x|X\geq x_{1})={\begin{cases}\left({\frac {x_{1}}{x}}\right)^{\alpha }&x\geq x_{1},\\1&x<x_{1}.\end{cases}}}$$

وهذا يعني أن القيمة المتوقعة الشرطية (إذا كانت محدودة، أي${\displaystyle \alpha >1}$) يتناسب مع${\displaystyle x_{1}}$:

$${\displaystyle {\text{E}}(X|X\geq x_{1})\propto x_{1}.}$$

في حالة المتغيرات العشوائية التي تصف عمر جسم ما، فإن هذا يعني أن متوسط ​​العمر المتوقع يتناسب طرديًا مع العمر، ويسمى ذلك تأثير ليندي أو قانون ليندي. ^{[ 10 ]}

يفترض${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\dotsc }$هي متغيرات عشوائية مستقلة ومتطابقة التوزيع، ويتم دعم توزيعها الاحتمالي على الفترة${\displaystyle [x_{\text{m}},\infty )}$بالنسبة للبعض${\displaystyle x_{\text{m}}>0}$لنفترض أن ذلك ينطبق على جميع${\displaystyle n}$المتغيران العشوائيان${\displaystyle \min\{X_{1},\dotsc ,X_{n}\}}$و${\displaystyle (X_{1}+\dotsb +X_{n})/\min\{X_{1},\dotsc ,X_{n}\}}$إذا كانت المتغيرات مستقلة، فإن التوزيع المشترك هو توزيع باريتو.

المتوسط ​​الهندسي ( G ) هو ^{[ 11 ]}

$${\displaystyle G=x_{\text{m}}\exp \left({\frac {1}{\alpha }}\right).}$$

المتوسط ​​التوافقي ( H ) هو ^{[ 11 ]}

$${\displaystyle H=x_{\text{m}}\left(1+{\frac {1}{\alpha }}\right).}$$

يُخفي التوزيع المنحني المميز ذو " الذيل الطويل "، عند رسمه على مقياس خطي، البساطة الكامنة للدالة عند رسمها على رسم بياني لوغاريتمي ، والذي يأخذ حينها شكل خط مستقيم ذي ميل سالب: ويترتب على صيغة دالة كثافة الاحتمال أنه بالنسبة لـ x ≥ x _m ،

$${\displaystyle \log f_{X}(x)=\log \left(\alpha {\frac {x_{\mathrm {m} }^{\alpha }}{x^{\alpha +1}}}\right)=\log(\alpha x_{\mathrm {m} }^{\alpha })-(\alpha +1)\log x.}$$

بما أن α موجبة، فإن التدرج −( α  +  1) سالب.

توجد تسلسلات هرمية ^{[ 8 ] [ 12 ]} لتوزيعات باريتو، تُعرف بتوزيعات باريتو من النوع الأول والثاني والثالث والرابع، وتوزيعات فيلر-باريتو. ^{[ 8 ] [ 12 ] [ 13 ]} يحتوي توزيع باريتو من النوع الرابع على توزيعات باريتو من النوع الأول إلى الثالث كحالات خاصة. أما توزيع فيلر-باريتو ^{[ 12 ] [ 14 ]} فهو تعميم لتوزيع باريتو من النوع الرابع.

أنواع باريتو من الأول إلى الرابع

يتم تلخيص التسلسل الهرمي لتوزيع باريتو في الجدول التالي الذي يقارن وظائف البقاء (CDF التكميلي).

عندما تكون قيمة μ = 0، يُعرف توزيع باريتو من النوع الثاني أيضًا باسم توزيع لوماكس . ^{[ 15 ]}

في هذا القسم، يتم استبدال الرمز x _m ، المستخدم سابقًا للإشارة إلى القيمة الدنيا لـ x ، بالرمز σ . 

توزيعات باريتو

	${\displaystyle {\overline {F}}(x)=1-F(x)}$	يدعم	حدود
النوع الأول	${\displaystyle \left[{\frac {x}{\sigma }}\right]^{-\alpha }}$	${\displaystyle x\geq \sigma }$	${\displaystyle \sigma >0,\alpha }$
النوع الثاني	${\displaystyle \left[1+{\frac {x-\mu }{\sigma }}\right]^{-\alpha }}$	${\displaystyle x\geq \mu }$	${\displaystyle \mu \in \mathbb {R} ,\sigma >0,\alpha }$
لوماكس	${\displaystyle \left[1+{\frac {x}{\sigma }}\right]^{-\alpha }}$	${\displaystyle x\geq 0}$	${\displaystyle \sigma >0,\alpha }$
النوع الثالث	${\displaystyle \left[1+\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{1/\gamma }\right]^{-1}}$	${\displaystyle x\geq \mu }$	${\displaystyle \mu \in \mathbb {R} ,\sigma ,\gamma >0}$
النوع الرابع	${\displaystyle \left[1+\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{1/\gamma }\right]^{-\alpha }}$	${\displaystyle x\geq \mu }$	${\displaystyle \mu \in \mathbb {R} ,\sigma ,\gamma >0,\alpha }$

معامل الشكل α هو مؤشر الذيل ، وμ هو الموقع، و σ هو المقياس، وγ هو معامل عدم المساواة. بعض الحالات الخاصة من نوع باريتو (IV) هي

$${\displaystyle P(IV)(\sigma ,\sigma ,1,\alpha )=P(I)(\sigma ,\alpha ),}$$$${\displaystyle P(IV)(\mu ,\sigma ,1,\alpha )=P(II)(\mu ,\sigma ,\alpha ),}$$$${\displaystyle P(IV)(\mu ,\sigma ,\gamma ,1)=P(III)(\mu ,\sigma ,\gamma ).}$$

تعتمد محدودية المتوسط، ووجود التباين ومحدوديته، على مؤشر الذيل α (مؤشر عدم المساواة γ ). وبالتحديد، تكون العزوم الكسرية δ محدودة لبعض قيم δ > 0، كما هو موضح في الجدول أدناه، حيث لا يشترط أن يكون δ عددًا صحيحًا.

لحظات توزيعات باريتو من الأول إلى الرابع (الحالة μ = 0)

	${\displaystyle \operatorname {E} [X]}$	حالة	${\displaystyle \operatorname {E} [X^{\delta }]}$	حالة
النوع الأول	${\displaystyle {\frac {\sigma \alpha }{\alpha -1}}}$	${\displaystyle \alpha >1}$	${\displaystyle {\frac {\sigma ^{\delta }\alpha }{\alpha -\delta }}}$	${\displaystyle \delta <\alpha }$
النوع الثاني	${\displaystyle {\frac {\sigma }{\alpha -1}}+\mu }$	${\displaystyle \alpha >1}$	${\displaystyle {\frac {\sigma ^{\delta }\Gamma (\alpha -\delta )\Gamma (1+\delta )}{\Gamma (\alpha )}}}$	${\displaystyle 0<\delta <\alpha ,\mu =0}$
النوع الثالث	${\displaystyle \sigma \Gamma (1-\gamma )\Gamma (1+\gamma )}$	${\displaystyle -1<\gamma <1}$	${\displaystyle \sigma ^{\delta }\Gamma (1-\gamma \delta )\Gamma (1+\gamma \delta )}$	${\displaystyle -\gamma ^{-1}<\delta <\gamma ^{-1}}$
النوع الرابع	${\displaystyle {\frac {\sigma \Gamma (\alpha -\gamma )\Gamma (1+\gamma )}{\Gamma (\alpha )}}}$	${\displaystyle -1<\gamma <\alpha }$	${\displaystyle {\frac {\sigma ^{\delta }\Gamma (\alpha -\gamma \delta )\Gamma (1+\gamma \delta )}{\Gamma (\alpha )}}}$	${\displaystyle -\gamma ^{-1}<\delta <\alpha /\gamma }$

عندما يكون المتغير العشوائي${\displaystyle Y}$يتبع توزيع باريتو، ثم معكوسه${\displaystyle X=1/Y}$يتبع توزيع القوة. توزيع باريتو العكسي مكافئ لتوزيع القوة ^{[ 17 ]}

$${\displaystyle Y\sim \mathrm {Pa} (\alpha ,x_{\mathrm {m} })={\frac {\alpha x_{\mathrm {m} }^{\alpha }}{y^{\alpha +1}}}\quad (y\geq x_{\mathrm {m} })\quad \Leftrightarrow \quad X\sim \mathrm {iPa} (\alpha ,x_{\mathrm {m} })=\mathrm {Power} (x_{\mathrm {m} }^{-1},\alpha )={\frac {\alpha x^{\alpha -1}}{(x_{\mathrm {m} }^{-1})^{\alpha }}}\quad (0<x\leq x_{\mathrm {m} }^{-1})}$$

يرتبط توزيع باريتو بالتوزيع الأسي كما يلي: إذا كان المتغير العشوائي X يتبع توزيع باريتو بقيمة دنيا x _{_m} ومعامل α ، فإن 

$${\displaystyle Y=\log \left({\frac {X}{x_{\mathrm {m} }}}\right)}$$

يتوزع المتغير Y توزيعًا أسيًا بمعامل معدل α . وبالمثل، إذا كان Y يتوزع توزيعًا أسيًا بمعدل α ، فإن  

$${\displaystyle x_{\mathrm {m} }e^{Y}}$$

يتبع توزيع باريتو مع الحد الأدنى x _m والمؤشر α . 

ويمكن إثبات ذلك باستخدام تقنيات تغيير المتغيرات القياسية:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Pr(Y<y)&=\Pr \left(\log \left({\frac {X}{x_{\mathrm {m} }}}\right)<y\right)\\&=\Pr(X<x_{\mathrm {m} }e^{y})=1-\left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{x_{\mathrm {m} }e^{y}}}\right)^{\alpha }=1-e^{-\alpha y}.\end{aligned}}}$$

التعبير الأخير هو دالة التوزيع التراكمي للتوزيع الأسي بمعدل α . 

يمكن بناء توزيع باريتو باستخدام التوزيعات الأسية الهرمية. ^{[ 18 ]} ليكن${\displaystyle \phi |a\sim {\text{Exp}}(a)}$و${\displaystyle \eta |\phi \sim {\text{Exp}}(\phi )}$ثم لدينا${\displaystyle p(\eta |a)={\frac {a}{(a+\eta )^{2}}}}$ونتيجة لذلك،${\displaystyle a+\eta \sim {\text{Pareto}}(a,1)}$.

وبشكل عام، إذا${\displaystyle \lambda \sim {\text{Gamma}}(\alpha ,\beta )}$(معاملات الشكل والمعدل) و${\displaystyle \eta |\lambda \sim {\text{Exp}}(\lambda )}$، ثم${\displaystyle \beta +\eta \sim {\text{Pareto}}(\beta ,\alpha )}$.

وبعبارة أخرى، إذا${\displaystyle Y\sim {\text{Gamma}}(\alpha ,1)}$و${\displaystyle X\sim {\text{Exp}}(1)}$، ثم${\displaystyle x_{\text{m}}\!\left(1+{\frac {X}{Y}}\right)\sim {\text{Pareto}}(x_{\text{m}},\alpha )}$.

يُعدّ كلٌّ من توزيع باريتو والتوزيع اللوغاريتمي الطبيعي توزيعين بديلين لوصف نفس أنواع الكميات. ومن أوجه التشابه بينهما أنهما يمثلان توزيعًا أُسّيًا لمتغيرات عشوائية موزعة وفقًا لتوزيعات شائعة أخرى، وهما التوزيع الأُسّي والتوزيع الطبيعي على التوالي . (انظر القسم السابق ).

يُعدّ توزيع باريتو حالة خاصة من توزيع باريتو المعمم ، وهو عائلة من التوزيعات ذات الشكل المماثل، ولكنها تحتوي على مُعامل إضافي بحيث يكون نطاق التوزيع إما محدودًا من الأسفل (عند نقطة متغيرة)، أو محدودًا من الأعلى والأسفل (حيث يكون كلاهما متغيرًا)، مع اعتبار توزيع لوماكس حالة خاصة. وتشمل هذه العائلة أيضًا التوزيعات الأسية غير المُزاحة والمُزاحة .

توزيع باريتو مع المقياس${\displaystyle x_{\mathrm {m} }}$والشكل${\displaystyle \alpha }$وهو ما يعادل توزيع باريتو المعمم مع الموقع${\displaystyle \mu =x_{\mathrm {m} }}$، حجم${\displaystyle \sigma =x_{\mathrm {m} }/\alpha }$والشكل${\displaystyle \xi =1/\alpha }$ وبالعكس، يمكن الحصول على توزيع باريتو من توزيع باريتو المعمم عن طريق أخذ${\displaystyle x_{\mathrm {m} }=\sigma /\xi }$و${\displaystyle \alpha =1/\xi }$لو${\displaystyle \xi >0}$.

يحتوي توزيع باريتو المحدود (أو المقتطع) على ثلاثة معلمات: α و L و H. وكما هو الحال في توزيع باريتو القياسي، تحدد α شكل التوزيع. وتشير L إلى القيمة الدنيا، بينما تشير H إلى القيمة القصوى.

دالة كثافة الاحتمال هي

$${\displaystyle {\frac {\alpha L^{\alpha }x^{-\alpha -1}}{1-\left({\frac {L}{H}}\right)^{\alpha }}},}$$

حيث L  ≤ x ≤ H ، و α > 0.     

يهدف توزيع باريتو المتناظر وتوزيع باريتو غير المتناظر إلى تمثيل توزيع إحصائي خاص يتميز بذروة احتمالية حادة وذيول احتمالية طويلة متناظرة. هذان التوزيعان مشتقان من توزيع باريتو. عادةً ما تعني الذيول الاحتمالية الطويلة أن الاحتمالية تتلاشى ببطء، ويمكن استخدامها لملاءمة مجموعة متنوعة من مجموعات البيانات. ولكن إذا كان للتوزيع بنية متناظرة بذيلين يتلاشىان ببطء، فإن توزيع باريتو لا يُناسب هذا الغرض. في هذه الحالة، يُستخدم توزيع باريتو المتناظر أو توزيع باريتو غير المتناظر. ^{[ 20 ]}

يتم تعريف دالة التوزيع التراكمي (CDF) لتوزيع باريتو المتماثل على النحو التالي: ^{[ 20 ]}

$${\displaystyle F(X)=P(x<X)={\begin{cases}{\tfrac {1}{2}}({b \over 2b-X})^{a}&X<b\\1-{\tfrac {1}{2}}({\tfrac {b}{X}})^{a}&X\geq b\end{cases}}}$$

دالة كثافة الاحتمال المقابلة (PDF) هي: ^{[ 20 ]}

$${\displaystyle p(x)={ab^{a} \over 2(b+\left\vert x-b\right\vert )^{a+1}},X\in R}$$

يحتوي هذا التوزيع على معلَمين: a و b. وهو متماثل حول b. وبالتالي، فإن القيمة المتوقعة رياضياً هي b. ويكون تباينه كما يلي:

$${\displaystyle E((x-b)^{2})=\int _{-\infty }^{\infty }(x-b)^{2}p(x)dx={\frac {2b^{2}}{(a-2)(a-1)}}}$$

يتم تعريف دالة التوزيع التراكمي لتوزيع باريتو المتماثل الصفري (ZSP) على النحو التالي:

$${\displaystyle F(X)=P(x<X)={\begin{cases}{\tfrac {1}{2}}({b \over b-X})^{a}&X<0\\1-{\tfrac {1}{2}}({\tfrac {b}{b+X}})^{a}&X\geq 0\end{cases}}}$$

ملف PDF المقابل هو:

$${\displaystyle p(x)={ab^{a} \over 2(b+\left\vert x\right\vert )^{a+1}},X\in R}$$

هذا التوزيع متناظر حول الصفر. يرتبط المعامل a بمعدل اضمحلال الاحتمالية، ويمثل (a/2b) ذروة قيمة الاحتمالية. ^{[ 20 ]}

تم توسيع توزيع باريتو أحادي المتغير إلى توزيع باريتو متعدد المتغيرات . ^{[ 21 ]}

دالة الاحتمال لمعاملات توزيع باريتو α و x _{m ، بالنظر إلى} عينة مستقلة x =  ( x ₁ , x ₂ , ..., x _n )، هي   

$${\displaystyle L(\alpha ,x_{\mathrm {m} })=\prod _{i=1}^{n}\alpha {\frac {x_{\mathrm {m} }^{\alpha }}{x_{i}^{\alpha +1}}}=\alpha ^{n}x_{\mathrm {m} }^{n\alpha }\prod _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}^{\alpha +1}}}.}$$

لذلك، فإن دالة الاحتمال اللوغاريتمي هي

$${\displaystyle \ell (\alpha ,x_{\mathrm {m} })=n\ln \alpha +n\alpha \ln x_{\mathrm {m} }-(\alpha +1)\sum _{i=1}^{n}\ln x_{i}.}$$

يمكن ملاحظة ذلك${\displaystyle \ell (\alpha ,x_{\mathrm {m} })}$تتزايد الدالة بشكل رتيب مع x_{_m} ، أي كلما زادت قيمة x_{_m} ، زادت قيمة دالة الاحتمال. وبالتالي، بما أن x ≥ x _{_m}، نستنتج أن

$${\displaystyle {\widehat {x}}_{\mathrm {m} }=\min _{i}{x_{i}}.}$$

لإيجاد المقدر لـ α ، نقوم بحساب المشتقة الجزئية المقابلة ونحدد أين تكون قيمتها صفرًا:

$${\displaystyle {\frac {\partial \ell }{\partial \alpha }}={\frac {n}{\alpha }}+n\ln x_{\mathrm {m} }-\sum _{i=1}^{n}\ln x_{i}=0.}$$

وبالتالي فإن مقدر الاحتمال الأقصى لـ α هو:

$${\displaystyle {\widehat {\alpha }}={\frac {n}{\sum _{i}\ln(x_{i}/{\widehat {x}}_{\mathrm {m} })}}.}$$

الخطأ الإحصائي المتوقع هو: ^{[ 22 ]}

$${\displaystyle \sigma ={\frac {\widehat {\alpha }}{\sqrt {n}}}.}$$

يقدم مالك (1970) ^{[ 23 ]} التوزيع المشترك الدقيق لـ${\displaystyle ({\hat {x}}_{\mathrm {m} },{\hat {\alpha }})}$. بخاصة،${\displaystyle {\hat {x}}_{\mathrm {m} }}$و${\displaystyle {\hat {\alpha }}}$مستقلون و​${\displaystyle {\hat {x}}_{\mathrm {m} }}$هي باريتو ذات معامل المقياس x _m ومعامل الشكل nα ، بينما${\displaystyle {\hat {\alpha }}}$له توزيع غاما معكوس بمعاملات الشكل والمقياس n  −  1 و nα على التوالي.

استخدم فيلفريدو باريتو هذا التوزيع في الأصل لوصف توزيع الثروة بين الأفراد، إذ بدا أنه يُظهر بوضوح كيف أن نسبة أقل من السكان تمتلك الجزء الأكبر من ثروة أي مجتمع. كما استخدمه لوصف توزيع الدخل. ^{[ 3 ]} تُعبّر هذه الفكرة أحيانًا ببساطة عن مبدأ باريتو أو "قاعدة 80/20"، التي تنص على أن 20% من السكان يسيطرون على 80% من الثروة. ^{[ 24 ]} وكما يُشير مايكل هدسون في كتابه "انهيار العصور القديمة "، فإن "نتيجة رياضية لذلك هي أن 10% سيملكون 65% من الثروة، و5% سيملكون نصف الثروة الوطنية". ^{[ 25 ]} مع ذلك، تتوافق قاعدة 80/20 مع قيمة مُحددة لـ α ، وفي الواقع، تُشير بيانات باريتو حول ضرائب الدخل البريطانية في كتابه " دروس في الاقتصاد السياسي" إلى أن حوالي 30% من السكان كانوا يملكون حوالي 70% من الدخل. يُظهر الرسم البياني لدالة كثافة الاحتمال ( PDF) في بداية هذه المقالة أن "احتمالية" أو نسبة السكان الذين يمتلكون ثروة صغيرة للفرد مرتفعة نسبيًا، ثم تتناقص تدريجيًا مع ازدياد الثروة. (مع ذلك، فإن توزيع باريتو ليس واقعيًا بالنسبة للثروة في الشريحة الدنيا. في الواقع، قد تكون القيمة الصافية سالبة). لا يقتصر هذا التوزيع على وصف الثروة أو الدخل فحسب، بل يشمل العديد من الحالات التي يُلاحظ فيها توازن في توزيع الحجم أو المقدار. تُعتبر الأمثلة التالية أحيانًا مُوزعة تقريبًا وفقًا لتوزيع باريتو:

• جميع المتغيرات الأربعة لقيود ميزانية الأسرة: الاستهلاك، ودخل العمل، ودخل رأس المال، والثروة. ^{[ 26 ]}
• أحجام المستوطنات البشرية (عدد قليل من المدن الكبيرة، والعديد من القرى الصغيرة) ^{[ 27 ] [ 28 ]}
• توزيع حجم الملفات لحركة مرور الإنترنت التي تستخدم بروتوكول TCP (العديد من الملفات الأصغر حجمًا، وعدد قليل من الملفات الأكبر حجمًا) ^{[ 27 ]}
• معدلات الخطأ في محركات الأقراص الصلبة ^{[ 29 ]}
• تجمعات مكثف بوز-أينشتاين بالقرب من الصفر المطلق ^{[ 30 ]}
• قيم احتياطيات النفط في حقول النفط (عدد قليل من الحقول الكبيرة ، والعديد من الحقول الصغيرة ) ^{[ 27 ]}
• توزيع الطول في الوظائف المخصصة لأجهزة الكمبيوتر العملاقة (عدد قليل من الوظائف الكبيرة، والعديد من الوظائف الصغيرة) ^{[ 31 ]}
• العوائد السعرية المعيارية على الأسهم الفردية ^{[ 27 ]}
• أحجام جزيئات الرمل ^{[ 27 ]}
• أحجام النيازك
• خطورة الخسائر التأمينية الكبيرة في بعض فروع الأعمال مثل المسؤولية العامة والسيارات التجارية وتعويضات العمال ^{[ 32 ] [ 33 ]}

• في علم المياه، يُطبَّق توزيع باريتو على الظواهر المناخية المتطرفة، مثل أعلى معدلات هطول الأمطار السنوية في يوم واحد، وتصريف الأنهار. يوضح الشكل الأزرق مثالًا على تطبيق توزيع باريتو على أعلى معدلات هطول الأمطار السنوية في يوم واحد، مع إظهار نطاق الثقة بنسبة 90% بناءً على التوزيع ذي الحدين . تُمثَّل بيانات هطول الأمطار برسم المواقع كجزء من تحليل التكرار التراكمي .
• موثوقية توزيع الكهرباء (80% من دقائق انقطاع الخدمة لدى العملاء تحدث في حوالي 20% من أيام السنة)

يُعد توزيع باريتو توزيعًا احتماليًا متصلًا. أما قانون زيبف ، والذي يُسمى أحيانًا توزيع زيتا ، فهو توزيع منفصل، يفصل القيم في ترتيب بسيط. وكلاهما قانون قوة بسيط ذو أس سالب، مُقاس بحيث يكون توزيعهما التراكمي مساويًا لـ 1. ويمكن اشتقاق توزيع زيبف من توزيع باريتو إذا كان${\displaystyle x}$يتم تصنيف القيم (الدخل) إلى فئات${\displaystyle N}$يتم ترتيب الفئات بحيث يتبع عدد الأشخاص في كل فئة نمطًا مقلوبًا للفئة (1/الرتبة). ويتم تطبيع التوزيع بتحديد${\displaystyle x_{\mathrm {m} }}$لهذا السبب.${\displaystyle \alpha x_{\mathrm {m} }^{\alpha }={\frac {1}{H(N,\alpha -1)}}}$أين${\displaystyle H(N,\alpha -1)}$هو العدد التوافقي المعمم . وهذا يجعل دالة كثافة الاحتمال لزيبف قابلة للاشتقاق من دالة باريتو.

$${\displaystyle f(x)={\frac {\alpha x_{\mathrm {m} }^{\alpha }}{x^{\alpha +1}}}={\frac {1}{x^{s}H(N,s)}}}$$

أين ${\displaystyle s=\alpha -1}$و${\displaystyle x}$هو عدد صحيح يمثل الرتبة من 1 إلى N، حيث N هي أعلى شريحة دخل. لذا، فإن الشخص المختار عشوائيًا (أو الكلمة، أو رابط موقع ويب، أو مدينة) من مجموعة سكانية (أو لغة، أو إنترنت، أو بلد) لديه${\displaystyle f(x)}$احتمالية الترتيب${\displaystyle x}$.

ينطبق " قانون 80/20 "، الذي ينص على أن 20% من جميع الناس يحصلون على 80% من إجمالي الدخل، وأن 20% من أغنى 20% يحصلون على 80% من تلك النسبة البالغة 80%، وهكذا، تحديدًا عندما يكون مؤشر باريتو${\displaystyle \alpha =\log _{4}5={\cfrac {\log _{10}5}{\log _{10}4}}\approx 1.161}$يمكن استنتاج هذه النتيجة من صيغة منحنى لورنز الموضحة أدناه. علاوة على ذلك، فقد ثبت ^{[ 34 ]} أن ما يلي متكافئ رياضياً:

• يتم توزيع الدخل وفقًا لتوزيع باريتو بمؤشر α  >  1.
• يوجد عدد ما 0  ≤ p ≤ 1/2 بحيث يحصل 100 p % من جميع الأشخاص على 100(1 − p )% من إجمالي الدخل، وبالمثل، لكل عدد حقيقي (ليس بالضرورة عددًا صحيحًا) n > 0، يحصل 100 p ⁿ % من جميع الأشخاص على 100(1 − p ) ⁿ % من إجمالي الدخل. وترتبط α و p بالعلاقة التالية:            $${\displaystyle 1-{\frac {1}{\alpha }}={\frac {\ln(1-p)}{\ln(p)}}={\frac {\ln((1-p)^{n})}{\ln(p^{n})}}}$$

وهذا لا ينطبق فقط على الدخل، بل ينطبق أيضاً على الثروة، أو على أي شيء آخر يمكن نمذجته من خلال هذا التوزيع.

وهذا يستثني توزيعات باريتو التي يكون فيها  0  < α ≤ 1، والتي، كما ذكر أعلاه، لها قيمة متوقعة لا نهائية، وبالتالي لا يمكنها أن تمثل نموذجًا معقولًا لتوزيع الدخل.   

يُطرح قانون برايس أحيانًا كخاصية من خصائص توزيع باريتو أو كخاصية مشابهة له. ومع ذلك، لا ينطبق هذا القانون إلا في حالة${\displaystyle \alpha =1}$لاحظ أنه في هذه الحالة، لا يُحدد إجمالي الثروة ولا المبلغ المتوقع لها، ولا تنطبق القاعدة إلا بشكل تقريبي على العينات العشوائية. أما مبدأ باريتو الموسع المذكور أعلاه فهو قاعدة أكثر عمومية.

يُستخدم منحنى لورنز غالبًا لوصف توزيعات الدخل والثروة. لأي توزيع، يُكتب منحنى لورنز L ( F ) بدلالة دالة كثافة الاحتمال f أو دالة التوزيع التراكمي F كما يلي:

$${\displaystyle L(F)={\frac {\int _{x_{\mathrm {m} }}^{x(F)}xf(x)\,dx}{\int _{x_{\mathrm {m} }}^{\infty }xf(x)\,dx}}={\frac {\int _{0}^{F}x(F')\,dF'}{\int _{0}^{1}x(F')\,dF'}}}$$

حيث يمثل x ( F ) معكوس دالة التوزيع التراكمي. بالنسبة لتوزيع باريتو،

$${\displaystyle x(F)={\frac {x_{\mathrm {m} }}{(1-F)^{\frac {1}{\alpha }}}}}$$

وقد تم حساب منحنى لورنز ليكون

$${\displaystyle L(F)=1-(1-F)^{1-{\frac {1}{\alpha }}},}$$

ل${\displaystyle 0<\alpha \leq 1}$المقام لانهائي، مما ينتج عنه L = 0. تظهر أمثلة لمنحنى لورنز لعدد من توزيعات باريتو في الرسم البياني على اليمين.

بحسب منظمة أوكسفام (2016)، يمتلك أغنى 62 شخصًا ثروة تعادل ثروة أفقر نصف سكان العالم. ^{[ 35 ]} يمكننا تقدير مؤشر باريتو الذي ينطبق على هذه الحالة. لنفترض أن ε يساوي${\displaystyle 62/(7\times 10^{9})}$لدينا: $${\displaystyle L(1/2)=1-L(1-\varepsilon )}$$ أو $${\displaystyle 1-(1/2)^{1-{\frac {1}{\alpha }}}=\varepsilon ^{1-{\frac {1}{\alpha }}}}$$ الحل هو أن قيمة α تساوي حوالي 1.15، وأن حوالي 9% من الثروة مملوكة لكل من المجموعتين. لكن في الواقع، لا يملك أفقر 69% من سكان العالم البالغين سوى حوالي 3% من الثروة. ^{[ 36 ]}

معامل جيني هو مقياس لانحراف منحنى لورنز عن خط التوزيع المتساوي، وهو الخط الواصل بين النقطتين [0,  0] و[1,  1]، والموضح باللون الأسود ( α  =  ∞) في مخطط لورنز على اليمين. وبالتحديد، يساوي معامل جيني ضعف المساحة بين منحنى لورنز وخط التوزيع المتساوي. ثم يُحسب معامل جيني لتوزيع باريتو (لـ${\displaystyle \alpha \geq 1}$) يكون

$${\displaystyle G=1-2\left(\int _{0}^{1}L(F)\,dF\right)={\frac {1}{2\alpha -1}}}$$

(انظر Aaberge 2005).