نظرية سلوتسكي

في نظرية الاحتمالات ، تعمل نظرية سلوتسكي على توسيع بعض خصائص العمليات الجبرية على المتتاليات المتقاربة من الأعداد الحقيقية إلى متتاليات المتغيرات العشوائية . ^{[ 1 ]}

سُميت النظرية نسبةً إلى يوجين سلوتسكي . ^{[ 2 ]} كما تُنسب نظرية سلوتسكي إلى هارالد كرامر . ^{[ 3 ]}

يترك${\displaystyle X_{n},Y_{n}}$لتكن متواليات من عناصر عشوائية عددية/متجهة/مصفوفية . إذا ${\displaystyle X_{n}}$يتقارب التوزيع إلى عنصر عشوائي${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y_{n}}$يتقارب احتماليًا إلى قيمة ثابتة${\displaystyle c}$، ثم

• ${\displaystyle X_{n}+Y_{n}\ {\xrightarrow {d}}\ X+c;}$
• ${\displaystyle X_{n}Y_{n}\ \xrightarrow {d} \ Xc;}$
• ${\displaystyle X_{n}/Y_{n}\ {\xrightarrow {d}}\ X/c,}$ بشرط أن تكون قيمة c غير صفرية،

أين${\displaystyle {\xrightarrow {d}}}$يشير إلى التقارب في التوزيع .

ملحوظات:

1. يُعدّ شرط تقارب Y _n إلى قيمة ثابتة شرطًا مهمًا، فإذا تقاربت إلى متغير عشوائي غير منحل، فإن النظرية لن تكون صالحة. على سبيل المثال، لنفترض${\displaystyle X_{n}\sim {\rm {Uniform}}(0,1)}$و${\displaystyle Y_{n}=-X_{n}}$المجموع${\displaystyle X_{n}+Y_{n}=0}$لجميع قيم n . علاوة على ذلك،${\displaystyle Y_{n}\,\xrightarrow {d} \,{\rm {Uniform}}(-1,0)}$، لكن${\displaystyle X_{n}+Y_{n}}$لا يتقارب في التوزيع إلى${\displaystyle X+Y}$، أين${\displaystyle X\sim {\rm {Uniform}}(0,1)}$،${\displaystyle Y\sim {\rm {Uniform}}(-1,0)}$، و${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$مستقلة. ^{[ 4 ]}
2. تظل النظرية صالحة إذا استبدلنا جميع التقاربات في التوزيع بالتقاربات في الاحتمال.

تستنتج هذه النظرية من حقيقة أنه إذا تقارب X _n في التوزيع إلى X وتقارب Y _n في الاحتمال إلى ثابت c ، فإن المتجه المشترك ( X _n ، Y _n ) يتقارب في التوزيع إلى ( X ، c ) ( انظر هنا ). 

بعد ذلك نطبق نظرية التطبيق المستمر ، وندرك أن الدوال g ( x , y )  = x + y ، g ( x , y ) = xy ، و g ( x , y ) = x y ⁻¹ متصلة (لكي تكون الدالة الأخيرة متصلة، يجب أن تكون y قابلة للعكس).       

• تقارب المتغيرات العشوائية

• كاسيلا، جورج ؛ بيرغر، روجر ل. (2001). الاستدلال الإحصائي . باسيفيك غروف: دوكسبوري. ص 240-245 . ISBN  0-534-24312-6.
• غريمت، جي.؛ ستيرزاكر، دي. (2001). الاحتمالات والعمليات العشوائية (  الطبعة الثالثة). أكسفورد.
• هاياشي، فوميو (2000). الاقتصاد القياسي . مطبعة جامعة برينستون. ص 92-93 . ISBN  0-691-01018-8.