حقل المنحدرات

📅 آخر تحديث: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 18 صور
الموسوعة الحرة
حقل المنحدرات لـدyدx=x2-x-2{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=x^{2}-x-2}، حيث تمثل الخطوط الزرقاء والحمراء والخضراءx33-x22-2x+4{\displaystyle {\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{2}}{2}}-2x+4}،x33-x22-2x{\displaystyle {\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{2}}{2}}-2x}، وx33-x22-2x-4{\displaystyle {\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{2}}{2}}-2x-4}، على التوالى.

حقل الميل (ويُسمى أيضًا حقل الاتجاه [ 1 ] ) هو تمثيل بياني لحلول معادلة تفاضلية من الدرجة الأولى [ 2 ] لدالة قياسية. حلول حقل الميل هي دوال مرسومة كمنحنيات متصلة. يُظهر حقل الميل ميل المعادلة التفاضلية عند فترات رأسية وأفقية محددة على المستوى xy، ويمكن استخدامه لتحديد ميل المماس التقريبي عند نقطة على منحنى، حيث يمثل المنحنى أحد حلول المعادلة التفاضلية.

تعريف

الحالة القياسية

يمكن تعريف حقل الميل لأنواع المعادلات التفاضلية التالية

y′=و(x،y)،{\displaystyle y'=f(x,y),}

والتي يمكن تفسيرها هندسياً على أنها تعطي ميل المماس لمنحنى حل المعادلة التفاضلية ( المنحنى التكاملي ) عند كل نقطة ( x ، y ) كدالة لإحداثيات النقطة. [ 3 ]

يمكن اعتبارها طريقة إبداعية لرسم دالة ذات قيم حقيقية لمتغيرين حقيقيينو(x،y){\displaystyle f(x,y)}كصورة مستوية. تحديدًا، بالنسبة لزوج معينx،y{\displaystyle x,y}متجه ذو مكونات[1،و(x،y)]{\displaystyle [1,f(x,y)]}يتم رسمها عند النقطةx،y{\displaystyle x,y}علىx،y{\displaystyle x,y}المستوى. أحيانًا، المتجه[1،و(x،y)]{\displaystyle [1,f(x,y)]}يتم توحيدها لجعل الرسم البياني يبدو أفضل للعين البشرية. مجموعة من الأزواجx،y{\displaystyle x,y}يُستخدم عادةً إنشاء شبكة مستطيلة للرسم.

يُستخدم منحنى التساوي (سلسلة من الخطوط ذات الميل نفسه) غالبًا لتكملة حقل الميل. في معادلة من الشكلy′=و(x،y){\displaystyle y'=f(x,y)}، خط التساوي هو خط فيx،y{\displaystyle x,y}المستوى - الذي تم الحصول عليه عن طريق ضبطو(x،y){\displaystyle f(x,y)}يساوي ثابتًا.

الحالة العامة لنظام المعادلات التفاضلية

بالنظر إلى نظام من المعادلات التفاضلية ،

دx1دت=و1(ت،x1،x2،...،xن)دx2دت=و2(ت،x1،x2،...،xن)⋮دxندت=ون(ت،x1،x2،...،xن){\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx_{1}}{dt}}&=f_{1}(t,x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\\{\frac {dx_{2}}{dt}}&=f_{2}(t,x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\\&\;\;\vdots \\{\frac {dx_{n}}{dt}}&=f_{n}(t,x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\end{aligned}}}

حقل الميل هو مصفوفة من علامات الميل في فضاء الطور (بأي عدد من الأبعاد اعتمادًا على عدد المتغيرات ذات الصلة؛ على سبيل المثال، اثنان في حالة معادلة تفاضلية خطية من الدرجة الأولى ، كما هو موضح على اليمين). تتمركز كل علامة ميل عند نقطة(ت،x1،x2،...،xن){\displaystyle (t,x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}وهو موازٍ للمتجه

(1و1(ت،x1،x2،...،xن)و2(ت،x1،x2،...،xن)⋮ون(ت،x1،x2،...،xن)).{\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\f_{1}(t,x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\\f_{2}(t,x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\\\vdots \\f_{n}(t,x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\end{pmatrix}}.}

يمكن أن يكون عدد علامات الميل وموقعها وطولها عشوائيًا. وعادةً ما يتم اختيار المواقع بحيث تكون النقاط(ت،x1،x2،...،xن){\displaystyle (t,x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}قم بإنشاء شبكة منتظمة. تمثل الحالة القياسية، الموضحة أعلاه،ن=1{\displaystyle n=1}إن الحالة العامة لحقل الميل لأنظمة المعادلات التفاضلية ليست سهلة التصور بالنسبة لـن>2{\displaystyle n>2}.

تطبيق عام

بفضل الحواسيب، يُمكن إنشاء حقول منحدرات معقدة بسرعة ودون عناء، ولذا فإن التطبيق العملي الوحيد لها في الآونة الأخيرة هو استخدامها فقط لفهم شكل الحل الأمثل قبل البحث عن حل عام صريح. بالطبع، يُمكن للحواسيب أيضاً إيجاد حل إذا وُجد.

إذا لم يكن هناك حل عام صريح، يمكن للحواسيب استخدام حقول الميل (حتى لو لم تكن معروضة) لإيجاد حلول بيانية عددية. ومن أمثلة هذه الطرق طريقة أويلر ، أو الأفضل منها، طرق رونج-كوتا .

برنامج لرسم حقول المنحدرات

يمكن لبرامج مختلفة رسم حقول الانحدار.

كود حقل الاتجاه في GNU Octave / MATLAB

funn = @( x , y ) y - x ; % دالة f (x, y) = yx [ x , y ] = meshgrid ( -5 : 0.5 : 5 ); % فترات x و y slopes = funn ( x , y ); % مصفوفة قيم الميل dy = slopes ./sqrt(1 + slopes .^ 2 ); % تطبيع عنصر الخط... dx = ones ( length ( dy )) ./sqrt(1 + slopes .^ 2 ) ; % ...مقادير dy و dx h = quiver ( x , y , dx , dy , 0.5 ) ; % رسم حقل الاتجاه set ( h , "maxheadsize" , 0.1 ) ; % تغيير حجم الرأس

مثال برمجي لبرنامج ماكسيما

/* حقل لـ y'=xy (انقر على نقطة للحصول على منحنى تكاملي). يتطلب Plotdf برنامج Xmaxima */ مؤامرة (x*y, [x,-2,2], [y,-2,2]);

مثال برمجي لبرنامج Mathematica

(* حقل لـ y'=xy *) VectorPlot [{ 1 , x * y },{ x , -2 , 2 },{ y , -2 , 2 }]

مثال برمجي لـ SageMath

المصدر: [ 4 ]

var('x,y') plot_slope_field(x*y, (x,0,-5), (y,-5,5))

أمثلة

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ بويس، ويليام (2001). المعادلات التفاضلية الأولية ومسائل القيم الحدية (  الطبعة السابعة). وايلي. ص  3. ISBN 9780471319993.
  2. ↑ فلاديمير أ. دوبروشكين (2014). المعادلات التفاضلية التطبيقية: الدورة التمهيدية . دار نشر سي آر سي. ص 13. ISBN  978-1-4987-2835-5.
  3. ↑ أندريه د. بوليانين؛ ألكسندر ف. مانجيروف (2006). دليل الرياضيات للمهندسين والعلماء . مطبعة سي آر سي. ص 453. ISBN  978-1-58488-502-3.
  4. ↑ "رسم الحقول - دليل مرجعي لبرنامج Sage 9.4: الرسومات ثنائية الأبعاد" .

فهرس

  • بلانشارد، بول؛ ديفاني، روبرت ل .؛ وهال، جلين ر. (2002). المعادلات التفاضلية (الطبعة الثانية). بروكس/كول: تومسون ليرنينج. ISBN 0-534-38514-1