متعدد الشعب الزائدي ثلاثي الأبعاد

في الرياضيات ، وتحديداً في الطوبولوجيا والهندسة التفاضلية ، يُعرف الفضاء الزائدي ثلاثي الأبعاد بأنه فضاء ذو بُعد 3 مزود بمقياس زائدي ، أي مقياس ريماني تكون جميع انحناءاته المقطعية متساوية.−1 . من المطلوب عمومًا أن يكون هذا المقياس كاملًا أيضًا: في هذه الحالة، يمكن تحقيق المتشعب كحاصل قسمة الفضاء الزائدي ثلاثي الأبعاد بواسطة مجموعة منفصلة من التماثلات ( مجموعة كلاينية ).

تكتسب المتشعبات الزائدية ثلاثية الأبعاد ذات الحجم المحدود أهمية خاصة في الطوبولوجيا ثلاثية الأبعاد ، كما يتضح من حدسية ثورستون الهندسية التي أثبتها بيرلمان . وتُعد دراسة الزمر الكلاينية موضوعًا هامًا في نظرية الزمر الهندسية .

الأهمية في علم الطوبولوجيا

تُعدّ الهندسة الزائدية أغنى الهندسات الثمانية في البعد الثالث وأقلها فهمًا (فعلى سبيل المثال، ليس من الصعب، بالنسبة لجميع الهندسات الأخرى، تقديم تعداد صريح للمشعبات ذات الحجم المحدود التي تتضمن هذه الهندسة، بينما يُعدّ هذا الأمر بالغ الصعوبة بالنسبة للمشعبات الزائدية ). بعد إثبات حدسية الهندسة، أصبح فهم الخصائص الطوبولوجية للمشعبات الزائدية ثلاثية الأبعاد هدفًا رئيسيًا في طوبولوجيا الأبعاد الثلاثة. وقد أجابت الإنجازات الحديثة لكاهن - ماركوفيتش، ووايز، وأغول، وغيرهم، على معظم الأسئلة المفتوحة التي طال أمدها حول هذا الموضوع، ولكن لا تزال هناك العديد من الأسئلة الأقل أهمية التي لم تُحلّ بعد. ^{[ 1 ]}

في البعد الثاني، تكون جميع الأسطح المغلقة تقريبًا زائدية (باستثناء الكرة، والمستوى الإسقاطي، والسطح الحلقي، وزجاجة كلاين). أما في البعد الثالث، فالأمر مختلف تمامًا: إذ توجد طرق عديدة لإنشاء عدد لا نهائي من المشعبات المغلقة غير الزائدية. من جهة أخرى، فإن العبارة الاستدلالية القائلة بأن "المشعب الثلاثي الأبعاد يميل إلى أن يكون زائديًا" صحيحة في سياقات عديدة. على سبيل المثال، أي عقدة ليست عقدة قمرية أو عقدة حلقية هي زائدية. ^{[ 2 ]}^{: النتيجة 2.5.} علاوة على ذلك، فإن جميع عمليات دين الجراحية تقريبًا على عقدة زائدية تُنتج مشعبًا زائديًا. وينطبق الأمر نفسه على الروابط (نظرية ثورستون لعمليات دين الجراحية الزائدية )، وبما أن جميع المشعبات الثلاثية الأبعاد تُحصل عليها كعمليات جراحية على رابط في الكرة الثلاثية الأبعاد، فإن هذا يُضفي معنىً أدق على العبارة غير الرسمية. وهناك معنى آخر يُشير إلى أن "جميع" المشعبات تقريبًا زائدية في البعد الثالث، وهو معنى النماذج العشوائية. على سبيل المثال، فإن تقسيمات هيغارد العشوائية من النوع 2 على الأقل تكون قطعية بشكل شبه مؤكد (عندما يصبح تعقيد خريطة اللصق لانهائيًا). ^{[ 3 ]}

تتجلى أهمية الهندسة الزائدية لمتشعب ثلاثي الأبعاد في طوبولوجيته أيضًا من خلال نظرية موستو للصلابة ، التي تنص على أن البنية الزائدية لمتشعب زائدي ثلاثي الأبعاد ذي حجم محدود تتحدد بشكل فريد بنوع التماثل الخاص به. وعلى وجه الخصوص، يمكن استخدام الثوابت الهندسية، مثل الحجم، لتعريف ثوابت طوبولوجية جديدة.

بناء

مشعبات ذات حجم محدود

في هذه الحالة، تُعد عملية التفكيك السميك-الرقيق أداةً مهمةً لفهم هندسة المتشعب . وتنص هذه العملية على أن المتشعب الزائدي ثلاثي الأبعاد ذي الحجم المحدود ينقسم إلى جزأين:

الجزء السميك ، حيث يكون نصف قطر الحقن أكبر من ثابت مطلق؛
ومكملها، الجزء الرقيق ، وهو عبارة عن اتحاد منفصل من الحلقات الصلبة والنتوءات .

المشعبات المحدودة هندسيًا

يُعدّ تحليل السماكة والرقة صالحًا لجميع المتشعبات الزائدية ثلاثية الأبعاد، مع أن الجزء الرقيق عمومًا لا يكون كما وُصف أعلاه. يُقال إن المتشعب الزائدي ثلاثي الأبعاد منتهٍ هندسيًا إذا احتوى على متشعب فرعي محدب ( لبّه المحدب ) ينكمش عليه، ويكون جزؤه السميك متراصًا (لاحظ أن جميع المتشعبات لها لب محدب، لكنه ليس متراصًا عمومًا). ^{[ 4 ]}^{: نظرية 12.7.2} . أبسط الحالات هي عندما لا يحتوي المتشعب على "نقاط حادة" (أي أن المجموعة الأساسية لا تحتوي على عناصر مكافئة)، وفي هذه الحالة يكون المتشعب منتهيًا هندسيًا إذا وفقط إذا كان خارج قسمة مجموعة فرعية مغلقة ومحدبة من الفضاء الزائدي على مجموعة تعمل بشكل متراص على هذه المجموعة الفرعية.

متعددات الشعب ذات المجموعة الأساسية المولدة نهائياً

هذه هي الفئة الأكبر من المتشعبات الزائدية ثلاثية الأبعاد التي توجد لها نظرية بنية مُرضية. وهي تستند إلى نظريتين:

تنص نظرية الترويض على أن مثل هذا التشعب متماثل الشكل مع الجزء الداخلي لتشعب مضغوط ذي حدود؛
نظرية الترقق النهائي التي توفر تصنيفًا للبنية الزائدية على الجزء الداخلي من مشعب مضغوط بواسطة "ثوابت النهاية".

بناء مشعبات ثلاثية الأبعاد زائدية ذات حجم محدود

المجسمات متعددة الأوجه الزائدية، مجموعات الانعكاس

أقدم طريقة لبناء المشعبات الزائدية، والتي يعود تاريخها على الأقل إلى بوانكاريه، هي كالتالي: نبدأ بمجموعة منتهية من متعددات الوجوه الزائدية ثلاثية الأبعاد . نفترض وجود اقتران جانبي بين الوجوه ثنائية الأبعاد لهذه المجسمات (أي أن كل وجه من هذه الوجوه مقترن بوجه آخر مختلف بحيث يكونان متساويي القياس كمضلعات زائدية ثنائية الأبعاد)، ونعتبر الفضاء الناتج عن لصق الوجوه المقترنة معًا (يُحصل عليه رسميًا كفضاء خارج القسمة ). يحمل هذا الفضاء مقياسًا زائديًا مُعرَّفًا جيدًا خارج صورة الهياكل العظمية أحادية البعد للمجسمات. يمتد هذا المقياس إلى مقياس زائدي على الفضاء بأكمله إذا تحقق الشرطان التاليان: ^{[ 4 ]}^{: النظريتان 10.1.2 و10.1.3}

لكل رأس (غير مثالي) في عملية اللصق، يكون مجموع الزوايا المجسمة للأشكال متعددة السطوح التي ينتمي إليها مساوياً لـ $4 π$ ؛
لكل حافة في عملية اللصق، يكون مجموع الزوايا ثنائية السطوح للأشكال متعددة السطوح التي تنتمي إليها مساوياً لـ $2 π$ .

ومن الأمثلة البارزة على هذا البناء فضاء سيفرت-ويبر الذي يتم الحصول عليه عن طريق لصق الوجوه المتقابلة لمجسم منتظم ذي اثني عشر وجهًا .

يتمثل أحد أشكال هذا البناء في استخدام متعددات الوجوه الزائدية لكوكسيتر (متعددات الوجوه التي تكون زواياها الثنائية على شكل $\pi /m,m\in \mathbb {N}$ يُنتج هذا المضلع المتعدد الوجوه مجموعة انعكاس كلاينية ، وهي مجموعة فرعية منفصلة من التماثلات في الفضاء الزائدي. وبأخذ مجموعة فرعية ذات فهرس محدود وخالية من الالتواء، نحصل على مشعب زائدي (يمكن استعادته من خلال البناء السابق، بلصق نسخ من مضلع كوكسيتر الأصلي بطريقة تحددها مخططات شراير المناسبة ).

لصق رباعيات الأوجه المثالية وجراحة ديهن الزائدية

في البناء السابق، تكون المتشعبات الناتجة دائمًا متراصة. وللحصول على متشعبات ذات رؤوس مدببة، يجب استخدام متعددات وجوه ذات رؤوس مثالية (أي رؤوس تقع على الكرة عند اللانهاية). في هذا السياق، لا ينتج عن بناء اللصق دائمًا متشعب كامل. يُكشف عن الاكتمال من خلال نظام معادلات يتضمن الزوايا ثنائية السطوح حول الحواف المجاورة لرأس مثالي، والتي تُعرف عادةً بمعادلات ثورستون لللصق. في حالة اكتمال اللصق، تصبح الرؤوس المثالية رؤوسًا مدببة في المتشعب. ومن الأمثلة على متشعب زائدي غير متراص ذي حجم محدود، تم الحصول عليه بهذه الطريقة، متشعب جيزيكينغ ، الذي يُبنى عن طريق لصق وجوه رباعي سطوح زائدي مثالي منتظم معًا .

من الممكن أيضًا إنشاء مشعب زائدي كامل ذي حجم محدود حتى في حال عدم اكتمال عملية اللصق. في هذه الحالة، يكون إكمال الفضاء المتري الناتج عبارة عن مشعب ذي حدود حلقية، وفي ظل شروط معينة (غير عامة)، يمكن لصق طارة صلبة زائدية على كل مكون من مكونات الحدود بحيث يكون للفضاء الناتج مقياس زائدي كامل. من الناحية الطوبولوجية، يُحصل على المشعب عن طريق جراحة دين الزائدية على المشعب الزائدي الكامل الناتج عن عملية لصق كاملة.

ليس من المعروف ما إذا كان بالإمكان إنشاء جميع المشعبات الزائدية ثلاثية الأبعاد ذات الحجم المحدود بهذه الطريقة. ^{[ 5 ]} ولكن عمليًا، هذه هي الطريقة التي تخزن بها البرامج الحاسوبية (مثل SnapPea أو Regina ) المشعبات الزائدية. ^{[ 6 ]}

الإنشاءات الحسابية

يُنتج بناء مجموعات كلاينية حسابية من جبر الكواترنيون مشعبات زائدية مثيرة للاهتمام بشكل خاص. من ناحية أخرى، تُعتبر هذه المشعبات "نادرة" نوعًا ما بين المشعبات الزائدية ثلاثية الأبعاد (على سبيل المثال، تؤدي جراحة دين الزائدية على مشعب ثابت إلى مشعب غير حسابي لجميع المعاملات تقريبًا).

نظرية التضخم الزائد

على النقيض من الإنشاءات الصريحة المذكورة أعلاه، يمكن استنتاج وجود بنية زائدية كاملة على متعدد شعب ثلاثي الأبعاد انطلاقًا من المعلومات الطوبولوجية فقط. هذه نتيجة لتخمين الهندسة، ويمكن صياغتها على النحو التالي (وهي عبارة تُعرف أحيانًا باسم "نظرية الزائدية"، والتي أثبتها ثورستون في الحالة الخاصة لمتعددات شعب هاكن):

إذا كان الفضاء الثلاثي المضغوط ذو الحدود التوريكية غير قابل للاختزال وجبريًا أتوريدي (بمعنى أن كل توروس مغمور حقنيًا $π$ ₁ متماثل مع مكون حدودي) فإن داخله يحمل مقياسًا زائديًا كاملًا ذو حجم محدود.

الحالة الخاصة هي حالة حزمة السطح فوق الدائرة : هذه المشعبات غير قابلة للاختزال دائمًا، وتحمل مقياسًا زائديًا كاملًا إذا وفقط إذا كانت المونودرومي عبارة عن خريطة أنوسوف زائفة .

من النتائج الأخرى لفرضية الهندسة أن أي فضاء ثلاثي الأبعاد مغلق يقبل مقياسًا ريمانيًا بانحناءات مقطعية سالبة، يقبل في الواقع مقياسًا ريمانيًا بانحناء مقطعي ثابت يساوي -1. وهذا لا ينطبق على الأبعاد الأعلى. ^{[ 7 ]}

العقارات الافتراضية

تتسم الخصائص الطوبولوجية للمتشعبات ثلاثية الأبعاد بتعقيدٍ بالغ، ما يجعل من المهم في كثير من الحالات معرفة ما إذا كانت خاصية ما تنطبق فعليًا على فئة من المتشعبات، أي أنه لأي متشعب في هذه الفئة، توجد مساحة تغطية منتهية لهذا المتشعب تتمتع بهذه الخاصية. وتُعدّ الخصائص الافتراضية للمتشعبات ثلاثية الأبعاد الزائدية موضوعًا لسلسلة من التخمينات التي وضعها فالدهاوزن وثورستون، والتي أثبتها إيان أغول مؤخرًا استنادًا إلى أعمال جيريمي كان، وفلاد ماركوفيتش، وفريدريك هاغلوند، وداني وايز، وغيرهم. ويرتبط الجزء الأول من هذه التخمينات منطقيًا بتخمين هاكن الافتراضي . وهي مرتبة حسب قوتها كالتالي: ^{[ 1 ]}

( تخمين المجموعة الفرعية السطحية ) تحتوي المجموعة الأساسية لأي مشعب زائدي ذي حجم محدود على مجموعة سطحية (غير حرة) (المجموعة الأساسية لسطح مغلق ).
( تخمين هاكن الافتراضي ) أي مشعب زائدي ثلاثي الأبعاد ذو حجم محدود يكون هاكن افتراضيا؛ أي أنه يحتوي على سطح مغلق مضمن بحيث يؤدي التضمين إلى إنشاء خريطة حقنية بين المجموعات الأساسية.
أي مشعب ثلاثي الأبعاد زائدي ذو حجم محدود له غطاء محدود مع عدد بيتي أول غير صفري .
أي مشعب زائدي ثلاثي الأبعاد ذو حجم محدود له غطاء محدود تتراكب مجموعته الأساسية على مجموعة حرة غير تبديلية (تسمى هذه المجموعات عادةً بالمجموعات الكبيرة ).

وهناك تخمين آخر (أثبته أغول أيضاً) يستلزم ما سبق ذكره من 1 إلى 3 ولكنه لا يرتبط مسبقاً بالرقم 4، وهو التالي :

5. ( التخمين الليفي الافتراضي ) أي مشعب زائدي ثلاثي الأبعاد ذو حجم محدود له غطاء محدود وهو عبارة عن حزمة سطحية فوق الدائرة.

فضاء جميع المشعبات الزائدية ثلاثية الأبعاد

التقارب الهندسي

يُقال إن متتالية من زمر كلاين متقاربة هندسيًا إذا كانت متقاربة في طوبولوجيا شابوتي . بالنسبة للمشعبات الناتجة عن عمليات القسمة، فإن هذا يعني أنها متقاربة في مقياس غروموف-هاوسدورف المدبب .

نظرية يورغنسن – ثورستون

يمكن استخدام الحجم الزائدي لترتيب فضاء جميع المشعبات الزائدية. مجموعة المشعبات المناظرة لحجم معين هي مجموعة محدودة على الأكثر، ومجموعة الأحجام مرتبة ترتيبًا جيدًا ومن نوع الترتيب $ω ω$ . بتعبير أدق، تنص نظرية جراحة دين الزائدية لثورستون على أن المشعب الذي يحتوي على $m$ نقطة مدببة هو نهاية متتالية من المشعبات التي تحتوي على $l$ نقطة مدببة لأي $0 \leq l < m$ ، بحيث تكون النقاط المعزولة أحجامًا لمشعبات متراصة، والمشعبات التي تحتوي على نقطة مدببة واحدة فقط هي نهايات لمشعبات متراصة، وهكذا. إلى جانب نتائج يورغنسن، تثبت النظرية أيضًا أنه يجب الحصول على أي متتالية متقاربة عن طريق جراحات دين على المشعب الحدي. ^{[ 8 ]}

مجموعات شبه فوكسية

يمكن أن تتقارب متواليات مجموعات السطح شبه الفوشية من جنس معين إلى مجموعة سطح متدهورة بشكل مزدوج، كما هو الحال في نظرية النهاية المزدوجة .

مراجع

1 2 أشنبرنر، ماتياس؛ فريدل، ستيفان؛ ويلتون، هنري (2015). “الفصل السابع: الأسئلة المفتوحة”. 3-المجموعات المتشعبة (PDF) . سلسلة محاضرات EMS في الرياضيات. الرياضيات الأوروبية. شركة نفط الجنوب. ص 109 – 126.
↑ ثورستون، ويليام (1982). "المتشعبات ثلاثية الأبعاد، ومجموعات كلاين، والهندسة الزائدية" . نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية . سلسلة جديدة. 6 (3): 357-381 . doi : 10.1090/S0273-0979-1982-15003-0 . ISSN 0002-9904 . MR 0648524 .
^ ماهر، جوزيف (2010). “انقسامات هيجارد العشوائية”. مجلة الطوبولوجيا . 3 (4): 997–1025 . أرخايف : 0809.4881 . دوى : 10.1112/جتوبول/jtq031 . S2CID 14179122 .
1 2 راتكليف، جون ج. (2006) [1994]. أسس المشعبات الزائدية . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات. المجلد 149 ( الطبعة الثانية). برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ . doi : 10.1007/978-0-387-47322-2 . ISBN 978-0-387-33197-3MR 2249478 .
↑ بيترونيو، كارلو؛ بورتي، جوان (2000). "التثليثات المثالية ذات التوجه السلبي وبرهان نظرية ثورستون لملء دين الزائدي". إكسبو. ماث . 18 : 1-35 . arXiv : math/9901045 . Bibcode : 1999math......1045P .
↑ كالهان، باتريك جيه؛ هيلدبراند، مارتن في؛ ويكس، جيفري آر. (1999). "إحصاء للمتشعبات الزائدية ثلاثية الأبعاد ذات الرؤوس المدببة" . مجلة الرياضيات الحاسوبية 68 (225): 321-332 . doi : 10.1090/s0025-5718-99-01036-4 . MR 1620219 .
↑ غروموف، ميخائيل ؛ ثورستون، ويليام (1987). "ثوابت الانضغاط للمشعبات الزائدية". Inventiones Mathematicae . 89 : 1-12 . Bibcode : 1987InMat..89....1G . doi : 10.1007/bf01404671 . S2CID 119850633 .
↑ غروموف، مايكل (1981). "المشعبات الزائدية وفقًا لثورستون ويورغنسن" . ندوة ن. بورباكي ، 1979-1980 . سلسلة محاضرات في الرياضيات. المجلد 842. سبرينغر. الصفحات 40-53 . MR 0636516. مؤرشف من الأصل بتاريخ 10 يناير 2016.

[Aschenbrenner-1] 1 2 أشنبرنر، ماتياس؛ فريدل، ستيفان؛ ويلتون، هنري (2015). “الفصل السابع: الأسئلة المفتوحة”. 3-المجموعات المتشعبة (PDF) . سلسلة محاضرات EMS في الرياضيات. الرياضيات الأوروبية. شركة نفط الجنوب. ص 109 – 126.

[Thurston1982-2] ثورستون، ويليام (1982). "المتشعبات ثلاثية الأبعاد، ومجموعات كلاين، والهندسة الزائدية" . نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية . سلسلة جديدة. 6 (3): 357-381 . doi : 10.1090/S0273-0979-1982-15003-0 . ISSN 0002-9904 . MR 0648524 .

[3] ماهر، جوزيف (2010). “انقسامات هيجارد العشوائية”. مجلة الطوبولوجيا . 3 (4): 997–1025 . أرخايف : 0809.4881 . دوى : 10.1112/جتوبول/jtq031 . S2CID 14179122 .

[Ratcliffe-4] 1 2 راتكليف، جون ج. (2006) [1994]. أسس المشعبات الزائدية . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات. المجلد 149 ( الطبعة الثانية). برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ . doi : 10.1007/978-0-387-47322-2 . ISBN 978-0-387-33197-3MR 2249478 .

[Petronio-5] بيترونيو، كارلو؛ بورتي، جوان (2000). "التثليثات المثالية ذات التوجه السلبي وبرهان نظرية ثورستون لملء دين الزائدي". إكسبو. ماث . 18 : 1-35 . arXiv : math/9901045 . Bibcode : 1999math......1045P .

[Callahan-6] كالهان، باتريك جيه؛ هيلدبراند، مارتن في؛ ويكس، جيفري آر. (1999). "إحصاء للمتشعبات الزائدية ثلاثية الأبعاد ذات الرؤوس المدببة" . مجلة الرياضيات الحاسوبية 68 (225): 321-332 . doi : 10.1090/s0025-5718-99-01036-4 . MR 1620219 .

[GromovThurston1987-7] غروموف، ميخائيل ؛ ثورستون، ويليام (1987). "ثوابت الانضغاط للمشعبات الزائدية". Inventiones Mathematicae . 89 : 1-12 . Bibcode : 1987InMat..89....1G . doi : 10.1007/bf01404671 . S2CID 119850633 .

[Gromov1981-8] غروموف، مايكل (1981). "المشعبات الزائدية وفقًا لثورستون ويورغنسن" . ندوة ن. بورباكي ، 1979-1980 . سلسلة محاضرات في الرياضيات. المجلد 842. سبرينغر. الصفحات 40-53 . MR 0636516. مؤرشف من الأصل بتاريخ 10 يناير 2016.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗