الترجمة (الهندسة)

في الهندسة الإقليدية ، الإزاحة هي تحويل هندسي ينقل كل نقطة من نقاط شكل أو هيئة أو فضاء مسافة متساوية في اتجاه محدد . ويمكن تفسير الإزاحة أيضاً على أنها إضافة متجه ثابت إلى كل نقطة، أو على أنها تغيير لنقطة الأصل في نظام الإحداثيات . في الفضاء الإقليدي ، أي إزاحة هي تحويل متساوي القياس .

الإزاحة هي تحويل هندسي يُزيح الشكل الأصلي وفقًا لاتجاه واتجاه وطول ( متجه ). تحافظ الإزاحات على اتجاه وطول القطع المستقيمة، وسعات الزوايا.

الانزلاق هو انتقال على طول محور لولبي ، والذي قد يحدث حوله دوران أيضًا.

يمكننا أن نستشهد كأمثلة عملية للترجمة، المصاعد ، والسلالم المتحركة ، وحتى المنزلقات .

في التناظر الانتقالي، "ينزلق" الشكل على طول خط دون أن يتغير. في جميع الانتقالات، يُلاحظ أن العنصر نفسه يتحرك في اتجاه معين ودائمًا بالتوازي مع نفسه، أي دون أن يدور. في الإفريز، يوجد نمط يتكرر دوريًا، في اتجاه معين ودائمًا بالتوازي مع نفسه.

"ليكن AB قطعة مستقيمة موجهة، في المستوى π أو في الفضاء E. (يعني التوجيه أن ترتيب ذكر نقاط النهاية مهم: أولاً A، ثم B). الإزاحة التي يحددها AB هي التحويل (التناظر التقابلي) τ  : π → π، أو τ  : E → E، المعرف بـ τ(X) = X'، بحيث يكون (AB, XX') و(AX, BX') زوجين من الأضلاع المتقابلة لمتوازي أضلاع". ^{[ 1 ]}

لو${\displaystyle \mathbf {v} }$هو متجه ثابت، يُعرف باسم متجه الإزاحة ، و${\displaystyle \mathbf {p} }$إذا كان الموضع الابتدائي لجسم ما، فإن دالة الإزاحة${\displaystyle T_{\mathbf {v} }}$سيعمل كما${\displaystyle T_{\mathbf {v} }(\mathbf {p} )=\mathbf {p} +\mathbf {v} }$.

لو${\displaystyle T}$إذا كانت ترجمة، فإن صورة مجموعة فرعية${\displaystyle A}$في إطار الوظيفة${\displaystyle T}$هي ترجمة​${\displaystyle A}$بواسطة${\displaystyle T}$ترجمة${\displaystyle A}$بواسطة${\displaystyle T_{\mathbf {v} }}$غالباً ما تُكتب على النحو التالي:${\displaystyle A+\mathbf {v} }$.

يقوم عامل الإزاحة بتحويل دالة للموضع الأصلي،${\displaystyle f(\mathbf {v} )}$، إلى دالة للموضع النهائي،${\displaystyle f(\mathbf {v} +\mathbf {\delta } )}$. بعبارة أخرى،${\displaystyle T_{\mathbf {\delta } }}$يتم تعريفها بحيث${\displaystyle T_{\mathbf {\delta } }f(\mathbf {v} )=f(\mathbf {v} +\mathbf {\delta } ).}$هذا العامل أكثر تجريدًا من الدالة، لأن${\displaystyle T_{\mathbf {\delta } }}$يُعرّف عامل الإزاحة العلاقة بين دالتين، وليس المتجهات الأساسية نفسها. ويمكن أن يؤثر على أنواع عديدة من الدوال، كما هو الحال عند تأثيره على دالة موجية ، والتي تُدرس في مجال ميكانيكا الكم.

تشكل مجموعة جميع الترجمات مجموعة الترجمة${\displaystyle \mathbb {T} }$، وهو متماثل مع الفضاء نفسه، ومجموعة فرعية طبيعية من المجموعة الإقليدية${\displaystyle E(n)}$مجموعة القسمة لـ${\displaystyle E(n)}$بواسطة${\displaystyle \mathbb {T} }$هي متماثلة مع مجموعة الحركات الصلبة التي تثبت نقطة أصل معينة، المجموعة المتعامدة${\displaystyle O(n)}$:

${\displaystyle E(n)/\mathbb {T} \cong O(n)}$

بما أن عملية الترجمة تبديلية ، فإن مجموعة الترجمة تبديلية . يوجد عدد لا نهائي من الترجمات الممكنة، لذا فإن مجموعة الترجمة هي مجموعة لا نهائية .

في نظرية النسبية ، ونظراً لاعتبار المكان والزمان فضاءً واحداً ، يمكن أن تشير الإزاحات أيضاً إلى تغيرات في إحداثيات الزمن . على سبيل المثال، تتضمن مجموعة غاليليو ومجموعة بوانكاريه إزاحات بالنسبة للزمن.

الإزاحة هي تحويل خطي بدون نقاط ثابتة . أما ضرب المصفوفات، فتكون نقطة الأصل فيه ثابتة دائمًا . مع ذلك، يوجد حل شائع باستخدام الإحداثيات المتجانسة لتمثيل إزاحة فضاء متجهي باستخدام ضرب المصفوفات : اكتب المتجه ثلاثي الأبعاد${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{x},v_{y},v_{z})}$باستخدام 4 إحداثيات متجانسة كـ${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{x},v_{y},v_{z},1)}$[ ^{3 ]​}

لتحريك كائن بواسطة متجه${\displaystyle \mathbf {v} }$، كل متجه متجانس${\displaystyle \mathbf {p} }$(مكتوبة بالإحداثيات المتجانسة) يمكن ضربها بمصفوفة الإزاحة هذه :

${\displaystyle T_{\mathbf {v} }={\begin{bmatrix}1&0&0&v_{x}\\0&1&0&v_{y}\\0&0&1&v_{z}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}$

كما هو موضح أدناه، ستعطي عملية الضرب النتيجة المتوقعة:

${\displaystyle T_{\mathbf {v} }\mathbf {p} ={\begin{bmatrix}1&0&0&v_{x}\\0&1&0&v_{y}\\0&0&1&v_{z}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}p_{x}+v_{x}\\p_{y}+v_{y}\\p_{z}+v_{z}\\1\end{bmatrix}}=\mathbf {p} +\mathbf {v} }$

يمكن الحصول على معكوس مصفوفة الإزاحة عن طريق عكس اتجاه المتجه (بمعنى آخر، إنها مصفوفة M ):

${\displaystyle T_{\mathbf {v} }^{-1}=T_{-\mathbf {v} }.\!}$

وبالمثل، يتم الحصول على ناتج مصفوفات الإزاحة عن طريق جمع المتجهات:

${\displaystyle T_{\mathbf {v} }T_{\mathbf {w} }=T_{\mathbf {v} +\mathbf {w} }.\!}$

لأن جمع المتجهات هو عملية تبادلية ، فإن ضرب مصفوفات الإزاحة هو أيضًا عملية تبادلية (على عكس ضرب المصفوفات العشوائية).

بينما يُنظر إلى الإزاحة الهندسية غالبًا على أنها تحويل فعّال يُغيّر موضع الجسم الهندسي، يُمكن تحقيق نتيجة مماثلة بتحويل سلبي يُحرّك نظام الإحداثيات نفسه مع إبقاء الجسم ثابتًا. يُعرف الشكل السلبي للإزاحة الهندسية الفعّالة باسم إزاحة المحاور .

يُقال إن الجسم الذي يبدو كما هو قبل وبعد الإزاحة يتمتع بتناظر إزاحي . ومن الأمثلة الشائعة على ذلك الدالة الدورية ، وهي دالة ذاتية لمؤثر الإزاحة.

في التناظر الانتقالي، ينزلق الشكل على طول خط دون أن يتغير. في جميع الانتقالات، يُلاحظ أن العنصر نفسه يتحرك في اتجاه معين ودائمًا موازيًا لنفسه، أي دون أن يدور. في الإفريز ، يوجد نمط يتكرر دوريًا، في اتجاه معين ودائمًا موازيًا لنفسه.

الرسم البياني للدالة الحقيقية f ، مجموعة النقاط${\displaystyle (x,f(x))}$غالبًا ما يتم تصويرها في المستوى الإحداثي الحقيقي حيث يمثل x الإحداثي الأفقي و${\displaystyle y=f(x)}$باعتبارها الإحداثي الرأسي.

انطلاقاً من الرسم البياني للدالة f ، فإن الإزاحة الأفقية تعني تركيب الدالة f مع دالة أخرى .${\displaystyle x\mapsto x-a}$، لعدد ثابت a ، مما ينتج عنه رسم بياني يتكون من نقاط${\displaystyle (x,f(x-a))}$كل نقطة​${\displaystyle (x,y)}$الجزء من الرسم البياني الأصلي يتوافق مع النقطة${\displaystyle (x+a,y)}$في الرسم البياني الجديد ، مما ينتج عنه تحول أفقي.

يعني النقل الرأسي تركيب الدالة${\displaystyle y\mapsto y+b}$مع f ، لبعض الثوابت b ، مما ينتج عنه رسم بياني يتكون من النقاط${\displaystyle {\bigl (}x,f(x)+b{\bigr )}}$كل نقطة​${\displaystyle (x,y)}$الجزء من الرسم البياني الأصلي يتوافق مع النقطة${\displaystyle (x,y+b)}$في الرسم البياني الجديد ، مما ينتج عنه إزاحة رأسية. ^{[ 4 ]}

على سبيل المثال، أخذ الدالة التربيعية${\displaystyle y=x^{2}}$، الذي يمثل رسمه البياني قطعًا مكافئًا رأسه عند${\displaystyle (0,0)}$، ستكون الوظيفة الجديدة عبارة عن إزاحة أفقية بمقدار 5 وحدات إلى اليمين .${\displaystyle y=(x-5)^{2}=x^{2}-10x+25}$رأسها له إحداثيات${\displaystyle (5,0)}$. ستكون الوظيفة الجديدة عبارة عن إزاحة رأسية بمقدار 3 وحدات لأعلى .${\displaystyle y=x^{2}+3}$رأسها له إحداثيات${\displaystyle (0,3)}$⁠ .

تختلف الدوال الأصلية للدالة عن بعضها البعض بمقدار ثابت التكامل ، وبالتالي فهي إزاحات رأسية لبعضها البعض. ^{[ 5 ]}

لوصف ديناميكيات المركبات (أو حركة أي جسم صلب )، بما في ذلك ديناميكيات السفن والطائرات ، من الشائع استخدام نموذج ميكانيكي يتكون من ست درجات حرية ، تشمل الانتقالات على طول ثلاثة محاور مرجعية ( بالإضافة إلى الدوران حول هذه المحاور الثلاثة). تُسمى هذه الانتقالات عادةً بالاندفاع والتأرجح والارتفاع .

• زازكيس، ر.، ليلييدال، ب.، وغادوفسكي، ك. مفاهيم ترجمة الدوال: العقبات، والحدس، وإعادة التوجيه. مجلة السلوك الرياضي، 22، 437-450. تم الاطلاع عليه بتاريخ 29 أبريل 2014، من الموقع الإلكتروني www.elsevier.com/locate/jmathb
• تحويلات الرسوم البيانية: الإزاحات الأفقية . (1 يناير 2006). BioMath: تحويل الرسوم البيانية. تم الاطلاع عليه بتاريخ 29 أبريل 2014.

• تحويل الترجمة في قطع العقدة
• التحويل الهندسي (رسوم متحركة تفاعلية) على موقع Math Is Fun
• فهم الترجمة ثنائية الأبعاد وفهم الترجمة ثلاثية الأبعاد بقلم روجر جيرموندسون، مشروع عروض وولفرام التوضيحية .