التوزيع اللوجستي

يُعطى تمثيل بديل بواسطة الزوج${\displaystyle \mu ,s}$قياساً على التوزيع اللوجستي:

${\displaystyle \mu =\ln(\alpha )}$

${\displaystyle s=1/\beta }$

ال${\displaystyle k}$لا توجد لحظة الرمي إلا عندما${\displaystyle k<\beta ,}$عندما يتم تحديدها بواسطة [3][4]. ^{[ 5 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} (X^{k})&=\alpha ^{k}\operatorname {B} (1-k/\beta ,1+k/\beta )\\[5pt]&=\alpha ^{k}\,{k\pi /\beta \over \sin(k\pi /\beta )}\end{aligned}}}$

حيث B هي دالة بيتا . ويمكن اشتقاق تعابير المتوسط ​​والتباين والالتواء والتفرطح من هذه الدالة .${\displaystyle b=\pi /\beta }$للتسهيل، المتوسط ​​هو

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\alpha b/\sin b,\quad \beta >1,}$

والتباين هو

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\alpha ^{2}\left(2b/\sin 2b-b^{2}/\sin ^{2}b\right),\quad \beta >2.}$

تُعدّ الصيغ الصريحة لمعاملَي الالتواء والتفرطح طويلة. ^{[ 6 ]} كما${\displaystyle \beta }$عندما يميل إلى اللانهاية، يميل المتوسط ​​إلى التباين والالتواء إلى الصفر، ويميل التفرطح الزائد إلى 6/5 (انظر أيضًا التوزيعات ذات الصلة أدناه).

دالة الكمية (دالة التوزيع التراكمي العكسي) هي

${\displaystyle F^{-1}(p;\alpha ,\beta )=\alpha \left({\frac {p}{1-p}}\right)^{1/\beta }.}$

وبناءً على ذلك، فإن الوسيط هو، والربيع الأدنى هو، والربيع الأعلى هو${\displaystyle 3^{1/\beta }\alpha }$.

يُقدّم التوزيع اللوجستي اللوغاريتمي نموذجًا بارامتريًا واحدًا لتحليل البقاء . وعلى عكس توزيع ويبول الأكثر شيوعًا ، يمكن أن يكون له دالة خطر غير رتيبة : عندما${\displaystyle \beta >1,}$تكون دالة المخاطر أحادية النمط (عندما${\displaystyle \beta }$ (≤  1، ينخفض ​​الخطر بشكل رتيب). إن إمكانية كتابة دالة التوزيع التراكمي بصيغة مغلقة مفيدة بشكل خاص لتحليل بيانات البقاء مع وجود بيانات مراقبة. ^{[ 7 ]} يمكن استخدام التوزيع اللوجستي اللوغاريتمي كأساس لنموذج وقت الفشل المتسارع من خلال السماح له${\displaystyle \alpha }$للاختلاف بين المجموعات، أو بشكل أعم عن طريق إدخال متغيرات مصاحبة تؤثر عليه${\displaystyle \alpha }$لكن ليس${\displaystyle \beta }$عن طريق نمذجته${\displaystyle \log(\alpha )}$كدالة خطية للمتغيرات المصاحبة. ^{[ 8 ]}

دالة البقاء هي

${\displaystyle S(t)=1-F(t)=[1+(t/\alpha )^{\beta }]^{-1},\,}$

وبالتالي فإن دالة المخاطر هي

${\displaystyle h(t)={\frac {f(t)}{S(t)}}={\frac {(\beta /\alpha )(t/\alpha )^{\beta -1}}{1+(t/\alpha )^{\beta }}}.}$

التوزيع اللوجستي اللوغاريتمي ذو معامل الشكل${\displaystyle \beta =1}$[8] هو التوزيع الهامشي للفترات الزمنية في عملية عد موزعة هندسياً . ^{[ 9 ]}

استُخدم التوزيع اللوجستي اللوغاريتمي في علم المياه لنمذجة معدلات تدفق المياه في الجداول وهطول الأمطار. ^{[ 3 ] [ 4 ]}

غالباً ما تتبع القيم المتطرفة، مثل أعلى معدل لهطول الأمطار في يوم واحد وتصريف الأنهار شهرياً أو سنوياً، توزيعاً لوغاريتمياً طبيعياً [9]. إلا أن هذا التوزيع يحتاج إلى تقريب عددي. ولأن التوزيع اللوجستي اللوغاريتمي، الذي يمكن حله تحليلياً، مشابه للتوزيع اللوغاريتمي الطبيعي، فإنه يُمكن استخدامه بدلاً منه.

يوضح الشكل الأزرق مثالاً على ملاءمة التوزيع اللوجستي اللوغاريتمي لأقصى هطول مطري مُرتب ليوم واحد في شهر أكتوبر، ويُظهر نطاق الثقة بنسبة 90% بناءً على التوزيع ذي الحدين . وتُمثل بيانات هطول الأمطار بموضع الرسم البياني r /( n +1) كجزء من تحليل التكرار التراكمي .

استُخدم نموذج التوزيع اللوجستي اللوغاريتمي كنموذج بسيط لتوزيع الثروة أو الدخل في علم الاقتصاد ، حيث يُعرف بتوزيع فيسك. ^{[ 10 ]} معامل جيني الخاص به هو [11]. ^{[ 11 ]}

استُخدم نموذج التوزيع اللوجستي اللوغاريتمي كنموذج للفترة الزمنية التي تبدأ عندما تغادر البيانات تطبيقًا برمجيًا على جهاز كمبيوتر، وتتلقى الاستجابة من قِبل التطبيق نفسه بعد مرورها عبر أجهزة كمبيوتر وتطبيقات وقطاعات شبكية أخرى ومعالجتها، مع العلم أن معظم هذه العمليات أو جميعها لا تضمن الاستجابة في الوقت الفعلي (على سبيل المثال، عندما يعرض تطبيق بيانات واردة من مستشعر بعيد متصل بالإنترنت). وقد ثبت أنه نموذج احتمالي أكثر دقة من التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي أو غيره، شريطة رصد التغيرات المفاجئة في تسلسل هذه الأوقات بشكل صحيح. ^{[ 12 ]}

تُعرف عدة توزيعات مختلفة أحيانًا باسم التوزيع اللوجستي اللوغاريتمي المعمم ، لأنها تتضمن التوزيع اللوجستي اللوغاريتمي كحالة خاصة. ^{[ 11 ]} تشمل هذه التوزيعات توزيع بور من النوع الثاني عشر (المعروف أيضًا باسم توزيع سينغ-مادالا ) وتوزيع داغوم ، وكلاهما يتضمن مُعامل شكل ثانٍ. وكلاهما بدورهما حالتان خاصتان من توزيع بيتا المعمم الأكثر عمومية من النوع الثاني . ومن التعميمات الأخرى الأبسط للتوزيع اللوجستي اللوغاريتمي التوزيع اللوجستي اللوغاريتمي المُزاح .

يُعدّ التحويل اللوغاريتمي لتوزيع ميتالوغ توزيعًا لوجستيًا لوغاريتميًا معمّمًا آخر ، حيث تُكتب متسلسلات القوى بدلالة${\displaystyle p}$يتم استبدال معلمات التوزيع اللوجستي${\displaystyle \mu }$. يتميز التوزيع اللوغاريتمي-الميتالوغاري الناتج بمرونة عالية في الشكل، وله دالة كثافة احتمالية مغلقة بسيطة ودالة كمية ، ويمكن ملاءمته للبيانات باستخدام المربعات الصغرى الخطية، ويشمل التوزيع اللوجستي اللوغاريتمي كحالة خاصة.