تشابه حلزوني

ليكن T تطبيق تشابه حلزوني يربط الدائرة k بالدائرة k' حيث k${\displaystyle \cap }$k' = {C, D} والنقطة الثابتة C (أي C هي مركز T).

ثم لكل نقطة P${\displaystyle \in }$k النقاط P و T(P)= P' و D تقع على خط مستقيم واحد.

ملاحظة: هذه الخاصية هي الأساس لبناء مركز التشابه الحلزوني لقطعتين مستقيمتين.

دليل:

${\displaystyle \angle CMP=\angle CM'P'}$، حيث أن الدوران والتمدد يحافظان على الزوايا.

${\displaystyle \angle P'DC+\angle CDP=180^{\circ }}$كما لو أن نصف القطر${\displaystyle {\overline {MD}}}$يتقاطع مع الوتر${\displaystyle {\overline {CP}}}$، ثم ${\displaystyle {\overline {M'D}}}$لا يفي بالمعايير${\displaystyle {\overline {CP'}}}$وإذا${\displaystyle {\overline {MD}}}$لا يتقاطع${\displaystyle {\overline {CP}}}$، ثم${\displaystyle {\overline {M'D}}}$يتقاطع ${\displaystyle {\overline {CP'}}}$إذن، إحدى هذه الزوايا هي${\displaystyle \beta }$والآخر هو${\displaystyle 180^{\circ }-\beta }$.

إذن، النقاط P و P' و D تقع على خط مستقيم واحد.

من خلال تمديد الخط، والدوران، والانتقال ، يمكن تحويل أي قطعة مستقيمة إلى أي قطعة أخرى عبر سلسلة من التحويلات المستوية. يمكننا إيجاد مركز التشابه الحلزوني من خلال البناء التالي: ^{[ 1 ]}

• ارسم خطوطًا${\displaystyle {\overline {AC}}}$و${\displaystyle {\overline {BD}}}$ودع${\displaystyle P}$أن تكون نقطة تقاطع الخطين.
• ارسم الدوائر المحيطة بالمثلثات${\displaystyle \triangle PAB}$و${\displaystyle \triangle PCD}$.
• تتقاطع الدوائر المحيطة عند نقطة ثانية${\displaystyle X\neq P}$. ثم${\displaystyle X}$هل هو رسم الخرائط المركزية الحلزونية${\displaystyle {\overline {AB}}}$ل${\displaystyle {\overline {CD}}.}$

الدليل: لاحظ أن${\displaystyle ABPX}$و${\displaystyle XPCD}$هي أشكال رباعية دورية . وبالتالي،${\displaystyle \angle XAB=180^{\circ }-\angle BPX=\angle XPD=\angle XCD}$. بصورة مماثلة،${\displaystyle \angle ABX=\angle APX=180^{\circ }-\angle XPC=\angle XDC}$لذلك، وبحسب تشابه المثلثات AA ، فإن المثلثات${\displaystyle XAB}$و${\displaystyle XCD}$متشابهة. وبالتالي،${\displaystyle \angle AXB=\angle CXD,}$لذا، يتم رسم خريطة زاوية الدوران${\displaystyle A}$ل${\displaystyle B}$الخرائط أيضًا${\displaystyle C}$ل${\displaystyle D}$إذن، يكون عامل التمدد هو ببساطة نسبة أطوال الأضلاع${\displaystyle {\overline {CD}}}$ل${\displaystyle {\overline {AB}}}$[ ^{5 ]​}

إذا عبرنا${\displaystyle A,B,C,}$و${\displaystyle D}$كنقاط على المستوى المركب مع الأعداد المركبة المناظرة${\displaystyle a,b,c,}$و${\displaystyle d}$يمكننا إيجاد تعبير التشابه الحلزوني الذي يأخذ${\displaystyle A}$ل${\displaystyle C}$و${\displaystyle B}$ل${\displaystyle D}$. لاحظ أن${\displaystyle T(a)=x_{0}+\alpha (a-x_{0})}$و${\displaystyle T(b)=x_{0}+\alpha (b-x_{0})}$، لذا${\displaystyle {\frac {T(b)-T(a)}{ba}}=\alpha }$. منذ${\displaystyle T(a)=c}$و${\displaystyle T(b)=d}$نقوم بتوصيلها للحصول على${\displaystyle \alpha ={\frac {dc}{ba}}}$ومنها نحصل على${\displaystyle x_{0}={\frac {ad-bc}{a+dbc}}}$[ ^{5 ]​}

لأي نقاط${\displaystyle A,B,C,}$و${\displaystyle D}$، مركز التشابه الحلزوني يأخذ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ل${\displaystyle {\overline {CD}}}$كما أنه مركز تشابه حلزوني يأخذ${\displaystyle {\overline {AC}}}$ل${\displaystyle {\overline {BD}}}$.

يمكن ملاحظة ذلك من خلال البناء المذكور أعلاه. إذا سمحنا${\displaystyle X}$كن مركزًا لأخذ التشابه الحلزوني${\displaystyle {\overline {AB}}}$ل${\displaystyle {\overline {CD}}}$، ثم${\displaystyle \triangle XAB\sim \triangle XCD}$. لذلك،${\displaystyle \angle AXC=\angle AXB+\angle BXC=\angle CXD+\angle BXC=\angle BXD}$. أيضًا،${\displaystyle {\frac {AX}{BX}}={\frac {CX}{DX}}}$يشير ذلك إلى أن${\displaystyle {\frac {AX}{CX}}={\frac {BX}{DX}}}$لذا، من خلال تشابه SAS، نرى أن${\displaystyle \triangle AXC\sim \triangle BXD}$. هكذا${\displaystyle X}$وهو أيضاً مركز التشابه الحلزوني الذي يأخذ${\displaystyle {\overline {AC}}}$ل${\displaystyle {\overline {BD}}}$[ ^{5 ] [ 6 ]​}

يمكن استخدام التشابه الحلزوني لإثبات نظرية ميكيل الرباعية : إذا أعطيت أربع نقاط غير متوازية${\displaystyle A,B,C,}$و${\displaystyle D}$، الدوائر المحيطة بالمثلثات الأربعة${\displaystyle \triangle PAB,\triangle PDC,\triangle QAD,}$و${\displaystyle \triangle QBC}$يتقاطعان عند نقطة واحدة، حيث${\displaystyle P}$هو تقاطع${\displaystyle AD}$و${\displaystyle BC}$و${\displaystyle Q}$هو تقاطع${\displaystyle AB}$و${\displaystyle CD}$(انظر الرسم التوضيحي). ^{[ 1 ]}

يترك${\displaystyle M}$كن مركز التشابه الحلزوني الذي يأخذ${\displaystyle AB}$ل${\displaystyle DC}$بناءً على البناء المذكور أعلاه، فإن الدوائر المحيطة بـ${\displaystyle \triangle PAB}$و${\displaystyle \triangle PDC}$يتقاطعان عند${\displaystyle M}$و${\displaystyle P}$. منذ${\displaystyle M}$وهو أيضًا مركز التشابه الحلزوني${\displaystyle DA}$ل${\displaystyle BC}$وبالمثل، فإن الدوائر المحيطة بـ${\displaystyle \triangle QAD}$و${\displaystyle \triangle QBC}$نلتقي في${\displaystyle Q}$و${\displaystyle M}$وبالتالي، تتقاطع الدوائر الأربع جميعها عند${\displaystyle M}$[ ^{1 ]​}

فيما يلي مثال على مسألة من نهائيات مسابقة الرياضيات اليابانية لعام 2018 والتي يمكن حلها باستخدام التشابه الحلزوني:

معطى مثلث مختلف الأضلاع${\displaystyle ABC}$، يترك${\displaystyle D}$و${\displaystyle E}$لتكن النقاط على القطع المستقيمة${\displaystyle AB}$و${\displaystyle AC}$، على التوالي، بحيث${\displaystyle CA=CD,BA=BE}$. يترك${\displaystyle \omega }$لتكن الدائرة المحيطة بالمثلث${\displaystyle ADE}$و${\displaystyle P}$انعكاس​​${\displaystyle A}$عير${\displaystyle BC}$. خطوط${\displaystyle PD}$و${\displaystyle PE}$يقابل${\displaystyle \omega }$مرة أخرى في${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$على التوالي. أثبت أن${\displaystyle BX}$و${\displaystyle CY}$يتقاطع على${\displaystyle \omega }$[ ^{5 ]​}

البرهان: نثبت أولاً الادعاءات التالية:

الادعاء 1 : رباعي الأضلاع${\displaystyle PBEC}$دوري.

الدليل: بما أن${\displaystyle \triangle BAE}$إذا كان المثلث متساوي الساقين، نلاحظ أن${\displaystyle \angle BPC=\angle BAC=180^{\circ }-\angle BEC,}$وبذلك يثبت أن الشكل الرباعي${\displaystyle PBEC}$هو دوري، كما هو مطلوب. وبالتناظر، يمكننا إثبات أن الشكل الرباعي${\displaystyle PBDC}$دوري.

الادعاء الثاني :${\displaystyle \triangle AXY\sim \triangle ABC.}$

الدليل: لدينا ذلك${\displaystyle \angle AXY=180^{\circ }-\angle AEY=\angle YEC=\angle PEC=\angle PBC=\angle ABC.}$وبنفس المنطق،${\displaystyle \angle AYX=\angle ACB,}$وبناءً على التشابه بين AA،${\displaystyle \triangle AXY\sim \triangle ABC,}$حسب الرغبة.

نلاحظ الآن أن${\displaystyle A}$هو المركز الحلزوني الذي يرسم الخريطة${\displaystyle XY}$ل${\displaystyle BC}$. يترك${\displaystyle F}$أن يكون تقاطع${\displaystyle BX}$و${\displaystyle CY}$بناءً على بناء التشابه الحلزوني أعلاه، يجب أن يكون مركز الحلزون هو نقطة تقاطع الدوائر المحيطة بـ${\displaystyle \triangle FXY}$و${\displaystyle \triangle FBC}$ومع ذلك، فإن هذه النقطة${\displaystyle A}$وهكذا تشير النقاط${\displaystyle A,F,X,Y}$يجب أن يكون متحدة الدورة. لذا،${\displaystyle F}$يجب أن يستلقي على${\displaystyle \omega }$، حسب الرغبة.