توزيع لابلاس

للمتغير العشوائي​${\displaystyle \operatorname {Laplace} (\mu ,b)}$التوزيع إذا كانت دالة كثافة احتماله هي

$${\displaystyle f(x\mid \mu ,b)={\frac {1}{2b}}e^{-{\frac {|x-\mu |}{b}}},}$$

أين${\displaystyle \mu }$هو مُعامل الموقع ، و${\displaystyle b>0}$، والذي يُشار إليه أحيانًا باسم "التنوع"، هو مُعامل قياس . إذا${\displaystyle \mu =0}$و${\displaystyle b=1}$، يكون نصف الخط الموجب بالضبط توزيعًا أسيًا مضروبًا في 1/2. ^{[ 2 ]}

تُشبه دالة كثافة الاحتمال لتوزيع لابلاس دالة التوزيع الطبيعي ؛ إلا أنه بينما يُعبَّر عن التوزيع الطبيعي بدلالة مربع الفرق عن المتوسط،${\displaystyle \mu }$تُعبّر دالة كثافة لابلاس عن الفرق المطلق عن المتوسط. ونتيجةً لذلك، يتميز توزيع لابلاس بذيل أكثر سمكًا من التوزيع الطبيعي. وهو حالة خاصة من التوزيع الطبيعي المعمم والتوزيع الزائدي . ومن التوزيعات المتناظرة المستمرة التي لها ذيول أسية، مثل توزيع لابلاس، ولكن دوال كثافة احتمالها قابلة للتفاضل عند المنوال، التوزيع اللوجستي ، وتوزيع القاطع الزائدي ، وتوزيع شامبرنون .

يسهل حساب تكامل توزيع لابلاس (إذا تم التمييز بين حالتين متماثلتين) نظرًا لاستخدام دالة القيمة المطلقة . ودالة التوزيع التراكمي له هي كما يلي: $${\displaystyle {\begin{aligned}F(x)&=\int _{-\infty }^{x}\!\!f(u)\,\mathrm {d} u={\begin{cases}{\frac {1}{2}}\exp \left({\frac {x-\mu }{b}}\right)&{\mbox{if }}x<\mu \\1-{\frac {1}{2}}\exp \left(-{\frac {x-\mu }{b}}\right)&{\mbox{if }}x\geq \mu \end{cases}}\\&={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {sgn}(x-\mu )\left(1-\exp \left(-{\frac {|x-\mu |}{b}}\right)\right).\end{aligned}}}$$

دالة التوزيع التراكمي العكسي معطاة بالصيغة التالية

$${\displaystyle F^{-1}(p)=\mu -b\,\operatorname {sgn}(p-0.5)\,\ln(1-2|p-0.5|).}$$

$${\displaystyle \mu _{r}'={\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{r}\left[{\frac {r!}{(rk)!}}b^{k}\mu ^{(rk)}\left\{1+(-1)^{k}\right\}\right].}$$

• لو${\displaystyle X\sim {\textrm {Laplace}}(\mu ,b)}$ثم${\displaystyle kX+c\sim {\textrm {Laplace}}(k\mu +c,|k|b)}$.
• لو${\displaystyle X\sim {\textrm {Laplace}}(0,1)}$ثم${\displaystyle bX\sim {\textrm {Laplace}}(0,b)}$.
• لو${\displaystyle X\sim {\textrm {Laplace}}(0,b)}$ثم${\displaystyle \left|X\right|\sim {\textrm {Exponential}}\left(b^{-1}\right)}$( التوزيع الأسي ).
• لو${\displaystyle X,Y\sim {\textrm {Exponential}}(\lambda )}$ثم${\displaystyle XY\sim {\textrm {Laplace}}\left(0,\lambda ^{-1}\right)}$．
• لو${\displaystyle X\sim {\textrm {Laplace}}(\mu ,b)}$ثم${\displaystyle \left|X-\mu \right|\sim {\textrm {Exponential}}(b^{-1})}$.
• لو${\displaystyle X\sim {\textrm {Laplace}}(\mu ,b)}$ثم${\displaystyle X\sim {\textrm {EPD}}(\mu ,b,1)}$( توزيع القوة الأسي ).
• لو${\displaystyle X_{1},...,X_{4}\sim {\textrm {N}}(0,1)}$( التوزيع الطبيعي ) إذن${\displaystyle X_{1}X_{2}-X_{3}X_{4}\sim {\textrm {Laplace}}(0,1)}$و${\displaystyle (X_{1}^{2}-X_{2}^{2}+X_{3}^{2}-X_{4}^{2})/2\sim {\textrm {Laplace}}(0,1)}$.
• لو${\displaystyle X_{i}\sim {\textrm {Laplace}}(\mu ,b)}$ثم${\displaystyle {\frac {\displaystyle 2}{b}}\sum _{i=1}^{n}|X_{i}-\mu |\sim \chi ^{2}(2n)}$( توزيع مربع كاي ).
• لو${\displaystyle X,Y\sim {\textrm {Laplace}}(\mu ,b)}$ثم${\displaystyle {\tfrac {|X-\mu |}{|Y-\mu |}}\sim \operatorname {F} (2,2)}$( توزيع F )
• لو${\displaystyle X,Y\sim {\textrm {U}}(0,1)}$( التوزيع المنتظم ) إذن${\displaystyle \log(X/Y)\sim {\textrm {Laplace}}(0,1)}$.
• لو${\displaystyle X\sim {\textrm {Exponential}}(\lambda )}$و${\displaystyle Y\sim {\textrm {Bernoulli}}(0.5)}$( توزيع برنولي ) مستقل عن${\displaystyle X}$، ثم${\displaystyle X(2Y-1)\sim {\textrm {Laplace}}\left(0,\lambda ^{-1}\right)}$.
• لو${\displaystyle X\sim {\textrm {Exponential}}(\lambda )}$و${\displaystyle Y\sim {\textrm {الأسي}}(\nu )}$مستقل عن${\displaystyle X}$، ثم${\displaystyle \lambda X-\nu Y\sim {\textrm {Laplace}}(0,1)}$．
• لو${\displaystyle X}$لديها توزيع رادماخر و${\displaystyle Y\sim {\textrm {Exponential}}(\lambda )}$ثم${\displaystyle XY\sim {\textrm {Laplace}}(0,1/\lambda )}$.
• لو${\displaystyle V\sim {\textrm {Exponential}}(1)}$و${\displaystyle Z\sim N(0,1)}$مستقل عن${\displaystyle V}$، ثم${\displaystyle X=\mu +b{\sqrt {2V}}Z\sim \mathrm {Laplace} (\mu ,b)}$.
• لو${\displaystyle X\sim {\textrm {GeometricStable}}(2,0,\lambda ,0)}$( التوزيع الهندسي المستقر ) ثم${\displaystyle X\sim {\textrm {Laplace}}(0,\lambda )}$.
• يُعد توزيع لابلاس حالة حدية للتوزيع الزائدي .
• لو${\displaystyle X|Y\sim {\textrm {N}}(\mu ,Y^{2})}$مع${\displaystyle Y\sim {\textrm {Rayleigh}}(b)}$( توزيع رايلي )${\displaystyle X\sim {\textrm {Laplace}}(\mu ,b)}$لاحظ أنه إذا${\displaystyle Y\sim {\textrm {Rayleigh}}(b)}$، ثم${\displaystyle Y^{2}\sim {\textrm {Gamma}}(1,2b^{2})}$مع${\displaystyle {\textrm {E}}(Y^{2})=2b^{2}}$وهذا بدوره يساوي التوزيع الأسي${\displaystyle {\textrm {Exp}}(1/(2b^{2}))}$.
• بفرض عدد صحيح${\displaystyle n\geq 1}$، لو${\displaystyle X_{i},Y_{i}\sim \Gamma \left({\frac {1}{n}},b\right)}$( توزيع جاما ، باستخدام${\displaystyle k,\theta }$(التوصيف)، ثم${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\mu }{n}}+X_{i}-Y_{i}\right)\sim {\textrm {Laplace}}(\mu ,b)}$( قابلية القسمة اللانهائية ) ^{[ 3 ]}
• إذا كان X له توزيع لابلاس، فإن Y = e ^X له توزيع لوغاريتمي لابلاس ؛ وعلى العكس من ذلك، إذا كان X له توزيع لوغاريتمي لابلاس، فإن لوغاريتمه له توزيع لابلاس.

يترك ${\displaystyle X,Y}$أن تكون متغيرات عشوائية مستقلة من نوع لابلاس:${\displaystyle X\sim {\textrm {Laplace}}(\mu _{X},b_{X})}$و${\displaystyle Y\sim {\textrm {Laplace}}(\mu _{Y},b_{Y})}$ونريد أن نحسب${\displaystyle P(X>Y)}$.

احتمالية${\displaystyle P(X>Y)}$يمكن اختزالها (باستخدام الخصائص أدناه) إلى${\displaystyle P(\mu +bZ_{1}>Z_{2})}$، أين${\displaystyle Z_{1},Z_{2}\sim {\textrm {Laplace}}(0,1)}$هذا الاحتمال يساوي

$${\displaystyle P(\mu +bZ_{1}>Z_{2})={\begin{cases}{\frac {b^{2}e^{\mu /b}-e^{\mu }}{2(b^{2}-1)}},&{\text{when }}\mu <0\\1-{\frac {b^{2}e^{-\mu /b}-e^{-\mu }}{2(b^{2}-1)}},&{\text{when }}\mu >0\\\end{cases}}}$$

متى${\displaystyle b=1}$يتم استبدال كلا التعبيرين بنهايتهما كما يلي:${\displaystyle b\to 1}$:

$${\displaystyle P(\mu +Z_{1}>Z_{2})={\begin{cases}e^{\mu }{\frac {(2-\mu )}{4}},&{\text{when }}\mu <0\\1-e^{-\mu }{\frac {(2+\mu )}{4}},&{\text{when }}\mu >0\\\end{cases}}}$$

لحساب الحالة لـ${\displaystyle \mu >0}$، لاحظ أن${\displaystyle P(\mu +Z_{1}>Z_{2})=1-P(\mu +Z_{1}<Z_{2})=1-P(-\mu -Z_{1}>-Z_{2})=1-P(-\mu +Z_{1}>Z_{2})}$

منذ${\displaystyle Z\sim -Z}$متى${\displaystyle Z\sim {\textrm {Laplace}}(0,1)}$.

يمكن تمثيل متغير لابلاس العشوائي كفرق بين متغيرين عشوائيين أُسّيين مستقلين ومتطابقين في التوزيع ( iid ). ^{[ 3 ]} إحدى طرق إثبات ذلك هي استخدام أسلوب الدالة المميزة . لأي مجموعة من المتغيرات العشوائية المستمرة المستقلة، ولأي توليفة خطية من هذه المتغيرات، يمكن الحصول على دالتها المميزة (التي تحدد التوزيع بشكل فريد) بضرب الدوال المميزة المناظرة.

لنفترض وجود متغيرين عشوائيين مستقلين ومتطابقين في التوزيع.${\displaystyle X,Y\sim {\textrm {Exponential}}(\lambda )}$الدوال المميزة لـ${\displaystyle X,-Y}$نكون

$${\displaystyle {\frac {\lambda }{-it+\lambda }},\quad {\frac {\lambda }{it+\lambda }}}$$

على التوالي. عند ضرب هذه الدوال المميزة (المكافئة للدالة المميزة لمجموع المتغيرات العشوائية)${\displaystyle X+(-Y)}$والنتيجة هي

$${\displaystyle {\frac {\lambda ^{2}}{(-it+\lambda )(it+\lambda )}}={\frac {\lambda ^{2}}{t^{2}+\lambda ^{2}}}.}$$

وهذا هو نفسه الدالة المميزة لـ${\displaystyle Z\sim {\textrm {Laplace}}(0,1/\lambda )}$، وهو

$${\displaystyle {\frac {1}{1+{\frac {t^{2}}{\lambda ^{2}}}}}.}$$

تُعدّ توزيعات سارجان نظامًا من التوزيعات، ويُعتبر توزيع لابلاس أحد أعضائه الأساسيين.${\displaystyle p}$توزيع سارجان من الرتبة th له كثافة ^{[ 4 ] [ 5 ]}$${\displaystyle f_{p}(x)={\tfrac {1}{2}}\exp(-\alpha |x|){\frac {\displaystyle 1+\sum _{j=1}^{p}\beta _{j}\alpha ^{j}|x|^{j}}{\displaystyle 1+\sum _{j=1}^{p}j!\beta _{j}}},}$$ بالنسبة للمعاملات${\displaystyle \alpha \geq 0,\beta _{j}\geq 0}$نتائج توزيع لابلاس لـ${\displaystyle p=0}$.