الإزاحة الزاوية

📅 آخر تحديث: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 23 صور
الموسوعة الحرة

الإزاحة الزاوية ( رمزها θ أو ϑ أو φ ) - وتُسمى أيضًا زاوية الدوران أو الإزاحة الدورانية - لجسم مادي هي الزاوية (بوحدة الراديان أو الدرجة أو الدورة ، إلخ) التي دار بها الجسم ( أو دار حول نفسه) حول مركز الدوران أو محور الدوران . ويمكن الإشارة إلى اتجاه الإزاحة الزاوية (مثلًا، مع عقارب الساعة أو عكسها)؛ وقد تكون قيمتها المطلقة أكبر من دورة كاملة إذا كان الدوران...

سياق

دوران جسم صلب P حول محور ثابت O.

عندما يدور جسم ذو اتجاه محدد حول محور، يجب مراعاة حركة هذا الاتجاه، كما هو الحال مع انحراف الطائرة وميلها ودورانها، حيث ينتج عن كل منها اتجاهات جديدة ومختلفة. ويخضع كل جزء من الجسم لحركة دائرية أثناء دورانه.

أبسط الحالات هي حالة الجسم الصلب، حيث لا يتغير شكل الجسم نفسه. تحديدًا، في هذه الحالة، تبقى المسافات بين جميع الجسيمات ثابتة طوال حركة الجسم، على عكس وجود أجزاء متحركة داخليًا أو تراكم أجزاء منه أو إطلاقها. تُقارب العديد من الأجسام الحقيقية بالأجسام الصلبة، مثل الطائرات في محاكاة الطيران.

مثال

في المثال الموضح على اليسار (أو أعلاه في بعض إصدارات الأجهزة المحمولة)، يوجد جسيم أو جسم P على مسافة ثابتة r من نقطة الأصل O ، ويدور عكس اتجاه عقارب الساعة. من المهم حينها تمثيل موضع الجسيم P بدلالة إحداثياته ​​القطبية ( r ، θ ). في هذا المثال تحديدًا، تتغير قيمة θ ، بينما تبقى قيمة نصف القطر ثابتة. (في الإحداثيات الديكارتية ( x ، y )، تتغير كل من x و y مع الزمن). عندما يتحرك الجسيم على طول الدائرة، فإنه يقطع طول قوس s ، والذي يرتبط بالموضع الزاوي من خلال العلاقة التالية:

s=رθ.{\displaystyle s=r\theta .}

التعريف والوحدات

يمكن التعبير عن الإزاحة الزاوية بوحدة الراديان أو الدرجة. يوفر استخدام الراديان علاقة بسيطة للغاية بين المسافة المقطوعة حول الدائرة ( طول القوس الدائري ) والمسافة r من المركز ( نصف القطر ):

θ=sررأد{\displaystyle \theta ={\frac {s}{r}}\mathrm {rad} }

على سبيل المثال، إذا دار جسم ما 360 درجة حول دائرة نصف قطرها r ، فإن الإزاحة الزاوية تُعطى بالمسافة المقطوعة حول المحيط - وهي 2π r - مقسومة على نصف القطر:θ=2πرر{\displaystyle \theta ={\frac {2\pi r}{r}}}والتي يمكن تبسيطها بسهولة إلى:θ=2π{\displaystyle \theta =2\pi }لذلك، فإن دورة واحدة هي2π{\displaystyle 2\pi }الراديان.

يُعدّ التعريف أعلاه جزءًا من النظام الدولي للكميات (ISQ)، الذي تمّت صياغته رسميًا في المعيار الدولي ISO 80000-3 (المكان والزمان)، [ 1 ] وتمّ اعتماده في النظام الدولي للوحدات (SI). [ 2 ] [ 3 ]

يمكن تحديد اتجاه الإزاحة الزاوية، مما يشير إلى اتجاه الدوران (مثلًا، مع عقارب الساعة )؛ [ 1 ] وقد تكون أيضًا أكبر ( كقيمة مطلقة ) من دورة كاملة . في نظام ISQ/SI، تُستخدم الإزاحة الزاوية لتحديد عدد الدورات ، N = θ/(2π راديان) ، وهي نسبة، وبالتالي كمية ذات بُعد واحد .

في ثلاثة أبعاد

الشكل 1 : نظرية دوران أويلر. تتحول الدائرة العظمى إلى دائرة عظمى أخرى تحت الدوران، مع بقاء قطر الكرة دائمًا في موضعه الأصلي.
الشكل 2 : دوران ممثل بمحور أويلر وزاوية

في ثلاثة أبعاد، تُعدّ الإزاحة الزاوية كيانًا له اتجاه ومقدار. يُحدد الاتجاه محور الدوران، وهو موجود دائمًا بموجب نظرية أويلر للدوران ؛ ويُحدد المقدار الدوران بالراديان حول ذلك المحور (باستخدام قاعدة اليد اليمنى لتحديد الاتجاه). يُطلق على هذا الكيان اسم محور-زاوية .

على الرغم من امتلاكها اتجاهًا ومقدارًا، فإن الإزاحة الزاوية ليست متجهة لأنها لا تخضع لقانون التبادل في الجمع. [ 4 ] ومع ذلك، عند التعامل مع الدورانات المتناهية الصغر، يمكن إهمال الكميات المتناهية الصغر من الرتبة الثانية، وفي هذه الحالة يظهر التبادل.

مصفوفات الدوران

توجد عدة طرق لوصف الدوران، مثل مصفوفات الدوران أو زوايا أويلر . راجع الرسوم البيانية في SO(3) للاطلاع على طرق أخرى.

بما أن أي إطار في الفضاء يمكن وصفه بمصفوفة دوران، فإن الإزاحة بين هذه الأطر يمكن وصفها أيضاً بمصفوفة دوران.أ0{\displaystyle A_{0}}وأو{\displaystyle A_{f}}يمكن الحصول على مصفوفة الإزاحة الزاوية بين مصفوفتين على النحو التالي :Δأ=أوأ0-1{\displaystyle \Delta A=A_{f}A_{0}^{-1}}⁠ . عند إجراء هذا المنتج مع وجود فرق صغير جدًا بين الإطارين، سنحصل على مصفوفة قريبة من مصفوفة الوحدة.

في النهاية، سنحصل على مصفوفة دوران متناهية الصغر.

مصفوفات الدوران المتناهية الصغر

مصفوفة الدوران المتناهية الصغر أو مصفوفة الدوران التفاضلية هي مصفوفة تمثل دورانًا صغيرًا للغاية .

بينما مصفوفة الدوران هي مصفوفة متعامدةRتي=R-1{\displaystyle R^{\mathsf {T}}=R^{-1}}يمثل عنصرًا منSيا(ن){\displaystyle \mathrm {SO} (n)}( المجموعة المتعامدة الخاصة )، مشتق الدوران هو مصفوفة متناظرة معكوسةأتي=-أ{\displaystyle A^{\mathsf {T}}=-A}في الفضاء المماسيso(ن){\displaystyle {\mathfrak {so}}(n)}( الجبر المتعامد الخاص لـ Lie )، وهو ليس مصفوفة دوران بحد ذاته.

تأخذ مصفوفة الدوران المتناهية الصغر الشكل التالي:

أنا+دθأ،{\displaystyle I+d\theta \,A,}

أينأنا{\displaystyle I}هي مصفوفة الوحدة ،دθ{\displaystyle d\theta }صغير للغاية، وأ∈so(ن){\displaystyle A\in {\mathfrak {so}}(n)}⁠ .

على سبيل المثال، إذاأ=لx{\displaystyle A=L_{x}}، وهو عنصر أساسي يمثل دورانًا ثلاثي الأبعاد متناهي الصغر حول المحور xso(3){\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}ثم​

لx=[00000-1010]،{\displaystyle L_{x}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{bmatrix}},}

و

أنا+دθلx=[10001-دθ0دθ1].{\displaystyle I+d\theta L_{x}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&-d\theta \\0&d\theta &1\end{bmatrix}}.}

تُطبَّق قواعد الحساب المعتادة على مصفوفات الدوران المتناهية الصغر، باستثناء حذف المتناهيات الصغر من الرتبة الثانية. وبموجب هذه القواعد، لا تُحقق هذه المصفوفات جميع خصائص مصفوفات الدوران المحدودة العادية عند التعامل المعتاد مع المتناهيات الصغر. [ 5 ] ويتضح أن ترتيب تطبيق الدورانات المتناهية الصغر غير ذي صلة .

انظر أيضاً

مراجع

  1. 1 2 "ISO 80000-3:2019 الكميات والوحدات - الجزء 3: المكان والزمان" (  الطبعة الثانية). المنظمة الدولية للتوحيد القياسي . 2019. تاريخ الاسترجاع: 23 أكتوبر 2019 .(11 صفحة)
  2. ↑ النظام الدولي للوحدات (ملف PDF) ، الإصدار 4.01 ( الطبعة التاسعة)، المكتب الدولي للأوزان والمقاييس، يونيو 2026، رقم ISBN  978-92-822-2272-0
  3. ↑ تومسون، أمبلر؛ تايلور، باري ن. (2020-03-04) [2009-07-02]. "دليل المعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا لاستخدام النظام الدولي للوحدات، منشور خاص 811" ( طبعة 2008). المعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا . تم الاطلاع عليه بتاريخ 17 يوليو 2023 . 
  4. ↑ كليبنر، دانيال؛ كولينكو، روبرت (1973). مقدمة في الميكانيكا . ماكجرو هيل. ص 288-289 . ISBN  9780070350489.
  5. ↑ ( Goldstein, Poole & Safko 2002 , §4.8)

مصادر