مرشح (معالجة الإشارات)

في معالجة الإشارات ، يُعدّ المرشح جهازًا أو عمليةً تُزيل بعض المكونات أو الخصائص غير المرغوب فيها من الإشارة . والتصفية هي إحدى فئات معالجة الإشارات ، وتتمثل السمة المميزة للمرشحات في الحجب الكلي أو الجزئي لبعض جوانب الإشارة. في أغلب الأحيان، يعني هذا إزالة بعض الترددات أو نطاقات التردد. ومع ذلك، لا تقتصر وظيفة المرشحات على مجال التردد فقط ؛ ففي مجال معالجة الصور تحديدًا ، توجد العديد من الأهداف الأخرى للتصفية. ويمكن إزالة الارتباطات لبعض مكونات التردد دون غيرها دون الحاجة إلى العمل في مجال التردد. وتُستخدم المرشحات على نطاق واسع في الإلكترونيات والاتصالات ، وفي الراديو والتلفزيون وتسجيل الصوت والرادار وأنظمة التحكم وتوليف الموسيقى ومعالجة الصور ورسومات الحاسوب وديناميكيات الهياكل .

توجد أسس تصنيفية عديدة ومختلفة، وتتداخل هذه الأسس بطرق متنوعة؛ فلا يوجد تصنيف هرمي بسيط. قد تكون المرشحات كالتالي:

• غير خطي أو خطي
• متغير مع الزمن أو ثابت مع الزمن ، ويُعرف أيضاً بثبات الإزاحة. إذا كان المرشح يعمل في مجال مكاني، فإنّ الخاصية هي ثبات المكان.
• سببي أو غير سببي: يكون المرشح غير سببي إذا كان ناتجه الحالي يعتمد على مدخلات مستقبلية. يجب أن تكون المرشحات التي تعالج إشارات المجال الزمني في الوقت الحقيقي سببية، ولكن ليس المرشحات التي تعمل على إشارات المجال المكاني أو المعالجة المؤجلة لإشارات المجال الزمني.
• تناظري أو رقمي
• الزمن المنفصل (المأخوذ عينات منه) أو الزمن المستمر
• مرشح زمني مستمر من النوع السلبي أو النشط
• نوع الاستجابة النبضية اللانهائية (IIR) أو الاستجابة النبضية المحدودة (FIR) من مرشحات الوقت المنفصل أو المرشحات الرقمية.

ربما يكون مصطلح "الدائرة الخطية ذات الزمن المستمر" هو المعنى الأكثر شيوعًا لكلمة "مرشح" في مجال معالجة الإشارات التناظرية، وغالبًا ما يُستخدم مصطلح "مرشح" كمرادف لها. تُصمم هذه الدوائر عادةً لإزالة ترددات معينة والسماح بمرور ترددات أخرى. تتميز الدوائر التي تؤدي هذه الوظيفة باستجابتها الخطية ، أو على الأقل شبه الخطية. أي انحراف عن الخطية قد يؤدي إلى احتواء إشارة الخرج على مكونات ترددية غير موجودة في إشارة الدخل.

تُعرف منهجية التصميم الحديثة للمرشحات الخطية ذات الزمن المستمر باسم توليف الشبكة . ومن أهم عائلات المرشحات المصممة بهذه الطريقة ما يلي:

• مرشح تشيبيشيف ، لديه أفضل تقريب للاستجابة المثالية لأي مرشح لرتبة وتموج محددين.
• مرشح Butterworth ، يتميز باستجابة ترددية مسطحة إلى أقصى حد في نطاق التمرير.
• مرشح بيسل ، يتميز بتأخير طور مسطح للغاية في نطاق التمرير.
• يتميز المرشح الإهليلجي بأنه يتمتع بأعلى حد قطع من بين جميع المرشحات لترتيب وتموج محددين.

يكمن الاختلاف بين هذه العائلات من المرشحات في أنها جميعًا تستخدم دالة متعددة الحدود مختلفة لتقريب استجابة المرشح المثالية . وينتج عن ذلك أن لكل منها دالة نقل مختلفة .

هناك منهجية أخرى أقدم وأقل استخدامًا وهي طريقة معلمات الصورة . تُسمى المرشحات المصممة بهذه المنهجية قديمًا "مرشحات الموجة". ومن أهم المرشحات المصممة بهذه الطريقة ما يلي:

• مرشح ثابت k ، وهو الشكل الأصلي والأبسط لمرشح الموجة.
• مرشح مشتق من m ، وهو تعديل للثابت k مع تحسين حدة القطع ومطابقة المعاوقة .

مصطلحات

بعض المصطلحات المستخدمة لوصف وتصنيف المرشحات الخطية:

• يمكن تصنيف استجابة التردد إلى عدد من أشكال النطاقات المختلفة التي تصف نطاقات التردد التي يمررها المرشح ( نطاق التمرير ) والتي يرفضها ( نطاق الإيقاف ):
  • مرشح الترددات المنخفضة - يتم تمرير الترددات المنخفضة، ويتم تخفيف الترددات العالية. 
  • مرشح الترددات العالية - يتم تمرير الترددات العالية، ويتم تخفيف الترددات المنخفضة. 
  • مرشح تمرير النطاق - يتم تمرير الترددات الموجودة في نطاق تردد معين فقط. 
  • مرشح إيقاف النطاق أو مرشح رفض النطاق - يتم تخفيف الترددات الموجودة في نطاق التردد فقط. 
  • مرشح النطاق المحدد – يرفض ترددًا واحدًا محددًا فقط – مرشح إيقاف نطاق متطرف. 
  • مرشح مشط – يحتوي على نطاقات تمرير ضيقة متعددة متباعدة بانتظام مما يعطي شكل النطاق مظهر المشط. 
  • مرشح تمرير الكل - يتم تمرير جميع الترددات، ولكن يتم تعديل طور الإخراج. 
• تردد القطع هو التردد الذي لا يسمح المرشح بمرور الإشارات بعده. ويُقاس عادةً عند مستوى توهين محدد، مثل 3  ديسيبل.
• معدل التدهور هو المعدل الذي يزداد به التوهين بعد تردد القطع.
• نطاق الانتقال ، وهو نطاق الترددات (الضيق عادةً) بين نطاق التمرير ونطاق الإيقاف.
• التموج هو تغير في فقد الإدخال للمرشح في نطاق التمرير.
• رتبة المرشح هي درجة متعددة الحدود التقريبية ، وفي المرشحات السلبية، تُشير إلى عدد العناصر اللازمة لبنائه. زيادة الرتبة تُحسّن من استجابة الترددات المنخفضة وتجعل المرشح أقرب إلى الاستجابة المثالية.

يُعدّ استخدام المرشحات في الاتصالات السلكية واللاسلكية أحد أهم تطبيقاتها . تستخدم العديد من أنظمة الاتصالات تقنية تعدد الإرسال بتقسيم التردد ، حيث يقوم مصممو النظام بتقسيم نطاق ترددي واسع إلى نطاقات ترددية أضيق تُسمى "فتحات" أو "قنوات"، ويُخصص لكل تدفق معلومات إحدى هذه القنوات. يسعى مصممو المرشحات في كل جهاز إرسال واستقبال إلى تحقيق التوازن الأمثل بين تمرير الإشارة المطلوبة بدقة قدر الإمكان، والحدّ من التداخل الناتج عن أجهزة الإرسال الأخرى المتعاونة ومصادر الضوضاء الخارجية في النظام إلى أدنى حد ممكن، وذلك بتكلفة معقولة.

تتطلب أنظمة التعديل الرقمي متعددة المستويات ومتعددة المراحل مرشحات ذات تأخير طور مسطح - طور خطي في نطاق التمرير - للحفاظ على سلامة النبضة في المجال الزمني، ^{[ 1 ]} مما يقلل من التداخل بين الرموز مقارنة بأنواع المرشحات الأخرى.

من ناحية أخرى، يمكن لأنظمة الصوت التناظرية التي تستخدم الإرسال التناظري أن تتحمل تموجات أكبر بكثير في تأخير الطور ، ولذلك غالبًا ما يضحي مصممو هذه الأنظمة عمدًا بالطور الخطي للحصول على مرشحات أفضل من نواحٍ أخرى - رفض أفضل لنطاق التوقف، وتموج أقل في سعة نطاق التمرير، وتكلفة أقل، وما إلى ذلك.

يمكن بناء المرشحات باستخدام عدد من التقنيات المختلفة. ويمكن تحقيق دالة النقل نفسها بعدة طرق مختلفة، أي أن الخصائص الرياضية للمرشح متطابقة، بينما تختلف خصائصه الفيزيائية اختلافًا كبيرًا. غالبًا ما تكون المكونات في التقنيات المختلفة متماثلة تمامًا وتؤدي الدور نفسه في مرشحاتها. على سبيل المثال، تُقابل المقاومات والمحاثات والمكثفات في الإلكترونيات، على التوالي، المخمدات والكتل والزنبركات في الميكانيكا. وبالمثل، توجد مكونات مماثلة في مرشحات العناصر الموزعة .

• كانت المرشحات الإلكترونية في الأصل سلبية تمامًا، وتتكون من المقاومة والحث والسعة. أما التقنية النشطة فتسهل التصميم وتفتح آفاقًا جديدة في مواصفات المرشحات.
• تعمل المرشحات الرقمية على الإشارات المُمثلة بصيغة رقمية. ويكمن جوهر المرشح الرقمي في أنه يُنفذ مباشرةً خوارزمية رياضية، تُطابق دالة نقل المرشح المطلوبة، في برمجته أو شفرته الدقيقة.
• تُصنع المرشحات الميكانيكية من مكونات ميكانيكية. وفي أغلب الأحيان، تُستخدم لمعالجة الإشارات الإلكترونية، وتُزوَّد بمحولات طاقة لتحويل هذه الإشارات إلى اهتزازات ميكانيكية والعكس. ومع ذلك، توجد أمثلة على مرشحات صُممت للعمل كليًا في المجال الميكانيكي.
• تُصنع مرشحات العناصر الموزعة من مكونات مصنوعة من قطع صغيرة من خطوط النقل أو عناصر موزعة أخرى . توجد في هذه المرشحات هياكل تُطابق مباشرةً العناصر المجمعة في المرشحات الإلكترونية، وهياكل أخرى فريدة من نوعها في هذا النوع من التكنولوجيا.
• تتكون مرشحات الموجات الدليلية من مكونات الموجات الدليلية أو مكونات مُدرجة داخلها. تُعد الموجات الدليلية نوعًا من خطوط النقل، ويمكن أيضًا تطبيق العديد من هياكل مرشحات العناصر الموزعة، مثل مرشحات الوصلة الفرعية ، داخل الموجات الدليلية.
• طُوِّرت المرشحات الضوئية في الأصل لأغراض أخرى غير معالجة الإشارات، مثل الإضاءة والتصوير. ومع تطور تقنية الألياف الضوئية ، باتت المرشحات الضوئية تجد تطبيقات متزايدة في معالجة الإشارات، وبدأت مصطلحات مرشحات معالجة الإشارات، مثل مرشح التمرير الطويل ومرشح التمرير القصير ، بالظهور في هذا المجال.
• يعمل المرشح العرضي ، أو مرشح خط التأخير، عن طريق جمع نسخ من الإشارة المدخلة بعد فترات تأخير زمنية مختلفة. ويمكن تنفيذ ذلك باستخدام تقنيات متنوعة، بما في ذلك خطوط التأخير التناظرية ، والدوائر النشطة، وخطوط تأخير CCD ، أو بشكل كامل في المجال الرقمي.

المرشحات الرقمية

تتيح معالجة الإشارات الرقمية تصميم مجموعة واسعة من المرشحات بتكلفة منخفضة. تُؤخذ عينات من الإشارة، ثم يُحوّلها مُحوّل تناظري-رقمي إلى سلسلة من الأرقام. يقوم برنامج حاسوبي يعمل على وحدة المعالجة المركزية أو معالج الإشارات الرقمية المتخصص (أو في حالات أقل، يعمل على تطبيق مادي للخوارزمية ) بحساب سلسلة الأرقام الناتجة. يمكن تحويل هذه السلسلة إلى إشارة بتمريرها عبر مُحوّل رقمي-تناظري . توجد بعض المشاكل المتعلقة بالضوضاء الناتجة عن عمليات التحويل، ولكن يمكن التحكم بها والحد منها في العديد من المرشحات المفيدة. نظرًا لعملية أخذ العينات، يجب أن تكون إشارة الإدخال ذات محتوى ترددي محدود، وإلا سيحدث تشويه .

مرشحات الكوارتز والمواد الكهروإجهادية

في أواخر ثلاثينيات القرن العشرين، أدرك المهندسون أن الأنظمة الميكانيكية الصغيرة المصنوعة من مواد صلبة كالكوارتز قادرة على الرنين الصوتي عند ترددات الراديو، أي من الترددات المسموعة ( الصوت ) وصولاً إلى عدة مئات من الميغاهرتز. صُنعت بعض الرنانات المبكرة من الفولاذ ، لكن سرعان ما أصبح الكوارتز الخيار المفضل. تتمثل الميزة الأكبر للكوارتز في كونه كهرضغطياً ، ما يعني أن رنانات الكوارتز قادرة على تحويل حركتها الميكانيكية مباشرةً إلى إشارات كهربائية. كما يتميز الكوارتز بمعامل تمدد حراري منخفض للغاية، ما يسمح لرنانات الكوارتز بإنتاج ترددات مستقرة ضمن نطاق واسع من درجات الحرارة. تتمتع مرشحات بلورات الكوارتز بمعاملات جودة أعلى بكثير من مرشحات LCR. عند الحاجة إلى استقرار أعلى، يمكن تركيب البلورات ودوائر تشغيلها في " فرن بلوري " للتحكم في درجة الحرارة. أما بالنسبة لمرشحات النطاق الضيق جدًا، فيتم أحيانًا تشغيل عدة بلورات على التوالي.

يمكن دمج عدد كبير من البلورات في مكون واحد، وذلك بتثبيت طبقات معدنية متبخّرة على شكل مشط على بلورة كوارتز. في هذه الطريقة، يعمل " خط تأخير مُجزّأ " على تعزيز الترددات المطلوبة أثناء مرور الموجات الصوتية عبر سطح بلورة الكوارتز. وقد أصبح خط التأخير المُجزّأ أسلوبًا شائعًا لصنع مرشحات عالية الجودة (Q) بطرق عديدة.

تُعرَّف دالة نقل المرشح في أغلب الأحيان في مجال الترددات المركبة. ويتم الانتقال ذهابًا وإيابًا من وإلى هذا المجال بواسطة تحويل لابلاس ومعكوسه (لذلك، فيما يلي، يُفهم مصطلح "إشارة الإدخال" على أنه "تحويل لابلاس" للتمثيل الزمني لإشارة الإدخال، وهكذا).

دالة التحويل${\displaystyle H(s)}$نسبة إشارة الخرج للمرشح${\displaystyle Y(s)}$إلى إشارة الإدخال${\displaystyle X(s)}$كدالة للتردد المركب${\displaystyle s}$:

${\displaystyle H(s)={\frac {Y(s)}{X(s)}}}$

مع${\displaystyle s=\sigma +j\omega }$.

بالنسبة للمرشحات التي تتكون من مكونات منفصلة ( عناصر مجمعة ):

• ستكون دالة النقل الخاصة بهم هي نسبة كثيرات الحدود في${\displaystyle s}$أي دالة كسرية لـ${\displaystyle s}$ستكون رتبة دالة التحويل هي أعلى قوة لـ${\displaystyle s}$يُصادف في كثير الحدود البسط أو المقام.
• ستكون معاملات كثيرات الحدود في دالة التحويل حقيقية. لذلك، ستكون أقطاب وأصفار دالة التحويل إما حقيقية أو تظهر في أزواج من الأعداد المركبة المترافقة.
• بما أنه من المفترض أن تكون المرشحات مستقرة، فإن الجزء الحقيقي من جميع الأقطاب (أي أصفار المقام) سيكون سالبًا، أي أنها ستقع في النصف الأيسر من المستوى في فضاء التردد المركب.

لا تمتلك مرشحات العناصر الموزعة ، بشكل عام، دوال نقل ذات دالة كسرية، ولكن يمكنها تقريبها.

يتضمن بناء دالة التحويل تحويل لابلاس ، ولذلك يلزم افتراض شروط ابتدائية معدومة، لأن

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{{\frac {df}{dt}}\right\}=s\cdot {\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}-f(0),}$

وعندما تكون f (0)  =  0، يمكننا التخلص من الثوابت واستخدام التعبير المعتاد

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{{\frac {df}{dt}}\right\}=s\cdot {\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}}$

يتمثل أحد البدائل لدوال النقل في وصف سلوك المرشح على أنه التفاف بين إشارة الدخل في المجال الزمني واستجابة النبضة للمرشح . وتضمن نظرية الالتفاف ، التي تنطبق على تحويلات لابلاس، التكافؤ مع دوال النقل.

تصنيف

يمكن تحديد بعض المرشحات حسب نوعها ونطاق ترددها. تُحدد عائلة المرشح بواسطة متعددة الحدود التقريبية المستخدمة، وتؤدي كل منها إلى خصائص معينة لدالة نقل المرشح. فيما يلي بعض عائلات المرشحات الشائعة وخصائصها المميزة:

• مرشح باترورث – لا يوجد تموج في كسب نطاق التمرير ونطاق الإيقاف، قطع بطيء 
• مرشح تشيبيشيف (النوع الأول) - لا يوجد تموج في نطاق الإيقاف، قطع متوسط 
• مرشح تشيبيشيف (النوع الثاني) - لا يوجد تموج في نطاق التمرير، قطع معتدل 
• مرشح بيسل – لا يوجد تموج في تأخير المجموعة ، ولا يوجد تموج في الكسب في كلا النطاقين، وقطع كسب بطيء 
• مرشح إهليلجي – تموج في كسب نطاقي التمرير والإيقاف، قطع سريع 
• فلتر "L" الأمثل
• مرشح غاوسي – لا يوجد تموج استجابةً لدالة الخطوة 
• مرشح جيب التمام المرفوع

يمكن تحديد رتبة كل مجموعة من المرشحات. كلما زادت الرتبة، اقترب المرشح من المرشح "المثالي"، ولكن في المقابل، ازداد طول استجابة النبضة وزمن الكمون. يتميز المرشح المثالي بنقل كامل في نطاق التمرير، وتوهين كامل في نطاق الإيقاف، وانتقال حاد بين النطاقين، إلا أن رتبته لا نهائية (أي أن استجابته لا يمكن التعبير عنها بمعادلة تفاضلية خطية ذات مجموع محدود) وزمن كمون لا نهائي (أي أن نطاقه المحدود في تحويل فورييه يُجبر استجابته الزمنية على أن تكون دائمة).

هذه صورة توضح مقارنة بين مرشحات باترورث، تشيبيشيف، والمرشحات الإهليلجية. جميع المرشحات في هذه الصورة هي مرشحات تمرير منخفض من الرتبة الخامسة. لا فرق في طريقة التنفيذ - تناظرية أو رقمية، سلبية أو فعالة - إذ سيكون الناتج واحدًا. وكما هو واضح في الصورة، فإن المرشحات الإهليلجية أكثر حدة من غيرها، لكنها تُظهر تموجات في كامل نطاق التردد.  

يمكن استخدام أي عائلة من المرشحات لتنفيذ نطاق ترددي محدد، حيث تُنقل الترددات التي تُخفَّف بدرجات متفاوتة خارج نطاق التمرير. تحدد دالة النقل سلوك المرشح الخطي بشكل كامل، ولكنها لا تحدد التقنية المستخدمة لتنفيذه. بعبارة أخرى، توجد عدة طرق مختلفة لتحقيق دالة نقل معينة عند تصميم الدائرة. ويمكن الحصول على نطاق ترددي محدد للمرشح عن طريق تحويل نموذج أولي لمرشح من تلك العائلة.

تتخذ هياكل مطابقة المعاوقة عادةً شكل مرشح، أي شبكة من العناصر غير المبددة للطاقة. على سبيل المثال، في تطبيق إلكتروني سلبي، من المرجح أن تتخذ شكل بنية سلمية من المحاثات والمكثفات. يشترك تصميم شبكات المطابقة في الكثير من الخصائص مع المرشحات، وسيكون للتصميم حتمًا وظيفة ترشيح كنتيجة ثانوية. على الرغم من أن الغرض الأساسي من شبكة المطابقة ليس الترشيح، إلا أنه غالبًا ما يتم دمج الوظيفتين في نفس الدائرة. لا تظهر الحاجة إلى مطابقة المعاوقة عندما تكون الإشارات في المجال الرقمي.

يمكن إبداء ملاحظات مماثلة بخصوص مقسمات الطاقة والموصلات الاتجاهية . عند تنفيذها بتنسيق العناصر الموزعة، يمكن أن تتخذ هذه الأجهزة شكل مرشح العناصر الموزعة . هناك أربعة منافذ يجب مطابقتها، ويتطلب توسيع عرض النطاق الترددي هياكل شبيهة بالمرشحات لتحقيق ذلك. وينطبق العكس أيضًا: يمكن أن تتخذ مرشحات العناصر الموزعة شكل خطوط مقترنة. ^{[ 3 ]}

• مرشح صوتي
• مرشح الخط
• الارتباط المُقاس ، مرشح تمرير عالي للارتباطات
• ترشيح النسيج

• طوبولوجيا المرشح الإلكتروني
• رافع (معالجة الإشارات)
• تقليل الضوضاء
• طوبولوجيا سالين-كي
• التنعيم
• المضاعف (تحليل فورييه)

• ميروسلاف د. لوتوفاك، ديان ف. توشيتش، بريان لورانس إيفانز، تصميم المرشح لمعالجة الإشارات باستخدام MATLAB وMathematica ، ميروسلاف لوتوفاك، 2001 ISBN 0201361302.
• بي إيه شينوي، مقدمة في معالجة الإشارات الرقمية وتصميم المرشحات ، جون وايلي وأولاده، 2005، رقم ISBN 0471656380.
• إل دي بارمان، تصميم وتحليل المرشحات التناظرية: منظور معالجة الإشارات ، سبرينغر، 2001، رقم ISBN 0792373731.
• JSChitode، معالجة الإشارات الرقمية ، منشورات تقنية، 2009، رقم ISBN 8184316461.
• ليلاند ب. جاكسون، المرشحات الرقمية ومعالجة الإشارات ، سبرينغر، 1996، رقم ISBN 079239559X.