سنابي

يستقبل برنامج SnapPea البيانات بتنسيقات متنوعة. عند إعطاء مخطط روابط ، يستطيع SnapPea تحديد مكمل الروابط بشكل مثالي عن طريق التثليث . ثم يُجري سلسلة من التبسيطات لإيجاد تثليث مثالي محليًا.

بمجرد إيجاد تثليث مثالي مناسب، يمكن لبرنامج SnapPea محاولة إيجاد بنية زائدية. في ملاحظاته لمحاضرات برينستون، أشار ثورستون إلى طريقة لوصف الشكل الهندسي لكل رباعي أوجه زائدي بواسطة عدد مركب ومجموعة من المعادلات غير الخطية ذات المتغيرات المركبة، والتي يُعطي حلها مقياسًا زائديًا كاملًا على الفضاء ثلاثي الأبعاد. تتكون هذه المعادلات من معادلات الحواف ومعادلات الاكتمال . يستخدم SnapPea طريقة تكرارية تعتمد على طريقة نيوتن للبحث عن الحلول. في حال عدم وجود حل، يتم إبلاغ المستخدم بذلك.

تهدف القيمة الدنيا المحلية للتثليث إلى زيادة احتمالية وجود مثل هذا الحل، لأنه من الناحية الاستدلالية يمكن للمرء أن يتوقع أن يتم "تقويم" مثل هذا التثليث دون التسبب في انحلالات أو تداخل رباعيات الأوجه.

انطلاقًا من هذا الوصف للبنية الزائدية على مكمل الوصلة، يستطيع برنامج SnapPea إجراء عملية ملء Dehn الزائدية على الرؤوس للحصول على المزيد من المشعبات الزائدية ثلاثية الأبعاد. يقوم SnapPea بذلك عن طريق أخذ أي ميول معطاة تحدد معادلات ملء Dehn معينة (موضحة أيضًا في ملاحظات ثورستون)، ثم تعديل أشكال رباعيات الأوجه المثالية لإيجاد حلول لهذه المعادلات ومعادلات الحواف. بالنسبة لجميع الميول تقريبًا، ينتج عن ذلك بنية زائدية غير مكتملة على مكمل الوصلة، ويؤدي إكمالها إلى بنية زائدية على المشعب المملوء Dehn. حجمه هو مجموع أحجام رباعيات الأوجه المعدلة.

يستطيع برنامج SnapPea عادةً حساب التفكيك الكنسي لمتشعب ثلاثي الأبعاد ذي شكل زائدي مدبب انطلاقًا من تثليث مثالي مُعطى. وإذا لم ينجح ذلك، فإنه يُعيد التثليث عشوائيًا ويُحاول مرة أخرى. ولم يُعرف عن هذه العملية أنها تفشل قط.

يُمكّن التفكيك الكنسي برنامج SnapPea من التمييز بين مشعبين زائديين ثلاثي الأبعاد ذوي رؤوس مدببة، وذلك بتحويل مسألة التمييز إلى مسألة توافقية، أي التحقق مما إذا كان للمشعبين تفكيكات كنسية متكافئة توافقياً. كما يستطيع SnapPea التحقق مما إذا كان مشعبان زائديان ثلاثيا الأبعاد مغلقان متساويي القياس، وذلك بحفر مسارات جيوديسية قصيرة لإنشاء مشعبات زائدية ثلاثية الأبعاد ذات رؤوس مدببة، ثم استخدام التفكيك الكنسي كما في السابق.

تُمكّن خوارزمية التعرّف برنامج SnapPea من التمييز بين عقدتين أو رابطين زائديين. كما تمكّن ويكس وزملاؤه من تجميع إحصاءات مختلفة للمتشعبات الزائدية ثلاثية الأبعاد باستخدام الخوارزمية لاستبعاد قوائم العناصر المكررة.

بالإضافة إلى ذلك، ومن خلال التحليل المتعارف عليه، فإن SnapPea قادر على:

• احسب مجال فورد
• احسب مجموعة التناظر

يحتوي برنامج SnapPea على العديد من قواعد البيانات الخاصة بالمتشعبات ثلاثية الأبعاد الزائدية المتاحة للدراسة المنهجية.

• تعداد سكاني متداخل
• تعداد سكاني مغلق