مركز سبيكر

في الهندسة ، يُعد مركز سبيكر نقطةً خاصة مرتبطة بالمثلث المستوي . ويُعرَّف بأنه مركز كتلة محيط المثلث. مركز سبيكر للمثلث △ ABC هو مركز ثقل إطار سلكي متجانس على شكل △ ABC . ^{[ 1 ] [ 2 ]} سُميت هذه النقطة تكريمًا لعالم الهندسة الألماني ثيودور سبيكر ، الذي عاش في القرن التاسع عشر . ^{[ 3 ]} مركز سبيكر هو مركز مثلث ، ويُشار إليه بالنقطة X (10) في موسوعة مراكز المثلثات لكلارك كيمبرلينج .

يمكن استخدام النتيجة التالية لتحديد مركز سبيكر لأي مثلث. ^{[ 1 ]}

مركز سبيكر للمثلث △ ABC هو مركز الدائرة الداخلية للمثلث المتوسط ​​للمثلث △ ABC .

أي أن مركز سبيكر للمثلث ABC هو مركز الدائرة المرسومة داخل المثلث المتوسط ​​للمثلث ABC . وتُعرف هذه الدائرة بدائرة سبيكر .

يقع مركز سبيكر أيضًا عند تقاطع الأجزاء الثلاثة القاطعة للمثلث △ ABC . الجزء القاطع للمثلث هو قطعة مستقيمة تنصف محيط المثلث، ولها إحدى نهايتيها في منتصف أحد أضلاعه الثلاثة. يحتوي كل جزء قاطع على مركز كتلة حدود المثلث △ ABC ، لذا تلتقي الأجزاء القاطعة الثلاثة عند مركز سبيكر.

لإثبات أن مركز الدائرة الداخلية للمثلث المتوسط ​​يتطابق مع نقطة تقاطع القطع، نعتبر هيكلًا سلكيًا متجانسًا على شكل مثلث △ ABC يتكون من ثلاثة أسلاك على هيئة قطع مستقيمة أطوالها a وb وc . يمتلك هذا الهيكل السلكي نفس مركز كتلة نظام مكون من ثلاث جسيمات كتلها a وb وc، موضوعة عند منتصفات الأضلاع BC و CA و AB ، وهي D وE وF. يقع مركز كتلة الجسيمات عند E و F عند النقطة P التي تقسم القطعة المستقيمة EF بنسبة c : b . الخط DP هو المنصف الداخلي للزاوية ∠D . بالتالي، يقع مركز كتلة نظام الجسيمات الثلاثة على المنصف الداخلي للزاوية ∠D . وبالمثل ، تُظهر حجج مماثلة أن مركز كتلة نظام الجسيمات الثلاثة يقع أيضًا على المنصفين الداخليين للزاويتين ∠E و∠ F. ويترتب على ذلك أن مركز كتلة الإطار السلكي هو نقطة التقاء المنصفات الداخلية لزوايا المثلث △ DEF ، وهو مركز المثلث المتوسط ​​△ DEF . 

ليكن S مركز سبيكر للمثلث △ ABC .

• الإحداثيات الثلاثية الخطية لـ S هي

${\displaystyle bc(b+c):ca(c+a):ab(a+b).}$^{[ 4 ]}

• إحداثيات مركز الثقل للنقطة S هي

${\displaystyle b+c:c+a:a+b.}$^{[ 4 ]}

• S هو المركز الجذري للدوائر الخارجية الثلاث . ^{[ 5 ]}
• S هو مركز انقسام المثلث △ ABC ^{[ 1 ]}
• تقع النقطة S على استقامة واحدة مع مركز الدائرة الداخلية ( I ) ومركز الثقل ( G ) ونقطة ناجل ( N ) للمثلث △ ABC . علاوة على ذلك، ^{[ 6 ]}

${\displaystyle IS=SM,\quad IG=2\cdot GS,\quad MG=2\cdot IG.}$

وبالتالي، على خط أعداد مناسب الحجم والموقع، I = 0 ، G = 2 ، S = 3 ، و M = 6 .

• تقع النقطة S على القطع الزائد لكيبرت . S هي نقطة التقاء الخطوط AX و BY و CZ حيث المثلثات △ XBC و △ YCA و △ ZAB متشابهة ومتساوية الساقين ومتشابهة الموقع، تم إنشاؤها على أضلاع المثلث △ ABC كقاعدة، ولها زاوية قاعدة مشتركة ^{[ 7 ].}

${\displaystyle \theta =\tan ^{-1}\left[\tan \left({\frac {A}{2}}\right)\tan \left({\frac {B}{2}}\right)\tan \left({\frac {C}{2}}\right)\right].}$