توزيع t المعمم الملتوي

${\displaystyle f_{\text{SGT}}(x;\mu ,\sigma ,\lambda ,p,q)={\frac {p}{2v\sigma q^{\frac {1}{p}}B({\frac {1}{p}},q)\left[1+{\frac {|x-\mu +m|^{p}}{q(v\sigma )^{p}(1+\lambda \operatorname {sgn}(x-\mu +m))^{p}}}\right]^{{\frac {1}{p}}+q}}}}$

أين${\displaystyle B}$هي دالة بيتا ،${\displaystyle \mu }$هو مُعامل الموقع،${\displaystyle \sigma >0}$هو معامل المقياس،${\displaystyle -1<\lambda <1}$هو معامل الالتواء، و${\displaystyle p>0}$و${\displaystyle q>0}$هي المعايير التي تتحكم في التفرطح .${\displaystyle m}$و${\displaystyle v}$ليست هذه معلمات، بل هي دوال للمعلمات الأخرى المستخدمة هنا لتوسيع نطاق التوزيع أو تحويله بشكل مناسب ليتناسب مع مختلف معلمات هذا التوزيع.

في الصيغة الأصلية ^{[ 1 ]} لتوزيع t المعمم المنحرف،

${\displaystyle m=\lambda v\sigma {\frac {2q^{\frac {1}{p}}B({\frac {2}{p}},q-{\frac {1}{p}})}{B({\frac {1}{p}},q)}}}$

و

${\displaystyle v={\frac {q^{-{\frac {1}{p}}}}{\sqrt {(1+3\lambda ^{2}){\frac {B({\frac {3}{p}},q-{\frac {2}{p}})}{B({\frac {1}{p}},q)}}-4\lambda ^{2}{\frac {B({\frac {2}{p}},q-{\frac {1}{p}})^{2}}{B({\frac {1}{p}},q)^{2}}}}}}}$.

هذه القيم لـ${\displaystyle m}$و${\displaystyle v}$ينتج عنه توزيع بمتوسط ​​قدره${\displaystyle \mu }$لو${\displaystyle pq>1}$وتباين من${\displaystyle \sigma ^{2}}$لو${\displaystyle pq>2}$لكي${\displaystyle m}$ولكن لكي تكتسب هذه القيمة، يجب أن يكون الأمر كذلك.${\displaystyle pq>1}$وبالمثل، بالنسبة لـ${\displaystyle v}$لتساوي القيمة المذكورة أعلاه،${\displaystyle pq>2}$.

مجموعة المعاملات التي تُنتج أبسط شكل وظيفي لدالة كثافة الاحتمال${\displaystyle m=0}$و${\displaystyle v=1}$وهذا يعطي متوسطًا لـ

${\displaystyle \mu +{\frac {2v\sigma \lambda q^{\frac {1}{p}}B({\frac {2}{p}},q-{\frac {1}{p}})}{B({\frac {1}{p}},q)}}}$

وتباين من

${\displaystyle \sigma ^{2}q^{\frac {2}{p}}((1+3\lambda ^{2}){\frac {B({\frac {3}{p}},q-{\frac {2}{p}})}{B({\frac {1}{p}},q)}}-4\lambda ^{2}{\frac {B({\frac {2}{p}},q-{\frac {1}{p}})^{2}}{B({\frac {1}{p}},q)^{2}}})}$

ال${\displaystyle \lambda }$يتحكم المعامل في درجة التواء التوزيع. ولتوضيح ذلك، لنفترض${\displaystyle M}$يشير إلى نمط التوزيع، و

${\displaystyle \int _{-\infty }^{M}f_{\text{SGT}}(x;\mu ,\sigma ,\lambda ,p,q)\mathrm {d} x={\frac {1-\lambda }{2}}}$

منذ${\displaystyle -1<\lambda <1}$، يمكن أن يساوي الاحتمال على يسار المنوال، وبالتالي على يمينه أيضًا، أي قيمة في (0،1) اعتمادًا على قيمة${\displaystyle \lambda }$وبالتالي، يمكن أن يكون توزيع t المعمم الملتوي شديد الالتواء ومتماثلاً في الوقت نفسه.${\displaystyle -1<\lambda <0}$إذا كان التوزيع ملتوياً نحو اليسار، فإن التوزيع يكون ملتوياً نحو اليسار.${\displaystyle 0<\lambda <1}$إذا كان التوزيع ملتوياً نحو اليمين، فإن التوزيع يكون ملتوياً نحو اليمين.${\displaystyle \lambda =0}$إذاً، يكون التوزيع متماثلاً.

أخيراً،${\displaystyle p}$و${\displaystyle q}$التحكم في تفرطح التوزيع.${\displaystyle p}$و${\displaystyle q}$كلما صغرت القيم، زاد التفرطح ^{[ 1 ]} (أي أصبح أكثر تفرطحًا). القيم الكبيرة لـ${\displaystyle p}$و${\displaystyle q}$ينتج عنه توزيع أكثر تسطحًا.

يترك${\displaystyle X}$ليكن متغيرًا عشوائيًا يتبع توزيع t المعمم الملتوي.${\displaystyle h^{th}}$لحظة (أي${\displaystyle E[(X-E(X))^{h}]}$)، ل${\displaystyle pq>h}$، يكون: ${\displaystyle \sum _{r=0}^{h}{\binom {h}{r}}((1+\lambda )^{r+1}+(-1)^{r}(1-\lambda )^{r+1})(-\lambda )^{h-r}{\frac {(v\sigma )^{h}q^{\frac {h}{p}}B({\frac {r+1}{p}},q-{\frac {r}{p}})B({\frac {2}{p}},q-{\frac {1}{p}})^{h-r}}{2^{r-h+1}B({\frac {1}{p}},q)^{h-r+1}}}}$

المتوسط، لـ${\displaystyle pq>1}$، يكون:

${\displaystyle \mu +{\frac {2v\sigma \lambda q^{\frac {1}{p}}B({\frac {2}{p}},q-{\frac {1}{p}})}{B({\frac {1}{p}},q)}}-m}$

التباين (أي${\displaystyle E[(X-E(X))^{2}]}$)، ل${\displaystyle pq>2}$، يكون:

${\displaystyle (v\sigma )^{2}q^{\frac {2}{p}}((1+3\lambda ^{2}){\frac {B({\frac {3}{p}},q-{\frac {2}{p}})}{B({\frac {1}{p}},q)}}-4\lambda ^{2}{\frac {B({\frac {2}{p}},q-{\frac {1}{p}})^{2}}{B({\frac {1}{p}},q)^{2}}})}$

الانحراف (أي${\displaystyle E[(X-E(X))^{3}]}$)، ل${\displaystyle pq>3}$، يكون:

${\displaystyle {\frac {2q^{3/p}\lambda (v\sigma )^{3}}{B({\frac {1}{p}},q)^{3}}}{\Bigg (}8\lambda ^{2}B({\frac {2}{p}},q-{\frac {1}{p}})^{3}-3(1+3\lambda ^{2})B({\frac {1}{p}},q)}$

${\displaystyle \times B({\frac {2}{p}},q-{\frac {1}{p}})B({\frac {3}{p}},q-{\frac {2}{p}})+2(1+\lambda ^{2})B({\frac {1}{p}},q)^{2}B({\frac {4}{p}},q-{\frac {3}{p}}){\Bigg )}}$

التفرطح (أي${\displaystyle E[(X-E(X))^{4}]}$)، ل${\displaystyle pq>4}$، يكون:

${\displaystyle {\frac {q^{4/p}(v\sigma )^{4}}{B({\frac {1}{p}},q)^{4}}}{\Bigg (}-48\lambda ^{4}B({\frac {2}{p}},q-{\frac {1}{p}})^{4}+24\lambda ^{2}(1+3\lambda ^{2})B({\frac {1}{p}},q)B({\frac {2}{p}},q-{\frac {1}{p}})^{2}}$

${\displaystyle \times B({\frac {3}{p}},q-{\frac {2}{p}})-32\lambda ^{2}(1+\lambda ^{2})B({\frac {1}{p}},q)^{2}B({\frac {2}{p}},q-{\frac {1}{p}})B({\frac {4}{p}},q-{\frac {3}{p}})}$

${\displaystyle +(1+10\lambda ^{2}+5\lambda ^{4})B({\frac {1}{p}},q)^{3}B({\frac {5}{p}},q-{\frac {4}{p}}){\Bigg )}}$

يحتوي توزيع الخطأ المعمم الملتوي (SGED) على دالة كثافة الاحتمال التالية:

${\displaystyle \lim _{q\to \infty }f_{\text{SGT}}(x;\mu ,\sigma ,\lambda ,p,q)}$

${\displaystyle =f_{\text{SGED}}(x;\mu ,\sigma ,\lambda ,p)={\frac {p}{2v\sigma \Gamma ({\frac {1}{p}})}}e^{-\left({\frac {|x-\mu +m|}{v\sigma [1+\lambda \operatorname {sgn}(x-\mu +m)]}}\right)^{p}}}$

أين

${\displaystyle m=\lambda v\sigma {\frac {2^{\frac {2}{p}}\Gamma ({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{p}})}{\sqrt {\pi }}}}$

يعطي متوسطًا لـ${\displaystyle \mu }$. أيضًا

${\displaystyle v={\sqrt {\frac {\pi \Gamma ({\frac {1}{p}})}{\pi (1+3\lambda ^{2})\Gamma ({\frac {3}{p}})-16^{\frac {1}{p}}\lambda ^{2}\Gamma ({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{p}})^{2}\Gamma ({\frac {1}{p}})}}}}$

يعطي تباينًا قدره${\displaystyle \sigma ^{2}}$.

توزيع t المعمم (GT) له دالة كثافة الاحتمال التالية:

${\displaystyle f_{\text{SGT}}(x;\mu ,\sigma ,\lambda {=}0,p,q)}$

${\displaystyle =f_{\text{GT}}(x;\mu ,\sigma ,p,q)={\frac {p}{2v\sigma q^{\frac {1}{p}}B({\frac {1}{p}},q)\left[1+{\frac {\left|x-\mu \right|^{p}}{q(v\sigma )^{p}}}\right]^{{\frac {1}{p}}+q}}}}$

أين

${\displaystyle v={\frac {1}{q^{\frac {1}{p}}}}{\sqrt {\frac {B({\frac {1}{p}},q)}{B({\frac {3}{p}},q-{\frac {2}{p}})}}}}$

يعطي تباينًا قدره${\displaystyle \sigma ^{2}}$.

توزيع t الملتوي (ST) له دالة كثافة الاحتمال التالية:

${\displaystyle f_{\text{SGT}}(x;\mu ,\sigma ,\lambda ,p{=}2,q)}$

${\displaystyle =f_{\text{ST}}(x;\mu ,\sigma ,\lambda ,q)={\frac {\Gamma ({\frac {1}{2}}+q)}{v\sigma (\pi q)^{\frac {1}{2}}\Gamma (q)\left[1+{\frac {\left|x-\mu +m\right|^{2}}{q(v\sigma )^{2}(1+\lambda \operatorname {sgn}(x-\mu +m))^{2}}}\right]^{{\frac {1}{2}}+q}}}}$

أين

${\displaystyle m=\lambda v\sigma {\frac {2q^{\frac {1}{2}}\Gamma (q-{\frac {1}{2}})}{\pi ^{\frac {1}{2}}\Gamma (q)}}}$

يعطي متوسطًا لـ${\displaystyle \mu }$. أيضًا

${\displaystyle v={\frac {1}{q^{\frac {1}{2}}{\sqrt {(1+3\lambda ^{2}){\frac {1}{2q-2}}-{\frac {4\lambda ^{2}}{\pi }}\left({\frac {\Gamma (q-{\frac {1}{2}})}{\Gamma (q)}}\right)^{2}}}}}}$

يعطي تباينًا قدره${\displaystyle \sigma ^{2}}$.

توزيع لابلاس المنحرف (SLaplace) له دالة كثافة الاحتمال التالية:

${\displaystyle \lim _{q\to \infty }f_{\text{SGT}}(x;\mu ,\sigma ,\lambda ,p{=}1,q)}$

${\displaystyle =f_{\text{SLaplace}}(x;\mu ,\sigma ,\lambda )={\frac {1}{2v\sigma }}e^{-{\frac {|x-\mu +m|}{v\sigma (1+\lambda \operatorname {sgn}(x-\mu +m))}}}}$

أين

${\displaystyle m=2v\sigma \lambda }$

يعطي متوسطًا لـ${\displaystyle \mu }$. أيضًا

${\displaystyle v=[2(1+\lambda ^{2})]^{-{\frac {1}{2}}}}$

يعطي تباينًا قدره${\displaystyle \sigma ^{2}}$.

توزيع الخطأ المعمم (GED، المعروف أيضًا باسم التوزيع الطبيعي المعمم ) له دالة كثافة الاحتمال التالية:

${\displaystyle \lim _{q\to \infty }f_{\text{SGT}}(x;\mu ,\sigma ,\lambda {=}0,p,q)}$

${\displaystyle =f_{\text{GED}}(x;\mu ,\sigma ,p)={\frac {p}{2v\sigma \Gamma ({\frac {1}{p}})}}e^{-\left({\frac {|x-\mu |}{v\sigma }}\right)^{p}}}$

أين

${\displaystyle v={\sqrt {\frac {\Gamma ({\frac {1}{p}})}{\Gamma ({\frac {3}{p}})}}}}$

يعطي تباينًا قدره${\displaystyle \sigma ^{2}}$.

التوزيع الطبيعي الملتوي (SNormal) له دالة كثافة الاحتمال التالية:

${\displaystyle \lim _{q\to \infty }f_{\text{SGT}}(x;\mu ,\sigma ,\lambda ,p{=}2,q)}$

${\displaystyle =f_{\text{SNormal}}(x;\mu ,\sigma ,\lambda )={\frac {1}{v\sigma {\sqrt {\pi }}}}e^{-\left[{\frac {|x-\mu +m|}{v\sigma (1+\lambda \operatorname {sgn}(x-\mu +m))}}\right]^{2}}}$

أين

${\displaystyle m=\lambda v\sigma {\frac {2}{\sqrt {\pi }}}}$

يعطي متوسطًا لـ${\displaystyle \mu }$. أيضًا

${\displaystyle v={\sqrt {\frac {2\pi }{\pi -8\lambda ^{2}+3\pi \lambda ^{2}}}}}$

يعطي تباينًا قدره${\displaystyle \sigma ^{2}}$.

لا ينبغي الخلط بين هذا التوزيع والتوزيع الطبيعي الملتوي أو أي توزيع غير متماثل آخر . في الواقع، يُعد هذا التوزيع حالة خاصة من التوزيع ثنائي الغاوسي، حيث يتناسب عرضه الأيسر والأيمن مع${\displaystyle 1-\lambda }$و${\displaystyle 1+\lambda }$.

توزيع t للطالب ( T) له دالة كثافة الاحتمال التالية:

${\displaystyle f_{\text{SGT}}(x;\mu {=}0,\sigma {=}1,\lambda {=}0,p{=}2,q{=}{\tfrac {d}{2}})}$

${\displaystyle =f_{\text{T}}(x;d)={\frac {\Gamma ({\frac {d+1}{2}})}{(\pi d)^{\frac {1}{2}}\Gamma ({\frac {d}{2}})}}\left(1+{\frac {x^{2}}{d}}\right)^{-{\frac {d+1}{2}}}}$

${\displaystyle v={\sqrt {2}}}$تم استبداله.

توزيع كوشي المنحرف (SCauchy) له دالة كثافة الاحتمال التالية:

${\displaystyle f_{\text{SGT}}(x;\mu ,\sigma ,\lambda ,p{=}2,q{=}{\tfrac {1}{2}})}$

${\displaystyle =f_{\text{SCauchy}}(x;\mu ,\sigma ,\lambda )={\frac {1}{\sigma \pi \left[1+{\frac {\left|x-\mu \right|^{2}}{\sigma ^{2}(1+\lambda \operatorname {sgn}(x-\mu ))^{2}}}\right]}}}$

${\displaystyle v={\sqrt {2}}}$و${\displaystyle m=0}$تم استبداله.

المتوسط ​​والتباين والالتواء والتفرطح لتوزيع كوشي الملتوي كلها غير محددة.

توزيع لابلاس يحتوي على دالة الكثافة الاحتمالية (pdf):

${\displaystyle \lim _{q\to \infty }f_{\text{SGT}}(x;\mu ,\sigma ,\lambda {=}0,p{=}1,q)}$

${\displaystyle =f_{\text{Laplace}}(x;\mu ,\sigma )={\frac {1}{2\sigma }}e^{-{\frac {|x-\mu |}{\sigma }}}}$

${\displaystyle v=1}$تم استبداله.

التوزيع المنتظم له دالة كثافة الاحتمال التالية:

${\displaystyle \lim _{p\to \infty }f_{\text{SGT}}(x;\mu ,\sigma ,\lambda ,p,q)}$

${\displaystyle =f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2v\sigma }}&|x-\mu |<v\sigma \\0&\mathrm {otherwise} \end{cases}}}$

وبالتالي، يتم الحصول على المعايرة الموحدة القياسية إذا${\displaystyle \mu ={\frac {a+b}{2}}}$،${\displaystyle v=1}$، و${\displaystyle \sigma ={\frac {b-a}{2}}}$.

التوزيع الطبيعي له دالة كثافة احتمالية:

${\displaystyle \lim _{q\to \infty }f_{\text{SGT}}(x;\mu ,\sigma ,\lambda {=}0,p{=}2,q)}$

${\displaystyle =f_{\text{Normal}}(x;\mu ,\sigma )={\frac {e^{-\left({\frac {|x-\mu |}{v\sigma }}\right)^{2}}}{v\sigma {\sqrt {\pi }}}}}$

أين

${\displaystyle v={\sqrt {2}}}$

يعطي تباينًا قدره${\displaystyle \sigma ^{2}}$.

يحتوي توزيع كوشي على ملف PDF التالي:

${\displaystyle f_{\text{SGT}}(x;\mu ,\sigma ,\lambda {=}0,p{=}2,q{=}{\tfrac {1}{2}})}$

${\displaystyle =f_{\text{Cauchy}}(x;\mu ,\sigma )={\frac {1}{\sigma \pi \left[1+\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}\right]}}}$

${\displaystyle v={\sqrt {2}}}$تم استبداله.