نقطة ناجل

في الهندسة ، تُعرف نقطة ناغل (نسبةً إلى كريستيان هاينريش فون ناغل ) بأنها مركز المثلث ، وهي إحدى النقاط المرتبطة بمثلث معين ، ولا يعتمد تعريفها على موضع المثلث أو حجمه. وهي نقطة التقاء جميع فواصل المثلث الثلاثة .

بفرض وجود مثلث △ ABC ، ولتكن TA _و TB _و C نقاط التماس الخارجية التي تتقاطع فيها الدائرة الخارجية A مع الخط BC ، والدائرة الخارجية B مع الخط CA ، والدائرة الخارجية C _مع الخط AB ، على التوالي. تتقاطع الخطوط AT _A وBT _B وCT _C في نقطة ناجل N للمثلث △ ABC .

هناك طريقة أخرى لتحديد النقطة TA _، وهي البدء من النقطة A ورسم نصف محيط المثلث △ ABC ، وبالمثل بالنسبة للنقطتين TB و TC . وبسبب هذه _{الطريقة} ، تُسمى نقطة ناجل أحيانًا بنقطة المحيط المنصف ، وتُسمى القطع المستقيمة AT _A و BT _{B و} CT _C بفواصل المثلث .

توجد طريقة سهلة لإنشاء نقطة ناجل. بدءًا من كل رأس من رؤوس المثلث، يكفي أن نحمل ضعف طول الضلع المقابل. فنحصل على ثلاثة خطوط تتقاطع عند نقطة ناجل. ^{[ 1 ]}

نقطة ناجل هي المترافقة المتساوية الزوايا لنقطة جيرجون . تقع نقطة ناجل ومركز المثلث ومركز الدائرة الداخلية على خط مستقيم يُسمى خط ناجل . مركز الدائرة الداخلية هو نقطة ناجل للمثلث المتوسط ؛ ^{[ 2 ] [ 3 ]} أو بعبارة أخرى، نقطة ناجل هي مركز الدائرة الداخلية للمثلث المضاد للمكمل . المترافقة متساوية الزوايا لنقطة ناجل هي نقطة التقاء الخطوط الواصلة بين نقطة التماس المختلطة والرأس المقابل.

الإحداثيات الباريسنترية غير المعيارية لنقطة ناجل هي${\displaystyle (sa:sb:sc)}$أين${\displaystyle s={\tfrac {a+b+c}{2}}}$يمثل نصف محيط المثلث المرجعي △ ABC .

الإحداثيات الثلاثية الخطية لنقطة ناجل هي ^{[ 4 ]} كما

${\displaystyle \csc ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right)\,:\,\csc ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right)\,:\,\csc ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right)}$

أو، بشكل مكافئ، من حيث أطوال الأضلاع${\displaystyle a=\left|{\overline {BC}}\right|,b=\left|{\overline {CA}}\right|,c=\left|{\overline {AB}}\right|,}$

${\displaystyle {\frac {b+ca}{a}}\,:\,{\frac {c+ab}{b}}\,:\,{\frac {a+bc}{c}}.}$

سُميت نقطة ناجل نسبة إلى كريستيان هاينريش فون ناجل ، وهو عالم رياضيات ألماني من القرن التاسع عشر، كتب عنها في عام 1836. كما قدم أوغست ليوبولد كريل وكارل جوستاف جاكوب جاكوبي مساهمات مبكرة في دراسة هذه النقطة . ^{[ 5 ]}

• قطع ناقص من نوع ماندارت
• نقطة المحيط المقسمة إلى ثلاثة أجزاء

• ناجل بوينت من كات ذا نوت
• نقطة ناجل ، كلارك كيمبرلينج
• وايسستين، إريك دبليو. “نقطة ناجل” . عالم الرياضيات .
• يقوم Spieker Conic وتعميم خط Nagel في Dynamic Geometry Sketches بتعميم دائرة Spieker وخط Nagel المرتبط بها.