هيكل أملس

الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، يسمح وجود بنية ملساء على سطح متعدد الشعب بمفهوم واضح للدالة الملساء . وعلى وجه الخصوص، تسمح البنية الملساء بإجراء التحليل الرياضي على سطح متعدد الشعب. [ 1 ]

تعريف

بنية ملساء على سطح متعدد الشعبم{\displaystyle M}هي مجموعة من الأطالس الملساء المتكافئة بسلاسة. هنا، أطلس أملس لمتشعب طوبولوجيم{\displaystyle M}هو أطلس لـم{\displaystyle M}بحيث تكون كل دالة انتقال عبارة عن خريطة سلسة ، وأطلسان سلسان لـم{\displaystyle M}تكون متكافئة بسلاسة بشرط أن يكون اتحادها أطلسًا سلسًا لـم.{\displaystyle M.}وهذا يعطي علاقة تكافؤ طبيعية على مجموعة الأطالس الملساء.

المتشعب الأملس هو متشعب طوبولوجيم{\displaystyle M}بالإضافة إلى بنية ناعمة علىم.{\displaystyle M.}

أطالس سلسة للغاية

بجمع جميع الأطالس التي تنتمي إلى بنية سلسة، نحصل على أطلس سلس أقصى . يحتوي هذا الأطلس على كل خريطة متوافقة مع البنية السلسة. ثمة تطابق طبيعي تام بين البنى السلسة والأطالس السلسة القصوى. لذا، يمكننا اعتبار البنية السلسة أطلسًا سلسًا أقصى، والعكس صحيح.

بشكل عام، تُعدّ العمليات الحسابية باستخدام أطلس أقصى لمتشعب ما معقدة للغاية. في معظم التطبيقات، يكفي اختيار أطلس أصغر. على سبيل المثال، إذا كان المتشعب مضغوطًا ، فيمكن إيجاد أطلس يحتوي على عدد محدود من المخططات.

تكافؤ الهياكل الملساء

لوμ{\displaystyle \mu }وν{\displaystyle \nu }يوجد أطلسان رئيسيان علىم{\displaystyle M}الهيكلان الأملسان المرتبطان بـμ{\displaystyle \mu }وν{\displaystyle \nu }يُقال إنها متكافئة إذا كان هناك تماثل تفاضليو:م→م{\displaystyle f:M\to M}بحيثμ∘و=ν.{\displaystyle \mu \circ f=\nu .}

عوالم غريبة

أثبت جون ميلنور في عام 1956 أن الكرة ذات الأبعاد السبعة تسمح بوجود بنية ملساء لا تُكافئ البنية الملساء القياسية. وتُسمى الكرة المزودة ببنية ملساء غير قياسية بالكرة الغريبة .

مشعب E8

يُعدّ فضاء E8 مثالاً على فضاء طوبولوجي لا يقبل بنية ملساء. وهذا يُثبت أساساً أن نظرية روخلين تنطبق فقط على البنى الملساء، وليس على الفضاءات الطوبولوجية بشكل عام.

يمكن تخفيف متطلبات السلاسة على دوال الانتقال، بحيث لا يُشترط سوى أن تكون خرائط الانتقالك{\displaystyle k}قابلة للتفاضل باستمرار مرات؛ أو مُعززة، بحيث يُشترط أن تكون دوال الانتقال تحليلية حقيقية. وبناءً على ذلك، يُعطي هذاجك{\displaystyle C^{k}}أو بنية تحليلية (حقيقية) على المتشعب بدلاً من بنية ملساء. وبالمثل، يمكن تعريف بنية معقدة باشتراط أن تكون خرائط الانتقال هولومورفية.

انظر أيضاً

  • إطار سلس – تعميم لقاعدة مرتبة لفضاء متجهي. صفحات تعرض أوصافًا موجزة لأهداف إعادة التوجيه. 
  • الأطلس (الطوبولوجيا) - مجموعة من المخططات التي تصف فضاءً متعدد الأبعاد 

مراجع

  1. ↑ كالهان، جيمس ج. (1974). "التفردات والخرائط المستوية" . المجلة الأمريكية للرياضيات الشهرية . 81 (3): 211-240 . doi : 10.2307/2319521 . JSTOR 2319521 . 
  • هيرش، موريس (1976). الطوبولوجيا التفاضلية . سبرينغر-فيرلاغ. ISBN 3-540-90148-5.
  • لي، جون م. (2006). مقدمة في المشعبات الملساء . سبرينغر-فيرلاغ. ISBN 978-0-387-95448-6.
  • سيبانسكي، مارك ر. (2007). زمر لي المدمجة . سبرينغر-فيرلاغ. ISBN 978-0-387-30263-8.