مشكلة التنعيم (العمليات العشوائية)

مشكلة التنعيم (لا ينبغي الخلط بينها وبين التنعيم في الإحصاء ومعالجة الصور وغيرها من السياقات) هي مشكلة تقدير دالة كثافة احتمالية غير معروفة بشكل متكرر مع مرور الوقت باستخدام قياسات واردة متزايدة. وهي إحدى المشكلات الرئيسية التي حددها نوربرت وينر . ^{[ 1 ] [ 2 ]} المُنعِّم هو خوارزمية تُنفِّذ حلاً لهذه المشكلة، وعادةً ما تعتمد على التقدير البايزي المتكرر . ترتبط مشكلة التنعيم ارتباطًا وثيقًا بمشكلة الترشيح ، وكلاهما يُدرس في نظرية التنعيم البايزي.

غالبًا ما تكون عملية التنعيم عملية ثنائية المراحل، تتألف من مراحل أمامية وخلفية. لنفترض أننا نقوم بتقدير (تنبؤ/استدلال رجعي) عملية جارية (مثل تتبع صاروخ) بناءً على البيانات الواردة. عند وصول بيانات جديدة، يجب تحديث التقديرات المتعلقة بالماضي للحصول على تقدير أكثر سلاسة (دقة) للمسار المقدر بالكامل حتى الآن (مع الأخذ في الاعتبار البيانات الأحدث). بدون مرحلة خلفية (للاستدلال الرجعي )، لا يبدو تسلسل التنبؤات في خوارزمية الترشيح الفوري سلسًا. بعبارة أخرى، عند النظر إلى الماضي، يبدو الأمر كما لو أننا نستخدم بيانات مستقبلية لتحسين تقدير نقطة في الماضي، عندما تصبح تلك البيانات المتعلقة بالنقاط المستقبلية متاحة. تجدر الإشارة إلى أن وقت التقدير (الذي يحدد البيانات المتاحة) قد يختلف عن وقت النقطة التي يتعلق بها التنبؤ (أي، الخاضعة للتنبؤ/الاستدلال الرجعي). يمكن استخدام البيانات المتعلقة بالأوقات اللاحقة لتحديث وتحسين التقديرات المتعلقة بالأوقات السابقة. ويؤدي ذلك إلى تقديرات أكثر سلاسة (التنبؤ الرجعي) حول المسار بأكمله.

تتضمن بعض المتغيرات ما يلي: ^{[ 3 ]}

• راوخ تونغ ستريبل (RTS) أكثر سلاسة
• مُنعِّمات غاوسية (مثل مُنعِّم كالمان الموسع أو مُنعِّمات نقطة سيجما) لنماذج فضاء الحالة غير الخطية.
• أجهزة تنعيم الجسيمات

تُستخدم مصطلحات التنعيم والتصفية لأربعة مفاهيم قد تكون مربكة في البداية: التنعيم (بمعنيين: التقدير والالتفاف)، والتصفية (مرة أخرى بمعنيين: التقدير والالتفاف).

على الرغم من استخدام مصطلحي "التنعيم (التقدير)" و"التنعيم (الالتفاف)" بنفس الاسم في اللغة الإنجليزية، إلا أنهما قد يشيران إلى إجراءات رياضية مختلفة تمامًا. وتختلف متطلبات المشكلات التي يحلها كل منهما. ويتم التمييز بين هذين المفهومين من خلال السياق (معالجة الإشارات مقابل تقدير العمليات العشوائية).

يكمن السبب التاريخي لهذا الالتباس في أن مرشح "التنعيم" الذي اقترحه وينر في البداية كان مجرد عملية التفاف. لاحقًا، فصلت حلوله المقترحة للحصول على تقدير أكثر سلاسة بين مفهومين متميزين. الأول يتعلق بتحقيق تقدير أكثر سلاسة من خلال مراعاة الملاحظات السابقة، والآخر بالتنعيم باستخدام تصميم مرشح (تصميم مرشح التفاف).

كثيرًا ما يُخلط بين مشكلة التنعيم (بمعنى التقدير) ومشكلة الترشيح (بمعنى التقدير) وبين التنعيم والترشيح في سياقات أخرى (خاصةً في معالجة الإشارات غير العشوائية، حيث يُشار غالبًا إلى أنواع مختلفة من الالتفاف). وقد استُخدمت هذه المصطلحات في سياق الحرب العالمية الثانية مع مشاكل صاغها علماء مثل نوربرت وينر . ^{[ 1 ] [ 2 ]} أحد مصادر الالتباس هو أن مرشح وينر يأتي على شكل التفاف بسيط. مع ذلك، في مرشح وينر، تُعطى سلسلتان زمنيتان. عند تعريف المرشح، يكون الالتفاف المباشر هو الحل. لكن في التطورات اللاحقة، مثل ترشيح كالمان، تختلف طبيعة الترشيح عن الالتفاف، مما يستدعي تسمية مختلفة.

يتم وصف هذا التمييز بالمعنيين التاليين:

1. الالتفاف: يُعدّ التنعيم بمفهوم الالتفاف أبسط. على سبيل المثال، المتوسط ​​المتحرك، والترشيح التمريري المنخفض، والالتفاف باستخدام نواة، أو التمويه باستخدام مرشحات لابلاس في معالجة الصور . غالبًا ما يُمثّل هذا مشكلة في تصميم المرشحات ، لا سيما في معالجة الإشارات غير العشوائية وغير البايزية، والتي لا تحتوي على أي متغيرات خفية.

٢. التقدير: تستخدم مسألة التنعيم (أو التنعيم بمعنى التقدير) نماذج بايزية ونماذج فضاء الحالة لتقدير متغيرات الحالة الخفية. وقد استُخدم هذا في سياق الحرب العالمية الثانية، كما حدده علماء مثل نوربرت وينر، وفي نظرية التحكم (العشوائي)، والرادار، وكشف الإشارات، والتتبع، وغيرها. وأكثر استخداماته شيوعًا هو مُنعِّم كالمان المُستخدم مع مرشح كالمان، والذي طوّره راوخ. تُسمى هذه العملية بتكرار كالمان-راوخ. وهي إحدى المسائل الرئيسية التي حلّها نوربرت وينر . ^{[ ١ ] [ ٢ ]} والأهم من ذلك، في مسألة الترشيح (بالمعنى الثاني)، تُستخدم المعلومات من الملاحظة حتى وقت العينة الحالية. أما في التنعيم (أيضًا بالمعنى الثاني)، فتُستخدم جميع عينات الملاحظة (من المستقبل). الترشيح سببي، بينما التنعيم هو معالجة دفعية لنفس المسألة، أي تقدير عملية سلسلة زمنية بناءً على ملاحظات تزايدية متسلسلة.

لكن عمليات التنعيم والتصفية المعتادة والأكثر شيوعًا (بالمعنى 1.) لا يوجد بها مثل هذا التمييز لأنه لا يوجد تمييز بين المخفي والملاحظ.

الفرق بين التنعيم (التقدير) والترشيح (التقدير): في التنعيم، تُستخدم جميع عينات الملاحظات (من المستقبل). الترشيح عملية سببية، بينما التنعيم معالجة دفعية للبيانات المعطاة. الترشيح هو تقدير لعملية سلسلة زمنية (خفية) بناءً على ملاحظات متزايدة متسلسلة.

• مشكلة في التصفية
• مرشح (معالجة الإشارات)
• مرشح كالمان ، خوارزمية ترشيح معروفة ترتبط بكل من مشكلة الترشيح ومشكلة التنعيم
• الترشيح المعمم
• التنعيم