التفرطح

كان تفسير مقياس بيرسون للتفرطح (أو التفرطح الزائد) موضع نقاش في السابق، ولكنه أصبح الآن راسخًا. وكما أشار ويستفال في عام 2014 ^{[ 2 ]} ، "...  يرتبط تفسيره الواضح بتطرف الذيل". تحديدًا، يعكس إما وجود قيم متطرفة (بالنسبة لتفرطح العينة) أو ميل التوزيع الاحتمالي إلى إنتاج قيم متطرفة (بالنسبة لتفرطح التوزيع الاحتمالي). والمنطق الأساسي بسيط: يمثل التفرطح متوسط ​​(أو القيمة المتوقعة ) البيانات المعيارية مرفوعة للأس الرابع. تساهم القيم المعيارية الأقل من 1 - والتي تتوافق مع البيانات ضمن انحراف معياري واحد عن المتوسط ​​(حيث تقع الذروة) - بشكل ضئيل في التفرطح. وذلك لأن رفع عدد أقل من 1 إلى الأس الرابع يجعله أقرب إلى الصفر. أما المساهمات المهمة في التفرطح فهي قيم البيانات خارج منطقة الذروة، أي القيم المتطرفة. لذلك، يقيس التفرطح في المقام الأول القيم المتطرفة ولا يقدم أي معلومات عن الذروة المركزية.

ترتبط العديد من المفاهيم الخاطئة حول التفرطح بمفهومَي التمركز. أحد هذه المفاهيم الخاطئة هو أن التفرطح يقيس كلاً من تمركز التوزيع وثقل ذيله . ^{[ 5 ]} تشمل التفسيرات الخاطئة الأخرى مفاهيم مثل غياب الأكتاف (حيث يشير الكتف بشكل عام إلى المنطقة بين القمة والذيل، أو بشكل أكثر تحديدًا، المنطقة التي تبعد حوالي انحراف معياري واحد عن المتوسط) أو ثنائية النمط. ^{[ 6 ]} يجادل بالاندا وماكجيليفراي بأن التعريف القياسي للتفرطح "لا يعكس بدقة التفرطح أو التمركز أو ثقل ذيل التوزيع". وبدلاً من ذلك، يقترحان تعريفًا عامًا للتفرطح على أنه حركة كتلة الاحتمال ، بغض النظر عن الموقع أو المقياس ، من أكتاف التوزيع إلى مركزه وذيله. ^{[ 5 ]}

في عام 1986، قدم مورز تفسيراً للتفرطح. ^{[ 7 ]} ليكن$${\displaystyle Z={\frac {X-\mu }{\sigma }},}$$حيث X هو متغير عشوائي، وμ هو المتوسط ​​و σ هو الانحراف المعياري.

الآن، بحسب تعريف التفرطح${\displaystyle \kappa }$وبواسطة الهوية المعروفة${\displaystyle \operatorname {E} \left[V^{2}\right]=\operatorname {var} [V]+\operatorname {E} [V]^{2},}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\kappa &=\operatorname {E} \left[Z^{4}\right]\\&=\operatorname {var} \left[Z^{2}\right]+\operatorname {E} {\!\left[Z^{2}\right]}^{2}\\&=\operatorname {var} \left[Z^{2}\right]+\operatorname {var} [Z]^{2}=\operatorname {var} \left[Z^{2}\right]+1.\end{aligned}}}$$

يمكن الآن اعتبار التفرطح مقياسًا لتشتت Z² حول قيمته المتوقعة. أو يمكن اعتباره مقياسًا لتشتت Z حول +1 و -1 . يبلغ κ أدنى قيمة له في التوزيع المتناظر ذي النقطتين. وبالنسبة للمتغير الأصلي X ، ^فإن التفرطح هو مقياس لتشتت X حول القيمتين μ ± σ . 

تنشأ القيم العالية لـ κ عندما تتركز كتلة الاحتمال حول المتوسط ​​وتنتج عملية توليد البيانات قيمًا عرضية بعيدة عن المتوسط، أو عندما تتركز كتلة الاحتمال في ذيول التوزيع.

إنتروبيا التوزيع هي${\textstyle -\!\int p(x)\ln p(x)\,dx.}$

لأي${\displaystyle \mu \in \mathbb {R} ^{n},\Sigma \in \mathbb {R} ^{n\times n}}$مع${\displaystyle \Sigma }$موجب محدد، من بين جميع توزيعات الاحتمالات على${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$مع المتوسط${\displaystyle \mu }$والتباين المشترك${\displaystyle \Sigma }$التوزيع الطبيعي${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\Sigma )}$يمتلك أكبر قدر من الإنتروبيا.

منذ المتوسط${\displaystyle \mu }$والتباين المشترك${\displaystyle \Sigma }$إذا كانت العزمتان الأوليان هما العزمتان الأوليان، فمن الطبيعي التفكير في التمديد إلى العزوم الأعلى. في الواقع، باستخدام طريقة مضاعف لاغرانج ، لأي عزوم n أولية محددة، إذا وُجد توزيع احتمالي من الشكل${\displaystyle p(x)\propto e^{\sum _{i}a_{i}x_{i}+\sum _{ij}b_{ij}x_{i}x_{j}+\cdots +\sum _{i_{1}\cdots i_{n}}x_{i_{1}}\cdots x_{i_{n}}}}$إذا كان ذلك ممكناً، فإن التوزيع الذي يحقق العزوم المحددة (إن أمكن) يمثل توزيع الإنتروبيا الأقصى في ظل القيود المعطاة. ^{[ 8 ] [ 9 ]}

عن طريق التوسع التسلسلي، $${\displaystyle {\begin{aligned}&\int {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}-{\frac {1}{4}}gx^{4}}x^{2n}\,dx\\[6pt]&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}-{\frac {1}{4}}gx^{4}}x^{2n}\,dx\\[6pt]&=\sum _{k}{\frac {1}{k!}}\left(-{\frac {g}{4}}\right)^{k}(2n+4k-1)!!\\[6pt]&=(2n-1)!!-{\tfrac {1}{4}}g(2n+3)!!+O(g^{2})\end{aligned}}}$$ إذا كان للمتغير العشوائي توزيع احتمالي${\displaystyle p(x)=e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}-{\frac {1}{4}}gx^{4}}/Z}$، أين${\displaystyle Z}$إذا كان ثابتًا معياريًا، فإن التفرطح الخاص به هو${\displaystyle 3-6g+O(g^{2})}$[ ^{10 ]​}

تُسمى التوزيعات ذات التفرطح الزائد الصفري بالتوزيعات متوسطة التفرطح . يُعد التوزيع الطبيعي أبرز مثال على التوزيع متوسط ​​التفرطح، بغض النظر عن قيم معلماته . وهناك بعض التوزيعات الأخرى المعروفة التي قد تكون متوسطة التفرطح، وذلك تبعًا لقيم معلماتها: على سبيل المثال، يُعد التوزيع ذو الحدين متوسط ​​التفرطح عندما${\textstyle p=1/2\pm {\sqrt {1/12}}}$.

يُطلق على التوزيع ذي التفرطح الزائد الموجب اسم التوزيع ذي التفرطح الموجب . يتميز هذا التوزيع بذيل أكثر سمكًا . ( كلمة "ليبتو " تعني "نحيف"، وتشير في الأصل إلى القمة. ^{[ 11 ]} ) من أمثلة التوزيعات ذات التفرطح الموجب : توزيع t للطالب ، وتوزيع رايلي ، وتوزيع لابلاس ، والتوزيع الأسي ، وتوزيع بواسون ، والتوزيع اللوجستي . تُسمى هذه التوزيعات أحيانًا بالتوزيعات فائقة الغاوسية . ^{[ 12 ]}

يُطلق على التوزيع ذي التفرطح الزائد السالب اسم التوزيع المسطح التفرطح . يتميز التوزيع المسطح التفرطح بذيل أضيق ( كلمة " مسطح " تعني "عريض"، وتشير في الأصل إلى القمة). ^{[ 13 ]} تشمل أمثلة التوزيعات المسطحة التفرطح التوزيعات المنتظمة المستمرة والمتقطعة ، وتوزيع جيب التمام المرفوع . يُعد توزيع برنولي، حيث p = 1/2 (على سبيل المثال، عدد مرات الحصول على صورة عند رمي قطعة نقدية مرة واحدة ) ، أكثر التوزيعات مسطحة التفرطح على الإطلاق ، حيث يكون التفرطح الزائد -2.

تُوضَّح آثار التفرطح باستخدام عائلة بارامترية من التوزيعات التي يمكن تعديل تفرطحها مع بقاء عزماتها التراكمية وقيمها الدنيا ثابتة. لنأخذ عائلة بيرسون من النوع السابع كمثال ، وهي حالة خاصة من عائلة بيرسون من النوع الرابع، وتقتصر على الكثافات المتناظرة. تُعطى دالة كثافة الاحتمال (PDF) بالصيغة التالية:$${\displaystyle f(x;a,m)={\frac {\Gamma (m)}{a\,{\sqrt {\pi }}\,\Gamma (m-1/2)}}\left[1+\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}\right]^{-m},}$$ حيث يمثل a معامل المقياس و m معامل الشكل .

جميع الكثافات في هذه العائلة متناظرة. يوجد العزم من الرتبة k بشرط أن يكون m > ( k + 1)/2 ^. لكي يوجد التفرطح، يجب أن يكون m > 5/2 . عندئذٍ، يوجد المتوسط ​​والالتواء ، وكلاهما يساوي صفرًا. بوضع a² = 2m - 3 ، يصبح التباين مساويًا للواحد. عندئذٍ، يكون المعامل الحر الوحيد هو m ، الذي يتحكم في العزم الرابع (والتراكمي)، وبالتالي في التفرطح. يمكن إعادة تحديد المعاملات باستخدام${\textstyle m=5/2+3/\gamma _{2}}$، أين${\displaystyle \gamma _{2}}$يمثل التفرطح الزائد كما هو مُعرَّف أعلاه. ينتج عن ذلك عائلة توزيعات ذات معلمة واحدة ذات تفرطح موجب بمتوسط ​​صفري، وتباين يساوي واحدًا، وانحراف صفري، وتفرطح زائد غير سالب اختياري. الكثافة المعاد تحديد معلماتها هي $${\displaystyle g(x;\gamma _{2})=f{\left(x;\;a={\sqrt {2+6\gamma _{2}^{-1}}},\;m={\tfrac {5}{2}}+3\gamma _{2}^{-1}\right)}.}$$

في الحد كما${\displaystyle \gamma _{2}\to \infty }$ومن ثم يتم الحصول على الكثافة $${\displaystyle g(x)=3\left(2+x^{2}\right)^{-5/2},}$$ وهو ما يظهر على شكل المنحنى الأحمر في الصور الموجودة على اليمين.

في الاتجاه الآخر كما${\displaystyle \gamma _{2}\to 0}$يتم الحصول على الكثافة الطبيعية القياسية كتوزيع حدي، كما هو موضح بالمنحنى الأسود.

في الصور الموجودة على اليمين، يمثل المنحنى الأزرق الكثافة${\displaystyle x\mapsto g(x;2)}$مع زيادة في التفرطح بمقدار 2. تُظهر الصورة العلوية أن كثافات التوزيعات ذات التفرطح العالي في هذه المجموعة لها ذروة أعلى من كثافة التوزيع الطبيعي متوسطة التفرطح، على الرغم من أن هذه النتيجة صحيحة فقط لهذه المجموعة المختارة من التوزيعات. تُوضح الصورة الثانية ذيول كثافات التوزيعات ذات التفرطح العالي، والتي ترسم اللوغاريتم الطبيعي لكثافات بيرسون من النوع السابع: المنحنى الأسود هو لوغاريتم كثافة التوزيع الطبيعي القياسي، وهو قطع مكافئ . يمكن ملاحظة أن كثافة التوزيع الطبيعي تُخصص كتلة احتمالية ضئيلة للمناطق البعيدة عن المتوسط ​​(ذات ذيول رفيعة )، مقارنةً بالمنحنى الأزرق لكثافة بيرسون من النوع السابع ذات التفرطح العالي مع زيادة في التفرطح بمقدار 2. بين المنحنى الأزرق والأسود توجد كثافات أخرى لبيرسون من النوع السابع مع _γ² =  1  ، 1/2، 1/4، 1/8، و1/16. يُظهر المنحنى الأحمر مرة أخرى الحد الأعلى لعائلة بيرسون من النوع السابع، مع${\displaystyle \gamma _{2}=\infty }$(وهذا يعني، بالمعنى الدقيق، أن العزم الرابع غير موجود). يتناقص المنحنى الأحمر ببطء شديد كلما ابتعدنا عن نقطة الأصل (له ذيول سميكة ).

تُقارن هنا عدة توزيعات معروفة، أحادية النمط، ومتماثلة من عائلات بارامترية مختلفة. لكل منها متوسط ​​وانحراف يساويان صفرًا. وقد اختيرت البارامترات بحيث يكون التباين مساويًا لـ 1 في كل حالة. تُظهر الصور على اليمين منحنيات الكثافات السبع التالية، على مقياس خطي ومقياس لوغاريتمي :

• د: توزيع لابلاس ، المعروف أيضًا باسم التوزيع الأسي المزدوج، المنحنى الأحمر (خطان مستقيمان في الرسم البياني ذي المقياس اللوغاريتمي)، التفرطح الزائد = 3
• S: توزيع قاطع زائد ، منحنى برتقالي، فرط التفرطح = 2
• L: التوزيع اللوجستي ، المنحنى الأخضر، التفرطح الزائد = 1.2
• N: التوزيع الطبيعي ، المنحنى الأسود (قطع مكافئ مقلوب في الرسم البياني ذي المقياس اللوغاريتمي)، التفرطح الزائد = 0
• ج: توزيع جيب التمام المرفوع ، منحنى سماوي، التفرطح الزائد = −0.593762...
• W: توزيع ويغنر نصف الدائري ، المنحنى الأزرق، التفرطح الزائد = -1
• U: توزيع منتظم ، منحنى أرجواني (موضح للتوضيح كمستطيل في كلتا الصورتين)، التفرطح الزائد = -1.2.

لاحظ أنه في هذه الحالات يكون للكثافات المسطحة ذات الدعم المحدود ، في حين أن الكثافات ذات التفرطح الزائد الموجب أو الصفري مدعومة على خط الأعداد الحقيقية بأكمله .

لا يمكن استنتاج أن التوزيعات ذات التفرطح العالي أو المنخفض لها الخصائص الموضحة في هذه الأمثلة. توجد توزيعات مسطحة التفرطح ذات نطاق لانهائي، مثل توزيعات القوة الأسية ذات معامل الشكل b الكبير بما فيه الكفاية ، وتوجد توزيعات مدببة التفرطح ذات نطاق محدود. ومن أمثلة هذا الأخير التوزيع المنتظم بين -3 و-0.3، وبين -0.3 و0.3، وبين 0.3 و3، حيث تكون الكثافة متساوية في الفترتين (-3، -0.3) و(0.3، 3)، ولكنها تزيد عشرين ضعفًا في الفترة (-0.3، 0.3).

كذلك، لا يمكن استنتاج أن التوزيعات ذات التفرطح العالي أكثر حدةً وأن التوزيعات ذات التفرطح المنخفض أكثر استواءً من الرسوم البيانية . توجد كثافات مسطحة التفرطح ذات حدة لا نهائية؛ على سبيل المثال، مزيج متساوٍ من توزيع بيتا بمعاملات 0.5 و1 مع انعكاسه حول 0.0، وتوجد كثافات حادة التفرطح تبدو مسطحة القمة؛ على سبيل المثال، مزيج من توزيع منتظم بين -1 و1 مع توزيع t للطالب T(4.0000001)، باحتمالات خلط 0.999 و0.001.

تُعرض على اليمين رسوم بيانية للنسخ المعيارية لهذه التوزيعات.

الحد الأعلى لمعامل التفرطح لعينة من n ( n > 2 ) من الأعداد الحقيقية هو ^{[ 15 ]}$${\displaystyle g_{2}\leq {\frac {1}{2}}{\frac {n-3}{n-2}}g_{1}^{2}+{\frac {n}{2}}-3,}$$ أين${\displaystyle g_{1}=m_{3}/m_{2}^{3/2}}$يمثل معامل التواء العينة المقابل.

تباين التفرطح لعينة بحجم n عن التوزيع الطبيعي هو ^{[ 16 ]}$${\displaystyle \operatorname {var} (g_{2})={\frac {24n(n-1)^{2}}{(n-3)(n-2)(n+3)(n+5)}}}$$

وبعبارة أخرى، بافتراض أن المتغير العشوائي الأساسي${\displaystyle X}$إذا كان التوزيع طبيعياً، فيمكن إثبات أن${\displaystyle {\sqrt {n}}g_{2}\,\xrightarrow {d} \,{\mathcal {N}}(0,24)}$[ ^{17 ] : رقم الصفحة مطلوب}

عند تطبيق مرشحات تمرير النطاق على الصور الرقمية ، تميل قيم التفرطح إلى أن تكون منتظمة، بغض النظر عن نطاق المرشح. يُطلق على هذا السلوك اسم تقارب التفرطح ، ويمكن استخدامه للكشف عن دمج الصور في التحليل الجنائي . ^{[ 21 ]}

يمكن استخدام التفرطح في الجيوفيزياء لتمييز أنواع الإشارات الزلزالية المختلفة . وهو فعال بشكل خاص في التمييز بين الإشارات الزلزالية الناتجة عن خطوات الإنسان وغيرها من الإشارات. ^{[ 22 ]} وهذا مفيد في أنظمة الأمن والمراقبة التي تعتمد على الكشف الزلزالي.

في علم الأرصاد الجوية ، يُستخدم التفرطح لتحليل توزيعات بيانات الطقس. فهو يساعد في التنبؤ بالظواهر الجوية المتطرفة من خلال تقييم احتمالية وجود قيم شاذة في البيانات التاريخية، ^{[ 23 ]} وهو أمر ذو قيمة لدراسات المناخ طويلة الأجل والتنبؤات الجوية قصيرة المدى.