قاعدة شبه المنحرف

عندما تكون المسافة بين عناصر الشبكة غير منتظمة، يمكن استخدام الصيغة التالية: $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{k=1}^{N}{\frac {f(x_{k-1})+f(x_{k})}{2}}\Delta x_{k},}$$ أين${\displaystyle \Delta x_{k}=x_{k}-x_{k-1},}$أو بالأحرى صيغة فعالة حسابيًا $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {1}{2}}{\biggl (}f(x_{0})\Delta _{+1}x_{0}+f(x_{N})\Delta _{-1}x_{N}+\sum _{k=1}^{N-1}f(x_{k})\Delta _{\pm 1}x_{k}{\biggr )},}$$ أين${\displaystyle \Delta _{+1}x_{0}=x_{1}-x_{0},}$${\displaystyle \Delta _{-1}x_{N}=x_{N}-x_{N-1},}$${\displaystyle \Delta _{\pm 1}x_{k}=x_{k+1}-x_{k-1}}$وهي الفروق الأمامية والخلفية والمركزية المقابلة .

بالنسبة لنطاق مقسم بواسطة${\displaystyle N}$في حالة النقاط المتباعدة بالتساوي، قد يحدث تبسيط كبير.

يترك${\displaystyle \Delta x={\frac {ba}{N}}}$و${\displaystyle x_{k}=a+k\Delta x}$ل${\displaystyle k=0,1,\ldots ,N.}$ يصبح التقريب للتكامل $$\displaystyle \begin{aligned}\int _{a}^{b}f(x)\,dx&\approx {\frac {\Delta x}{2}}\sum _{k=1}^{N}[f(x_{k-1})+f(x_{k})]\\&=\Delta x{\biggl (}{\tfrac {1}{2}}f(x_{0})+{\tfrac {1}{2}}f(x_{N})+\sum _{k=1}^{N-1}f(x_{k}){\biggr )}.\end{aligned}}}$$

أحيانًا يُكتب هذا التعبير على النحو التالي: $${\displaystyle \Delta x\!\!\mathop {\ \sum {\vphantom {\big )}}'} _{k=0}^{N}f(x_{k}),}$$

حيث الرمز ⁠${\displaystyle \textstyle \sum ~\!\!'}$يشير هذا إلى أن الحدين الأول والأخير يتم تقسيمهما إلى النصف.

لنفترض أولاً أن${\displaystyle h={\frac {ba}{N}}}$و${\displaystyle a_{k}=a+(k-1)h}$. يترك$${\displaystyle g_{k}(t)={\frac {1}{2}}t[f(a_{k})+f(a_{k}+t)]-\int _{a_{k}}^{a_{k}+t}f(x)\,dx}$$لتكن الدالة بحيث${\displaystyle |g_{k}(h)|}$هل الخطأ في قاعدة شبه المنحرف يقع على إحدى الفترات؟${\displaystyle [a_{k},a_{k}+h]}$. ثم $${\displaystyle {dg_{k} \over dt}={1 \over 2}[f(a_{k})+f(a_{k}+t)]+{1 \over 2}t\cdot f'(a_{k}+t)-f(a_{k}+t),}$$ و $${\displaystyle {d^{2}g_{k} \over dt^{2}}={1 \over 2}t\cdot f''(a_{k}+t).}$$

لنفترض الآن أن${\displaystyle \left|f''(x)\right|\leq \left|f''(\xi )\right|,}$وهذا ينطبق إذا${\displaystyle f}$يكون السطح أملسًا بدرجة كافية. ويترتب على ذلك أن $${\displaystyle \left|f''(a_{k}+t)\right|\leq f''(\xi )}$$ وهو ما يعادل ${\displaystyle -f''(\xi )\leq f''(a_{k}+t)\leq f''(\xi )}$، أو${\displaystyle -{\frac {f''(\xi )t}{2}}\leq g_{k}''(t)\leq {\frac {f''(\xi )t}{2}}.}$

منذ${\displaystyle g_{k}'(0)=0}$و${\displaystyle g_{k}(0)=0}$، $${\displaystyle \int _{0}^{t}g_{k}''(x)dx=g_{k}'(t)}$$و$${\displaystyle \int _{0}^{t}g_{k}'(x)dx=g_{k}(t).}$$

باستخدام هذه النتائج، نجد $${\displaystyle -{\frac {f''(\xi )t^{2}}{4}}\leq g_{k}'(t)\leq {\frac {f''(\xi )t^{2}}{4}}}$$ و $${\displaystyle -{\frac {f''(\xi )t^{3}}{12}}\leq g_{k}(t)\leq {\frac {f''(\xi )t^{3}}{12}}}$$

تأجير${\displaystyle t=h}$نجد $${\displaystyle -{\frac {f''(\xi )h^{3}}{12}}\leq g_{k}(h)\leq {\frac {f''(\xi )h^{3}}{12}}.}$$

بجمع جميع حدود الخطأ المحلية نجد $${\displaystyle \sum _{k=1}^{N}g_{k}(h)={\frac {ba}{N}}\left[{f(a)+f(b) \over 2}+\sum _{k=1}^{N-1}f\left(a+k{\frac {ba}{N}}\right)\right]-\int _{a}^{b}f(x)dx.}$$

لكن لدينا أيضًا $$\displaystyle -\sum _{k=1}^{N}{\frac {f''(\xi )h^{3}}{12}}\leq \sum _{k=1}^{N}g_{k}(h)\leq \sum _{k=1}^{N}{\frac {f''(\xi )h^{3}}{12}}}$$ و $${\displaystyle \sum _{k=1}^{N}{\frac {f''(\xi )h^{3}}{12}}={\frac {f''(\xi )h^{3}N}{12}},}$$

لهذا السبب.

$${\displaystyle -{\frac {f''(\xi )h^{3}N}{12}}\leq {\frac {b-a}{N}}\left[{f(a)+f(b) \over 2}+\sum _{k=1}^{N-1}f\left(a+k{\frac {b-a}{N}}\right)\right]-\int _{a}^{b}f(x)dx\leq {\frac {f''(\xi )h^{3}N}{12}}.}$$

وبالتالي فإن الخطأ الكلي محدود بـ

$${\displaystyle {\text{error}}=\left|\int _{a}^{b}f(x)\,dx-{\frac {b-a}{N}}\left[{f(a)+f(b) \over 2}+\sum _{k=1}^{N-1}f\left(a+k{\frac {b-a}{N}}\right)\right]\right|\leq {\frac {f''(\xi )h^{3}N}{12}}={\frac {f''(\xi )(b-a)^{3}}{12N^{2}}}.}$$

تتقارب قاعدة شبه المنحرف بسرعة للدوال الدورية. هذه نتيجة مباشرة لصيغة جمع أويلر-ماكلورين ، التي تنص على أنه إذا${\displaystyle f}$يكون${\displaystyle p}$أوقات قابلة للتفاضل باستمرار مع الفترة${\displaystyle T,}$ثم $${\displaystyle \sum _{k=0}^{N-1}f(kh)h=\int _{0}^{T}f(x)\,dx+\sum _{k=1}^{\lfloor p/2\rfloor }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}\left(f^{(2k-1)}(T)-f^{(2k-1)}(0)\right)-(-1)^{p}h^{p}\int _{0}^{T}{\tilde {B}}_{p}(x/T)f^{(p)}(x)\,dx,}$$ أين${\displaystyle h:=T/N,}$و${\displaystyle {\tilde {B}}_{p}}$هو الامتداد الدوري لـ${\displaystyle p}$متعددة حدود برنولي من الرتبة n. ^{[ 9 ]} نظرًا للدورية، فإن المشتقات عند نقطة النهاية تُحذف، ونرى أن الخطأ هو${\displaystyle O(h^{p})}$.

يُمكن تطبيق تأثير مماثل على الدوال الشبيهة بالقمم، مثل دالة غاوس ، ودالة غاوس المعدلة أُسّيًا، وغيرها من الدوال التي يمكن إهمال مشتقاتها عند حدود التكامل. ^{[ 10 ]} يُمكن حساب التكامل الكامل لدالة غاوس باستخدام قاعدة شبه المنحرف بدقة 1% باستخدام 4  نقاط فقط. ^{[ 11 ]} بينما تتطلب قاعدة سيمبسون  1.8 ضعف عدد النقاط لتحقيق الدقة نفسها. ^{[ 11 ] [ 12 ]}

بالنسبة للدوال التي لا تنتمي إلى C² ^، فإن حد الخطأ المذكور أعلاه غير قابل للتطبيق. ومع ذلك، يمكن اشتقاق حدود خطأ لهذه الدوال التقريبية، والتي عادةً ما تُظهر تقاربًا أبطأ مع ازدياد عدد عمليات تقييم الدالة.${\displaystyle N}$من${\displaystyle O(N^{-2})}$السلوك المذكور أعلاه. ومن المثير للاهتمام، أنه في هذه الحالة، غالبًا ما تكون لقاعدة شبه المنحرف حدود أدق من قاعدة سيمبسون لنفس عدد تقييمات الدالة. ^{[ 13 ]}

منذ $${\displaystyle \int _{1}^{3}{\frac {1}{x}}\,dx=\ln 3-\ln 1=\ln 3,}$$ يمكننا استخدام قاعدة شبه المنحرف لتقريب التكامل، وبالتالي توليد تقريب لـ${\displaystyle \ln 3}$.

تطبيق القاعدة مع${\displaystyle n=3}$تُعطي القطاعات $${\displaystyle \ln 3=\int _{1}^{3}{\frac {1}{x}}\,dx\approx {\frac {1}{3}}\left(1+{\frac {6}{5}}+{\frac {6}{7}}+{\frac {1}{3}}\right)={\frac {356}{315}}\approx 1.13015873,}$$ والتي تبلغ نسبة الخطأ المطلق فيها${\displaystyle 0.031546}$وخطأ نسبي قدره${\displaystyle 2.87148\%}$.

تطبيق القاعدة مع${\displaystyle n=6}$تُعطي القطاعات $${\displaystyle \ln 3=\int _{1}^{3}{\frac {1}{x}}\,dx\approx {\frac {1}{6}}\left(1+{\frac {3}{2}}+{\frac {6}{5}}+1+{\frac {6}{7}}+{\frac {3}{4}}+{\frac {1}{3}}\right)={\frac {2789}{2520}}\approx 1.10674603,}$$ والتي تبلغ نسبة الخطأ المطلق فيها${\displaystyle 8.13\times 10^{-3}}$وخطأ نسبي قدره${\displaystyle 0.74036\%}$.

لنفترض أننا نرغب في تحديد عدد الفترات اللازمة لتقريب${\displaystyle \ln 3}$بدقة تصل إلى${\displaystyle 10^{-4}}$حد الخطأ هو $${\displaystyle -{\frac {(b-a)^{3}}{12N^{2}}}f''(\xi )}$$

أين${\displaystyle a=1}$،${\displaystyle b=3}$،${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}$و${\displaystyle \xi }$هو رقم ما بين${\displaystyle 1}$و${\displaystyle 3}$. منذ${\displaystyle f''(x)=2x^{-3}}$هي دالة متناقصة، على المستوى الداخلي${\displaystyle [1,3]}$تبلغ ذروتها عند${\displaystyle x=1}$، وهو${\displaystyle f''(1)=2}$لذلك لدينا $${\displaystyle \left|-{\frac {(b-a)^{3}}{12N^{2}}}f''(\xi )\right|\leq {\frac {(3-1)^{3}}{12N^{2}}}\times 2={\frac {4}{3N^{2}}}.}$$ نسعى${\displaystyle N}$بحيث $${\displaystyle {\frac {4}{3N^{2}}}\leq 10^{-4}}$$ مما يعطي $${\displaystyle N^{2}\geq {\frac {40000}{3}}.}$$ حل لـ${\displaystyle N}$أعطِ $${\displaystyle N\geq {\sqrt {\frac {40000}{3}}}\approx 115.47,}$$ لذا يلزم 116 فاصلًا لضمان دقة${\displaystyle 10^{-4}}$.

التكامل التالي معطى: $${\displaystyle \int _{0.1}^{1.3}5xe^{-2x}\,dx.}$$

حل