إطار متحرك

الموسوعة الحرة
إطار فرينيه -سيريه على منحنى هو أبسط مثال على الإطار المتحرك.

في الرياضيات ، الإطار المتحرك هو تعميم مرن لمفهوم إطار الإحداثيات ( أساس مرتب لفضاء متجهي ، بالاقتران مع نقطة أصل ) والذي يستخدم غالبًا لدراسة الهندسة التفاضلية الخارجية للمشعبات الملساء المضمنة في فضاء متجانس .

مقدمة

ببساطة، الإطار المرجعي هو نظام من قضبان القياس يستخدمه الراصد لقياس الفضاء المحيط به من خلال تحديد الإحداثيات . أما الإطار المتحرك فهو إطار مرجعي يتحرك مع الراصد على طول مسار ( منحنى ). في هذا المثال البسيط، تسعى طريقة الإطار المتحرك إلى إنتاج إطار متحرك "مُفضّل" انطلاقًا من الخصائص الحركية للراصد. في سياق هندسي، حُلّت هذه المسألة في منتصف القرن التاسع عشر على يد جان فريدريك فرينيه وجوزيف ألفريد سيريه . [ 1 ] إطار فرينيه -سيريه هو إطار متحرك مُعرّف على منحنى ، ويمكن إنشاؤه انطلاقًا من سرعة المنحنى وتسارعه فقط. [ 2 ]

يلعب إطار فرينيه-سيريه دورًا محوريًا في الهندسة التفاضلية للمنحنيات ، مما يؤدي في نهاية المطاف إلى تصنيف شبه كامل للمنحنيات الملساء في الفضاء الإقليدي حتى التطابق . [ 3 ] تُظهر صيغ فرينيه -سيريه وجود زوج من الدوال المعرفة على المنحنى، وهما الالتواء والانحناء ، واللتان تُستنتجان من تفاضل الإطار، وتصفان بدقة كيفية تطور الإطار مع الزمن على طول المنحنى. ومن السمات الرئيسية لهذه الطريقة العامة أن الإطار المتحرك المفضل، إن أمكن إيجاده، يُعطي وصفًا حركيًا كاملًا للمنحنى.

مجسم داربو ثلاثي الأوجه، يتكون من نقطة P ، وثلاثية من متجهات الوحدة المتعامدة e 1 و e 2 و e 3 والتي تتكيف مع سطح بمعنى أن P تقع على السطح، و e 3 عمودي على السطح.

في أواخر القرن التاسع عشر، درس غاستون داربو مشكلة إنشاء إطار متحرك مفضل على سطح في الفضاء الإقليدي بدلاً من منحنى، وهو إطار داربو (أو الإطار المتحرك الثلاثي كما كان يُسمى آنذاك). وقد تبين أنه من المستحيل عمومًا إنشاء مثل هذا الإطار، وأن هناك شروطًا للتكامل يجب استيفاؤها أولاً. [ 1 ]

لاحقًا، طُوِّرت الأطر المتحركة على نطاق واسع من قِبَل إيلي كارتان وآخرين في دراسة الفضاءات الفرعية للفضاءات المتجانسة الأكثر عمومية (مثل الفضاء الإسقاطي ). في هذا السياق، ينقل الإطار الفكرة الهندسية لأساس الفضاء المتجهي إلى أنواع أخرى من الفضاءات الهندسية ( هندسة كلاين ). ومن أمثلة الأطر: [ 3 ]

في كل مثال من هذه الأمثلة، تكون مجموعة جميع الإطارات متجانسة بمعنى ما. ففي حالة الإطارات الخطية، على سبيل المثال، يرتبط أي إطارين بعنصر من المجموعة الخطية العامة . أما الإطارات الإسقاطية فترتبط بالمجموعة الخطية الإسقاطية . هذا التجانس، أو التناظر، لفئة الإطارات يجسد الخصائص الهندسية للمشهد الخطي، أو الأفيني، أو الإقليدي، أو الإسقاطي. الإطار المتحرك، في هذه الظروف، هو ببساطة إطار يتغير من نقطة إلى أخرى.

بصورة رسمية، يتكون الإطار على فضاء متجانس G / H من نقطة في الحزمة التكرارية G → G / H . الإطار المتحرك هو مقطع من هذه الحزمة. وهو متحرك بمعنى أنه مع تغير نقطة القاعدة، يتغير الإطار في الليف بمقدار عنصر من زمرة التناظر G. الإطار المتحرك على متشعب فرعي M من G / H هو مقطع من سحب الحزمة التكرارية إلى M. جوهريًا [ 5 ] ، يمكن تعريف إطار متحرك على حزمة رئيسية P فوق متشعب. في هذه الحالة، يُعطى الإطار المتحرك بواسطة تطبيق متغير G-  المتكافئ φ : P → G ، وبالتالي يؤطر المتشعب بعناصر من زمرة لي G.

يمكن توسيع مفهوم الأطر ليشمل حالةً أعم: إذ يُمكن " لحام " حزمة ألياف على سطح مستوٍ ، بحيث تتصرف الألياف كما لو كانت مماسية. عندما تكون حزمة الألياف فضاءً متجانسًا، فإن هذا يؤول إلى حقل الإطار الموصوف أعلاه. وعندما يكون الفضاء المتجانس خارج قسمة مجموعات متعامدة خاصة ، فإن هذا يؤول إلى المفهوم القياسي للأربعة عناصر .

على الرغم من وجود فرق شكلي جوهري بين الأطر المتحركة الخارجية والداخلية، إلا أنهما متشابهان في كون الإطار المتحرك يُعطى دائمًا بواسطة دالة على G. وتتمثل استراتيجية طريقة كارتان للأطر المتحركة ، كما هو موضح بإيجاز في طريقة كارتان للتكافؤ ، في إيجاد إطار متحرك طبيعي على المتشعب، ثم حساب مشتق داربو الخاص به ، أي سحب صيغة ماورر-كارتان لـ G إلى M (أو P )، وبالتالي الحصول على مجموعة كاملة من الثوابت البنيوية للمتشعب. [ 3 ]

طريقة الإطار المتحرك

وضع كارتان (1937) التعريف العام للإطار المتحرك وطريقة الإطار المتحرك، كما فصّلها ويل (1938) . عناصر النظرية هي

  • مجموعة أكاذيب G.​
  • فضاء كلاين X الذي تكون مجموعة التشاكلات الهندسية الخاصة به هي G.
  • مشعب أملس Σ يعمل كمساحة إحداثيات (معممة) لـ X.
  • مجموعة من الإطارات ƒ يحدد كل منها دالة إحداثيات من X إلى Σ (يتم ترك الطبيعة الدقيقة للإطار غامضة في البديهيات العامة).

ثم يُفترض أن البديهيات التالية تنطبق على هذه العناصر:

  • يوجد تأثير جماعي حر ومتعدي للمجموعة G على مجموعة الإطارات: إنها فضاء متجانس رئيسي لـ G. على وجه الخصوص، لأي زوج من الإطارات ƒ و ƒ ′ ، يوجد انتقال فريد للإطار (ƒ→ƒ ′ ) في G محدد بالشرط (ƒ→ƒ ′ )ƒ  =  ƒ ′ .
  • بفرض وجود إطار ƒ ونقطة A  ∈ X ، توجد نقطة مرتبطة به x = ( A ,ƒ) تنتمي إلى Σ. هذا التطبيق المحدد بواسطة الإطار ƒ هو تقابل من نقاط X إلى نقاط Σ. يتوافق هذا التقابل مع قانون تركيب الإطارات بمعنى أن الإحداثي x ′ للنقطة A في إطار مختلف ƒ ′ ينشأ من ( A ,ƒ) بتطبيق التحويل (ƒ→ƒ ′ ). أي،   (أ،و′)=(و→و′)∘(أ،و).{\displaystyle (A,f')=(f\to f')\circ (A,f).}

تُعنى هذه الطريقة بالمتشعبات الفرعية المُعَلمة لـ X. وتُعتبر الاعتبارات محلية إلى حد كبير، لذا يُفترض أن يكون نطاق المعلمات مجموعة فرعية مفتوحة من R λ . وتُطبق تقنيات مختلفة قليلاً اعتمادًا على ما إذا كان المرء مهتمًا بالمتشعب الفرعي مع معلماته، أو بالمتشعب الفرعي حتى إعادة المعلمات.

تحريك إطارات المماس

أكثر حالات الإطار المتحرك شيوعًا هي حزمة الإطارات المماسية (وتسمى أيضًا حزمة الإطارات ) لمتشعب. في هذه الحالة، يتكون الإطار المماسي المتحرك على متشعب M من مجموعة من الحقول المتجهة e1 ، e2 ، ... ، en التي تشكل أساسًا للفضاء المماسي عند كل نقطة من مجموعة مفتوحة U ⊂ M.

لو(x1،x2،...،xن){\displaystyle (x^{1},x^{2},\dots ,x^{n})}إذا كان نظام إحداثيات على U ، فيمكن التعبير عن كل حقل متجه e j كتركيبة خطية لحقول متجهات الإحداثيات.∂∂xأنا{\textstyle {\frac {\partial }{\partial x^{i}}}}:هـج=∑أنا=1نأجأنا∂∂xأنا،{\displaystyle e_{j}=\sum _{i=1}^{n}A_{j}^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}},}حيث كلأجأنا{\displaystyle A_{j}^{i}}هي دالة على U. ويمكن اعتبار هذه مكونات مصفوفة.أ{\displaystyle A}تُعد هذه المصفوفة مفيدة لإيجاد التعبير الإحداثي للإطار المشترك المزدوج، كما هو موضح في القسم التالي.

الأطر المشتركة

يُحدد الإطار المتحرك إطارًا ثنائيًا أو إطارًا مشتركًا لحزمة الظل المشترك على U ، والذي يُسمى أحيانًا أيضًا إطارًا متحركًا. وهو عبارة عن مجموعة من n شكلًا هندسيًا سلسًا من الدرجة الأولى .

θ 1 ، θ 2 ، …, θ n

والتي تكون مستقلة خطيًا عند كل نقطة q في U. وعلى العكس من ذلك، بالنظر إلى مثل هذا الإطار المشترك، يوجد إطار متحرك فريد e 1 ، e 2 ، ...، e n يكون ثنائيًا له، أي أنه يحقق علاقة الازدواجية θ i ( e j ) = δ i j ، حيث δ i j هي دالة دلتا كرونكر على U.

لو(x1،x2،...،xن){\displaystyle (x^{1},x^{2},\dots ,x^{n})}إذا كان نظام إحداثيات على U ، كما في القسم السابق، فيمكن التعبير عن كل حقل متجه مشترك θ i كتركيبة خطية لحقول متجهات الإحداثيات المشتركةدxأنا{\displaystyle dx^{i}}:θأنا=∑ج=1نبجأنادxج،{\displaystyle \theta ^{i}=\sum _{j=1}^{n}B_{j}^{i}dx^{j},}حيث كلبجأنا{\displaystyle B_{j}^{i}}هي دالة على U. بما أندxأنا(∂∂xج)=دلتاجأنا{\textstyle dx^{i}\left({\frac {\partial }{\partial x^{j}}}\right)=\delta _{j}^{i}}يتحد التعبيران الإحداثيان أعلاه ليعطيا∑ك=1نبكأناأجك=دلتاجأنا{\textstyle \sum _{k=1}^{n}B_{k}^{i}A_{j}^{k}=\delta _{j}^{i}}فيما يتعلق بالمصفوفات، هذا يعني ببساطة أنأ{\displaystyle A}وب{\displaystyle B}هما معكوسان لبعضهما البعض.

في سياق الميكانيكا الكلاسيكية ، عند التعامل مع الإحداثيات الكنسية ، يُعطى الإطار الكنسي المشترك بواسطة الشكل التوتولوجي الأحادي . وبشكل بديهي، يربط هذا الشكل سرعات النظام الميكانيكي (المُعطاة بواسطة حقول متجهة على حزمة المماس للإحداثيات) بزخم النظام المقابل (المُعطى بواسطة حقول متجهة في حزمة المماس المشترك؛ أي المُعطى بواسطة الأشكال). يُعد الشكل التوتولوجي الأحادي حالة خاصة من شكل اللحام الأكثر عمومية ، والذي يُوفر حقل إطار (مشترك) على حزمة ألياف عامة .

الاستخدامات

تُعدّ الأطر المتحركة مهمة في النسبية العامة ، حيث لا توجد طريقة مُفضّلة لتوسيع نطاق اختيار الإطار عند حدثٍ ما (نقطة في الزمكان ، وهو فضاء متعدد الأبعاد ذو أربعة أبعاد) إلى نقاطٍ قريبة، ولذا يجب اتخاذ قرارٍ بشأنه. في المقابل، في النسبية الخاصة ، يُفترض أن M هو فضاء متجهي V (ذو أربعة أبعاد). في هذه الحالة ، يُمكن نقل الإطار عند النقطة p من p إلى أي نقطة أخرى q بطريقةٍ مُحدّدة. وبشكلٍ عام، يُقابل الإطار المتحرك مُراقباً، بينما تُمثّل الأطر المُميّزة في النسبية الخاصة مُراقبين قصوريين .

في النسبية والهندسة الريمانية ، يُعدّ الإطاران المتعامدان والمتعامدان المعياريان أكثر أنواع الأطر المتحركة فائدة ، أي الأطر التي تتكون من متجهات متعامدة (وحدة) عند كل نقطة. عند نقطة معينة p ، يمكن جعل إطار عام متعامدًا معياريًا عن طريق التعامد المعياري ؛ في الواقع، يمكن القيام بذلك بسلاسة، بحيث يستلزم وجود إطار متحرك وجود إطار متعامد معياري متحرك.

مزيد من التفاصيل

يوجد إطار متحرك محليًا دائمًا ، أي في جوار U لأي نقطة p في M ؛ ومع ذلك، فإن وجود إطار متحرك عالميًا على M يتطلب شروطًا طوبولوجية . على سبيل المثال، عندما تكون M دائرة ، أو بشكل أعم ، طارة ، توجد مثل هذه الأطر؛ ولكن ليس عندما تكون M كرة ثنائية الأبعاد . يُطلق على المتشعب الذي يمتلك إطارًا متحركًا عالميًا اسم المتشعب القابل للتوازي . لاحظ، على سبيل المثال ، كيف تتفكك اتجاهات الوحدة لخطوط العرض والطول على سطح الأرض إلى إطار متحرك عند القطبين الشمالي والجنوبي.

تعتمد طريقة الأطر المتحركة لإيلي كارتان على اختيار إطار متحرك مُكيَّف مع المسألة المدروسة. فعلى سبيل المثال، عند وجود منحنى في الفضاء، يمكن للمتجهات المشتقة الثلاثة الأولى لهذا المنحنى أن تُحدد إطارًا عند نقطة منه (انظر موتر الالتواء للحصول على وصف كمي - يُفترض هنا أن الالتواء لا يساوي صفرًا). في الواقع، في طريقة الأطر المتحركة، غالبًا ما يتم التعامل مع الأطر المساعدة بدلًا من الأطر. وبشكل أعم، يمكن النظر إلى الأطر المتحركة على أنها مقاطع من الحزم الرئيسية فوق المجموعات المفتوحة U. وتستغل طريقة كارتان العامة هذا التجريد باستخدام مفهوم اتصال كارتان .

الأطالس

في كثير من الحالات، يستحيل تحديد إطار مرجعي واحد صالح عالميًا. وللتغلب على هذه المشكلة، تُجمع الإطارات عادةً لتشكيل أطلس ، ومن ثمّ نصل إلى مفهوم الإطار المحلي . إضافةً إلى ذلك، يُستحسن غالبًا تزويد هذه الأطالس ببنية سلسة ، بحيث تكون حقول الإطار الناتجة قابلة للتفاضل.

التعميمات

على الرغم من أن هذه المقالة تبني حقول الإطار كنظام إحداثيات على الحزمة المماسية لمتشعب ، إلا أن الأفكار العامة تنتقل بسهولة إلى مفهوم الحزمة المتجهة ، وهي متشعب مزود بفضاء متجه عند كل نقطة، ويكون هذا الفضاء المتجه اختياريًا، ولا يرتبط بشكل عام بالحزمة المماسية.

التطبيقات

المحاور الرئيسية للدوران في الفضاء.

تُستخدم الإطارات الثابتة للجسم على نطاق واسع في ميكانيكا الأجسام الصلبة . ويمكن التعبير عن مناورات الطائرات بدلالة الإطار المتحرك ( المحاور الرئيسية للطائرة ) عند وصفها من قبل الطيار.

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. 1 2 تشيرن 1985
  2. ↑ دي جيه ستريك ، محاضرات في الهندسة التفاضلية الكلاسيكية ، ص 18
  3. 1 2 3 غريفيثس 1974
  4. ↑ "إطار أفيني" Proofwiki.org
  5. ↑ انظر كارتان (1983) 9.I؛ الملحق 2 (بقلم هيرمان) لحزمة الأطر المماسية. انظر فيلز وأولفر (1998) لحالة التليفات الأكثر عمومية. انظر غريفيث (1974) لحالة الأطر على الحزمة الرئيسية التكرارية لفضاء متجانس.

مراجع