قاعدة سيمبسون

في التكامل العددي ، قواعد سيمبسون هي عبارة عن عدة تقريبات للتكاملات المحددة ، سميت على اسم توماس سيمبسون (1710-1761).

أبسط هذه القواعد، والتي تسمى قاعدة سيمبسون 1/3 ، أو قاعدة سيمبسون فقط ، تنص على: $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {ba}{6}}\left[f(a)+4f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right].}$$

في اللغة الألمانية وبعض اللغات الأخرى، تم تسميتها على اسم يوهانس كيبلر ، الذي اشتقها في عام 1615 بعد أن رأى استخدامها لبراميل النبيذ (قاعدة البراميل، Keplersche Fassregel ). تصبح المساواة التقريبية في القاعدة دقيقة إذا كانت f متعددة حدود حتى الدرجة الثالثة بما في ذلك.

إذا تم تطبيق قاعدة 1/3 على n أقسام فرعية متساوية من نطاق التكامل [ a ،  b ]، نحصل على قاعدة سيمبسون المركبة 1/3. يتم إعطاء النقاط داخل نطاق التكامل أوزانًا متناوبة 4/3 و2/3.

تتطلب قاعدة سيمبسون 3/8، والتي تسمى أيضًا قاعدة سيمبسون الثانية ، تقييمًا إضافيًا للوظيفة داخل نطاق التكامل وتعطي حدود خطأ أقل، ولكنها لا تتحسن حسب ترتيب الخطأ.

إذا تم تطبيق قاعدة 3/8 على n أقسام فرعية متساوية لنطاق التكامل [ a ،  b ]، نحصل على قاعدة سيمبسون المركبة 3/8.

قاعدتا سيمبسون 1/3 و 3/8 هما حالتان خاصتان من صيغ نيوتن-كوتس المغلقة .

في الهندسة المعمارية البحرية وتقدير استقرار السفينة، توجد أيضًا قاعدة سيمبسون الثالثة ، والتي ليس لها أهمية خاصة في التحليل العددي العام، انظر قواعد سيمبسون (استقرار السفينة) .

قاعدة سيمبسون 1/3، والتي تسمى أيضًا ببساطة قاعدة سيمبسون، هي طريقة للتكامل العددي اقترحها توماس سيمبسون. وهي تعتمد على الاستيفاء التربيعي وهي قاعدة سيمبسون 1/3 المركبة التي تم تقييمها لـ . قاعدة سيمبسون 1/3 هي كما يلي: حيث هو حجم الخطوة لـ . ${\displaystyle n=2}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(x)\,dx&\approx {\frac {ba}{6}}\left[f(a)+4f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right]\\&={\frac {1}{3}}h\left[f(a)+4f\left(a+h\right)+f(b)\right],\end{aligned}}}$$${\displaystyle h=(ba)/n}$${\displaystyle n=2}$

الخطأ في تقريب التكامل باستخدام قاعدة سيمبسون هو حيث ( الحرف اليوناني xi ) هو عدد بين و . ^{[1] [2]}${\displaystyle n=2}$$${\displaystyle -{\frac {1}{90}}h^{5}f^{(4)}(\xi )=-{\frac {(ba)^{5}}{2880}}f^{(4)}(\xi ),}$$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle أ}$${\displaystyle b}$

الخطأ متناسب بشكل مقارب مع . ومع ذلك، تشير المشتقات أعلاه إلى خطأ متناسب مع . تكتسب قاعدة سيمبسون ترتيبًا إضافيًا لأن النقاط التي يتم تقييم المتكامل عندها موزعة بشكل متماثل في الفاصل . ${\displaystyle (ba)^{5}}$${\displaystyle (ba)^{4}}$${\displaystyle [أ، ب]}$

نظرًا لأن حد الخطأ متناسب مع المشتقة الرابعة لـ at ، فهذا يوضح أن قاعدة سيمبسون توفر نتائج دقيقة لأي كثيرة حدود من الدرجة الثالثة أو أقل، لأن المشتقة الرابعة لمثل هذه كثيرة الحدود تساوي صفرًا عند جميع النقاط. هناك طريقة أخرى لرؤية هذه النتيجة وهي ملاحظة أنه يمكن التعبير عن أي كثيرة حدود مكعبة متدرجة كمجموع كثيرة حدود تربيعية متدرجة فريدة بالإضافة إلى كثيرة حدود مكعبة ذات مقياس تعسفي تتلاشى عند جميع النقاط الثلاث في الفترة، ويتلاشى تكامل هذا الحد الثاني لأنه فردي داخل الفترة. ${\displaystyle f}$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle f}$

إذا كانت المشتقة الثانية موجودة ومحدبة في الفترة ، إذن ${\displaystyle f''}$${\displaystyle (أ، ب)}$$${\displaystyle (ba)f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+{\frac {1}{3}}\left({\frac {ba}{2}}\right)^{3}f''\left({\frac {a+b}{2}}\right)\leq \int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq {\frac {ba}{6}}\left[f(a)+4f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right].}$$

يستبدل أحد الاشتقاقات المتكامل بالحدودية التربيعية (أي القطع المكافئ) التي تأخذ نفس القيم الموجودة في نقاط النهاية و ونقطة المنتصف . يمكن للمرء استخدام استيفاء حدود لاجرانج لإيجاد تعبير لهذه الحدودية، باستخدام التكامل بالتعويض ، يمكن للمرء أن يُظهر أن ^{[3] [2]} عند تقديم حجم الخطوة ، يُكتب هذا أيضًا بشكل شائع على النحو التالي بسبب العامل، يُشار إلى قاعدة سيمبسون أيضًا باسم "قاعدة سيمبسون 1/3" (انظر أدناه للتعميم). ${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle P(x)}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle أ}$${\displaystyle b}$${\displaystyle م=(أ+ب)/2}$$${\displaystyle P(x)=f(a){\frac {(xm)(xb)}{(am)(ab)}}+f(m){\frac {(xa)(xb)}{(ma)(mb)}}+f(b){\frac {(xa)(xm)}{(ba)(bm)}}.}$$ $${\displaystyle \int _{a}^{b}P(x)\,dx={\frac {ba}{6}}\left[f(a)+4f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right].}$$${\displaystyle h=(b-a)/2}$$${\displaystyle \int _{a}^{b}P(x)\,dx={\frac {1}{3}}h\left[f(a)+4f\left(a+h\right)+f(b)\right].}$$${\displaystyle 1/3}$

هناك اشتقاق آخر يبني قاعدة سيمبسون من تقريبين أبسط: قاعدة نقطة المنتصف وقاعدة شبه المنحرف$${\displaystyle M=(b-a)f\left({\frac {a+b}{2}}\right)}$$ $${\displaystyle T={\frac {1}{2}}(b-a){\big (}f(a)+f(b){\big )}.}$$

الأخطاء في هذه التقريبات هي و على التوالي، حيث يشير إلى مصطلح متناسب تقريبيًا مع . المصطلحان غير متساويين؛ راجع تدوين Big O لمزيد من التفاصيل. يتبع من الصيغ أعلاه لأخطاء نقطة المنتصف وقاعدة شبه المنحرف أن مصطلح الخطأ الرئيسي يختفي إذا أخذنا المتوسط ​​المرجح. هذا المتوسط ​​المرجح هو بالضبط قاعدة سيمبسون. $${\displaystyle {\frac {1}{24}}(b-a)^{3}f''(a)+O{\big (}(b-a)^{4}{\big )}}$$$${\displaystyle -{\frac {1}{12}}(b-a)^{3}f''(a)+O{\big (}(b-a)^{4}{\big )}}$$${\displaystyle O{\big (}(b-a)^{4}{\big )}}$${\displaystyle (b-a)^{4}}$${\displaystyle O{\big (}(b-a)^{4}{\big )}}$ ${\displaystyle {\frac {2M+T}{3}}.}$

باستخدام تقريب آخر (على سبيل المثال، قاعدة شبه المنحرف مع ضعف عدد النقاط)، من الممكن أخذ متوسط ​​مرجح مناسب واستبعاد حد خطأ آخر. هذه هي طريقة رومبرج .

الاشتقاق الثالث يبدأ من ansatz $${\displaystyle {\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \alpha f(a)+\beta f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+\gamma f(b).}$$

يمكن إصلاح المعاملات α و β و γ من خلال اشتراط أن يكون هذا التقريب دقيقًا لجميع الحدوديات التربيعية. وهذا يؤدي إلى قاعدة سيمبسون. (هذا الاشتقاق هو في الأساس نسخة أقل صرامة من اشتقاق الاستيفاء التربيعي، حيث يوفر المرء جهدًا حسابيًا كبيرًا من خلال تخمين الشكل الوظيفي الصحيح.)

إذا كانت فترة التكامل "صغيرة" بمعنى ما، فإن قاعدة سيمبسون مع الفترات الجزئية ستوفر تقريبًا مناسبًا للتكامل الدقيق. وبـ "صغير" نعني أن الدالة التي يتم تكاملها سلسة نسبيًا على الفترة . بالنسبة لمثل هذه الدالة، فإن المداخلة التربيعية السلسة مثل تلك المستخدمة في قاعدة سيمبسون ستعطي نتائج جيدة. ${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle n=2}$${\displaystyle [a,b]}$

ومع ذلك، غالبًا ما تكون الدالة التي نحاول تكاملها غير سلسة على الفترة. وعادةً ما يعني هذا أن الدالة إما متذبذبة للغاية أو تفتقر إلى المشتقات عند نقاط معينة. وفي هذه الحالات، قد تعطي قاعدة سيمبسون نتائج سيئة للغاية. إحدى الطرق الشائعة للتعامل مع هذه المشكلة هي تقسيم الفترة إلى فترات فرعية صغيرة. ثم تُطبق قاعدة سيمبسون على كل فترة فرعية، مع جمع النتائج لإنتاج تقريب للتكامل على الفترة بأكملها. يُطلق على هذا النوع من النهج قاعدة سيمبسون المركبة 1/3 ، أو قاعدة سيمبسون المركبة فقط . ${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle n>2}$

افترض أن الفاصل مقسم إلى فترات فرعية، مع رقم زوجي. عندئذٍ، تُعطى قاعدة سيمبسون المركبة بواسطة ${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

من خلال تقسيم الفترة إلى فترات فرعية بطول معين وإدخال النقاط لـ (على وجه الخصوص، و )، لدينا هذه القاعدة المركبة مع تتوافق مع قاعدة سيمبسون العادية في القسم السابق. ${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle n}$${\displaystyle h=(b-a)/n}$${\displaystyle x_{i}=a+ih}$${\displaystyle 0\leq i\leq n}$${\displaystyle x_{0}=a}$${\displaystyle x_{n}=b}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(x)\,dx&\approx {\frac {1}{3}}h\sum _{i=1}^{n/2}{\big [}f(x_{2i-2})+4f(x_{2i-1})+f(x_{2i}){\big ]}\\&={\frac {1}{3}}h{\big [}f(x_{0})+4f(x_{1})+2f(x_{2})+4f(x_{3})+2f(x_{4})+\dots +2f(x_{n-2})+4f(x_{n-1})+f(x_{n}){\big ]}\\&={\frac {1}{3}}h\left[f(x_{0})+4\sum _{i=1}^{n/2}f(x_{2i-1})+2\sum _{i=1}^{n/2-1}f(x_{2i})+f(x_{n})\right].\end{aligned}}}$$${\displaystyle n=2}$

الخطأ الذي ارتكبته قاعدة سيمبسون المركبة هو حيث يكون هناك رقم بين و ، و هو "طول الخطوة". ^{[4] [5]} الخطأ محدود (بالقيمة المطلقة) بـ $${\displaystyle -{\frac {1}{180}}h^{4}(b-a)f^{(4)}(\xi ),}$$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle h=(b-a)/n}$$${\displaystyle {\frac {1}{180}}h^{4}(b-a)\max _{\xi \in [a,b]}\left|f^{(4)}(\xi )\right|.}$$

تقسم هذه الصيغة الفاصل إلى فترات فرعية متساوية الطول. وفي الممارسة العملية، غالبًا ما يكون من المفيد استخدام فترات فرعية ذات أطوال مختلفة وتركيز الجهود على الأماكن التي يكون فيها المتكامل أقل سلوكًا. وهذا يؤدي إلى طريقة سيمبسون التكيفية . ${\displaystyle [a,b]}$

قاعدة سيمبسون 3/8، والتي تسمى أيضًا قاعدة سيمبسون الثانية، هي طريقة أخرى للتكامل العددي اقترحها توماس سيمبسون. وهي تعتمد على الاستيفاء المكعب وليس الاستيفاء التربيعي. قاعدة سيمبسون 3/8 هي كما يلي: حيث هو حجم الخطوة. $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(x)\,dx&\approx {\frac {b-a}{8}}\left[f(a)+3f\left({\frac {2a+b}{3}}\right)+3f\left({\frac {a+2b}{3}}\right)+f(b)\right]\\&={\frac {3}{8}}h\left[f(a)+3f\left(a+h\right)+3f\left(a+2h\right)+f(b)\right],\end{aligned}}}$$${\displaystyle h=(b-a)/3}$

الخطأ في هذه الطريقة هو عندما يكون هناك رقم بين و . وبالتالي، فإن قاعدة 3/8 أكثر دقة من الطريقة القياسية بنحو مرتين، لكنها تستخدم قيمة دالة أخرى. توجد أيضًا قاعدة مركبة 3/8، على غرار ما سبق. ^[6]$${\displaystyle -{\frac {3}{80}}h^{5}f^{(4)}(\xi )=-{\frac {(b-a)^{5}}{6480}}f^{(4)}(\xi ),}$$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

هناك تعميم آخر لهذا المفهوم للتدخل باستخدام كثيرات الحدود ذات الدرجات التعسفية وهو صيغ نيوتن-كوتس .

بتقسيم الفاصل إلى فترات فرعية بطول معين وإدخال النقاط لـ (على وجه الخصوص، و )، لدينا ${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle n}$${\displaystyle h=(b-a)/n}$${\displaystyle x_{i}=a+ih}$${\displaystyle 0\leq i\leq n}$${\displaystyle x_{0}=a}$${\displaystyle x_{n}=b}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(x)\,dx&\approx {\frac {3}{8}}h\sum _{i=1}^{n/3}{\big [}f(x_{3i-3})+3f(x_{3i-2})+3f(x_{3i-1})+f(x_{3i}){\big ]}\\&={\frac {3}{8}}h{\big [}f(x_{0})+3f(x_{1})+3f(x_{2})+2f(x_{3})+3f(x_{4})+3f(x_{5})+2f(x_{6})+\dots +2f(x_{n-3})+3f(x_{n-2})+3f(x_{n-1})+f(x_{n}){\big ]}\\&={\frac {3}{8}}h\left[f(x_{0})+3\sum _{i=1,\ 3\nmid i}^{n-1}f(x_{i})+2\sum _{i=1}^{n/3-1}f(x_{3i})+f(x_{n})\right].\end{aligned}}}$$

بينما يتم عرض الباقي للقاعدة على النحو ^[6]، لا يمكننا استخدام هذا إلا إذا كان مضاعفًا للثلاثة. يمكن استخدام قاعدة 1/3 للفترات الفرعية المتبقية دون تغيير ترتيب مصطلح الخطأ (على العكس من ذلك، يمكن استخدام قاعدة 3/8 مع قاعدة 1/3 المركبة للفترات الفرعية ذات الأرقام الفردية). ${\displaystyle -{\frac {1}{80}}h^{4}(b-a)f^{(4)}(\xi ),}$${\displaystyle n}$

هذه صيغة أخرى لقاعدة سيمبسون المركبة: بدلاً من تطبيق قاعدة سيمبسون على أجزاء منفصلة من التكامل المراد تقريبه، يتم تطبيق قاعدة سيمبسون على الأجزاء المتداخلة، مما ينتج عنه ^[7] $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {1}{48}}h\left[17f(x_{0})+59f(x_{1})+43f(x_{2})+49f(x_{3})+48\sum _{i=4}^{n-4}f(x_{i})+49f(x_{n-3})+43f(x_{n-2})+59f(x_{n-1})+17f(x_{n})\right].}$$

يتم الحصول على الصيغة أعلاه عن طريق الجمع بين قاعدة سيمبسون المركبة 1/3 مع تلك التي تتكون من استخدام قاعدة سيمبسون 3/8 في الفترات الجزئية القصوى وقاعدة سيمبسون 1/3 في الفترات الجزئية المتبقية. ثم يتم الحصول على النتيجة عن طريق أخذ متوسط ​​الصيغتين.

في مهمة تقدير المساحة الكاملة للوظائف الضيقة الشبيهة بالذروة، تكون قواعد سيمبسون أقل كفاءة بكثير من قاعدة شبه المنحرف . أي أن قاعدة سيمبسون المركبة 1/3 تتطلب 1.8 مرة المزيد من النقاط لتحقيق نفس دقة قاعدة شبه المنحرف. ^[8] قاعدة سيمبسون المركبة 3/8 أقل دقة. يمكن تمثيل التكامل بقاعدة سيمبسون 1/3 كمتوسط ​​مرجح مع 2/3 من القيمة القادمة من التكامل بقاعدة شبه المنحرف بالخطوة h و 1/3 من القيمة القادمة من التكامل بقاعدة المستطيل بالخطوة 2 h . يتم التحكم في الدقة بواسطة الحد الثاني (الخطوة 2 h ). ينتج عن متوسط ​​المجاميع المركبة لقاعدة سيمبسون 1/3 مع الإطارات المحولة بشكل صحيح القواعد التالية: حيث يتم استغلال نقطتين خارج المنطقة المتكاملة، وحيث يتم استخدام النقاط داخل منطقة التكامل فقط. تطبيق القاعدة الثانية على منطقة 3 نقاط ينتج عنه قاعدة سيمبسون 1/3، 4 نقاط - قاعدة 3/8. $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {1}{24}}h\left[-f(x_{-1})+12f(x_{0})+25f(x_{1})+24\sum _{i=2}^{n-2}f(x_{i})+25f(x_{n-1})+12f(x_{n})-f(x_{n+1})\right],}$$$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {1}{24}}h\left[9f(x_{0})+28f(x_{1})+23f(x_{2})+24\sum _{i=3}^{n-3}f(x_{i})+23f(x_{n-2})+28f(x_{n-1})+9f(x_{n})\right],}$$

هذه القواعد تشبه إلى حد كبير قاعدة سيمبسون الموسعة البديلة. المعاملات داخل الجزء الرئيسي من المنطقة التي يتم تكاملها هي واحدة مع معاملات غير وحدوية فقط عند الحواف. يمكن ربط هاتين القاعدتين بصيغة أويلر-ماكلورين مع مصطلح المشتقة الأول وتسميتها قواعد تكامل أويلر-ماكلورين من الدرجة الأولى . ^[8] تختلف القاعدتان المقدمتان أعلاه فقط في الطريقة التي يتم بها حساب المشتقة الأولى في نهاية المنطقة. يمثل مصطلح المشتقة الأول في قواعد تكامل أويلر-ماكلورين تكامل المشتقة الثانية، والذي يساوي الفرق بين المشتقات الأولى عند حواف منطقة التكامل. من الممكن إنشاء قواعد أويلر-ماكلورين من الدرجة الأعلى عن طريق إضافة فرق المشتقات الثالثة والخامسة وما إلى ذلك مع المعاملات، كما هو محدد بواسطة صيغة أويلر-ماكلورين .

بالنسبة لبعض التطبيقات، يلزم تقسيم فترة التكامل إلى فترات غير متساوية - ربما بسبب أخذ عينات غير متساوية من البيانات، أو نقاط بيانات مفقودة أو تالفة. لنفترض أننا قسمنا الفترة إلى عدد زوجي من الفترات الفرعية بعرض . ثم تُعطى قاعدة سيمبسون المركبة بواسطة ^[9] حيث تكون قيم الدالة عند نقطة أخذ العينات على الفترة . ${\displaystyle I=[a,b]}$${\displaystyle I}$${\displaystyle N}$${\displaystyle h_{k}}$ $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{i=0}^{N/2-1}{\frac {h_{2i}+h_{2i+1}}{6}}\left[\left(2-{\frac {h_{2i+1}}{h_{2i}}}\right)f_{2i}+{\frac {(h_{2i}+h_{2i+1})^{2}}{h_{2i}h_{2i+1}}}f_{2i+1}+\left(2-{\frac {h_{2i}}{h_{2i+1}}}\right)f_{2i+2}\right],}$$$${\displaystyle f_{k}=f\left(a+\sum _{i=0}^{k-1}h_{i}\right)}$$${\displaystyle k}$${\displaystyle I}$

في حالة وجود عدد فردي من الفواصل الفرعية${\displaystyle N}$ ، يتم استخدام الصيغة أعلاه حتى الفاصل الثاني قبل الأخير، ويتم التعامل مع الفاصل الأخير بشكل منفصل عن طريق إضافة ما يلي إلى النتيجة: ^[10] حيث $${\displaystyle \alpha f_{N}+\beta f_{N-1}-\eta f_{N-2},}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &={\frac {2h_{N-1}^{2}+3h_{N-1}h_{N-2}}{6(h_{N-2}+h_{N-1})}},\\[1ex]\beta &={\frac {h_{N-1}^{2}+3h_{N-1}h_{N-2}}{6h_{N-2}}},\\[1ex]\eta &={\frac {h_{N-1}^{3}}{6h_{N-2}(h_{N-2}+h_{N-1})}}.\end{aligned}}}$$

من  collections.abc  استيراد  التسلسل

def  simpson_nonuniform ( x :  Sequence [ float ],  f :  Sequence [ float ])  ->  float : 
"""     قاعدة سيمبسون للبيانات ذات المسافات غير المنتظمة.    


    :param x: نقاط أخذ العينات لقيم الدالة 
    :param f: قيم الدالة عند نقاط أخذ العينات

    :return: تقريب للتكامل

    راجع ``scipy.integrate.simpson`` و``_basic_simpson`` الأساسي 
    للحصول على تنفيذ أكثر أداءً باستخدام البث الخاص بـ numpy. 
    """ 
    N  =  len ( x )  -  1 
    h  =  [ x [ i  +  1 ]  -  x [ i ]  for  i  in  range ( 0 ,  N )] 
    assert  N  >  0

    النتيجة  =  0.0 
    لـ  i  في  النطاق ( 1 ،  N ،  2 ): 
        h0 ،  h1  =  h [ i  -  1 ]،  h [ i ] 
        hph ،  hdh ،  hmh  =  h1  +  h0 ،  h1  /  h0 ،  h1  *  h0 
        النتيجة  +=  ( hph  /  6 )  *  ( 
            ( 2  -  hdh )  *  f [ i  -  1 ]  +  ( hph ** 2  /  hmh )  *  f [ i ]  +  ( 2  -  1  /  hdh )  *  f [ i  +  1 ] 
        )

    إذا كان  N  %  2  ==  1 : 
        h0 ،  h1  =  h [ N  -  2 ]،  h [ N  -  1 ] 
        النتيجة  +=  f [ N ]      *  ( 2  *  h1  **  2  +  3  *  h0  *  h1 )  /  ( 6  *  ( h0  +  h1 )) 
        النتيجة  +=  f [ N  -  1 ]  *  ( h1  **  2  +  3  *  h1  *  h0 )      /  ( 6  *  h0 ) 
        النتيجة  -=  f [ N  -  2 ]  *  h1  **  3                      /  ( 6  *  h0  *  ( h0  +  h1 )) 
    إرجاع  النتيجة

SimpsonInt <- دالة ( fx ، dx ) { n <- طول ( dx ) h <- اختلاف ( dx ) إذا لم يكن ( exprs = { طول ( fx ) == n الكل ( h >= 0 ) }) res <- 0 لـ ( i في تسلسل ( 1L ، n - 2L ، 2L )) { hph <- h [ i ] + h [ i + 1L ] hdh <- h [ i + 1L ] / h [ i ] res <- res + hph / 6 * (( 2 - hdh ) * fx [ i ] + hph ^ 2 / ( h [ i ] * h [ i + 1L ]) * fx [ i + 1L ] + ( 2 - 1 / hdh ) * fx [ i + 2L ]) }    
    
    
    
      
      
  
    
         
          
          
           
           
                      
                 
  

  إذا ( n %% 2 == 0 ) { hph <- h [ n - 1L ] + h [ n - 2L ] threehth <- 3 * h [ n - 1L ] * h [ n - 2L ] sixh2 <- 6 * h [ n - 2L ] h1sq <- h [ n - 1L ] ^ 2 res <- res + ( 2 * h1sq + threehth ) / ( 6 * hph ) * fx [ n ] + ( h1sq + threehth ) / sixh2 * fx [ n - 1L ] - ( h1sq * h [ n - 1L ]) / ( sixh2 * hph ) * fx [ n - 2L ] } res }     
            
              
          
          
       
                 
               
                  
  
  

• صيغ نيوتن-كوتس
• التربيع الغاوسي

• أتكينسون، كيندال إي. (1989). مقدمة في التحليل العددي (الطبعة الثانية). جون وايلي وأولاده. رقم ISBN 0-471-50023-2.
• Burden, Richard L.; Faires, J. Douglas (2000). التحليل العددي (الطبعة السابعة). Brooks/Cole. ISBN 0-534-38216-9.
• كارترايت، كينيث ف. (سبتمبر 2017). "التكامل التراكمي لقاعدة سيمبسون مع MS Excel والبيانات غير المنتظمة" (PDF) . مجلة العلوم الرياضية وتعليم الرياضيات . 12 (2): 1-9 . تم الاسترجاع في 18 ديسمبر 2022 .
• كالامبيت، يوري؛ كوزمين، يوري؛ ساموخين، أندري (2018). "مقارنة قواعد التكامل في حالة القمم الكروماتوغرافية الضيقة للغاية". الكيمياء القياسية وأنظمة المختبرات الذكية . 179 : 22-30. doi : 10.1016/j.chemolab.2018.06.001. ISSN  0169-7439.
• ماثيوز، جون هـ. (2004). "قاعدة سيمبسون 3/8 للتكامل العددي". التحليل العددي - مشروع الأساليب العددية . جامعة ولاية كاليفورنيا، فوليرتون. مؤرشف من الأصل في 4 ديسمبر 2008. تم الاسترجاع في 11 نوفمبر 2008 .
• Shklov, N. (ديسمبر 1960). "قاعدة سيمبسون للترتيبات غير المتساوية المسافات". المجلة الرياضية الأمريكية . 67 (10): 1022-1023. doi :10.2307/2309244. JSTOR  2309244.
• سولي، إندري؛ مايرز، ديفيد (2003). مقدمة في التحليل العددي . مطبعة جامعة كامبريدج. رقم ISBN 0-521-00794-1.
• Weisstein, Eric W. "Newton-Cotes Formulas". MathWorld . تم الاسترجاع في 14 ديسمبر 2022 .

• "صيغة سيمبسون". موسوعة الرياضيات . EMS Press . 2001 [1994].
• وايسشتاين، إريك دبليو. "قاعدة سيمبسون". MathWorld .
• قاعدة سيمبسون للتكامل 1/3 — ملاحظات، PPT، Mathcad، Matlab، Mathematica، Maple في الأساليب العددية لطلاب العلوم والتكنولوجيا والهندسة والرياضيات
• تم وصف وصف تفصيلي لتنفيذ الكمبيوتر بواسطة Dorai Sitaram في Teach Yourself Scheme in Fixnum Days ، الملحق C

تتضمن هذه المقالة مواد من قاعدة Code for Simpson على PlanetMath ، والتي تخضع لرخصة المشاع الإبداعي المنسوبة/المرخصة بالمثل .

Original text

Rate this translation

Your feedback will be used to help improve Google Translate