رقم النجمة

في الرياضيات ، يُعرف العدد النجمي بأنه عدد شكلي مركزي ، أو شكل سداسي مركزي (نجمة سداسية الرؤوس)، مثل نجمة داود ، أو رقعة لعبة الداما الصينية . وتُسمى هذه الأعداد أيضًا بالأعداد الاثني عشرية المركزية، لأنها أعداد مضلعة مركزية ذات شكل اثني عشري .

1		13		37

يُعطى رقم النجمة رقم n بالصيغة S _n = 6 n ( n − 1) + 1. أرقام النجوم الـ 45 الأولى هي: 1، 13، 37، 73، 121، 181، 253، 337، 433، 541، 661، 793، 937، 1093، 1261، 1441، 1633، 1837، 2053، 2281، 2521، 2773، 3037، 3313، 3601، 3901، 4213، 4537، 4873، 5221، 5581، 5953، 6337، 6733، 7141، 7561، 7993. 8437، 8893، 9361، 9841، 10333، 10837، 11353، و11881. (التسلسل A003154 في OEIS )

الجذر الرقمي للعدد النجمي هو دائمًا 1 أو 4، ويتقدم بالتسلسل 1، 4، 1. آخر رقمين من العدد النجمي في النظام العشري هما دائمًا 01، 13، 21، 33، 37، 41، 53، 61، 73، 81، أو 93.

يُعد الرقم 35113 فريدًا من نوعه بين أرقام النجوم، حيث أن عوامله الأولية (أي 13 و37 و73) هي أيضًا أرقام نجوم متتالية.

هندسيًا، يتكون العدد النجمي رقم n من نقطة مركزية و12 نسخة من العدد المثلثي رقم ( n -1) ، مما يجعله مساويًا عدديًا للعدد الاثني عشري المركزي رقم n ، ولكن بترتيب مختلف. وبالتالي، يمكن كتابة صيغة العدد النجمي رقم n على النحو التالي: S _{_n} = 1 + 12 T _{_n - 1} ، حيث T _{_n} = n ( n + 1) / 2 .

عدد لا نهائي من أعداد النجوم هي أيضًا أعداد مثلثية ، وأول أربعة منها هي S ₁ = 1 = T ₁ ، S ₇ = 253 = T ₂₂ ، S ₉₁ = 49141 = T ₃₁₃ ، و S ₁₂₆₁ = 9533161 = T ₄₃₆₆ (المتتالية A156712 في OEIS ) .

عدد لا نهائي من أرقام النجوم هي أيضًا أرقام مربعة ، وأول أربعة منها هي S ₁ = 1 ² ، S ₅ = 121 = 11 ² ، S ₄₅ = 11881 = 109 ² ، و S ₄₄₁ = 1164241 = 1079 ² (التسلسل A054318 في OEIS ) ، بالنسبة للنجوم المربعة (التسلسل A006061 في OEIS ) .

العدد النجمي الأولي هو عدد نجمي أولي . الأعداد النجمية الأولية القليلة الأولى (التسلسل A083577 في OEIS ) هي 13، 37، 73، 181، 337، 433، 541، 661، 937.

العدد النجمي الأولي هو عدد نجمي أولي يكون دليله الأولي أيضًا عددًا نجميًا. أول عددين من هذا النوع هما 661 و1750255921.

العدد النجمي المعكوس هو عدد نجمي يكون دليله عددًا نجميًا أوليًا. من أوائل هذه الأعداد: 937، 7993، 31537، 195481، 679393، 1122337، 1752841، 2617561، 5262193.

يُستخدم مصطلح "العدد النجمي" أو "العدد النجمي" أحيانًا للإشارة إلى الأعداد الثمانية . ^{[ 1 ]}

المتسلسلة التوافقية للكسور الوحدوية التي تكون مقاماتها أعدادًا نجمية هي: $$\begin{aligned}\sum_{n=1}^{\infty}&\frac{1}{S_{n}}}\\&=1+{\frac{1}{13}}+{\frac{1}{37}}+{\frac{1}{73}}+{\frac{1}{121}}+{\frac{1}{181}}+{\frac{1}{253}}+{\frac{1}{337}}+\cdots \\&={\frac{\pi}{2\sqrt{3}}}}\tan({\frac{\pi}{2\sqrt{3}}}})\\&\approx 1.159173.\\\end{aligned}}}$$

السلسلة المتناوبة من الكسور الوحدية التي تكون مقاماتها هي الأرقام النجمية: $$\begin{aligned}\sum_{n=1}^{\infty}&(-1)^{n-1}{\frac{1}{S_{n}}}\\&=1-{\frac{1}{13}}+{\frac{1}{37}}-{\frac{1}{73}}+{\frac{1}{121}}-{\frac{1}{181}}+{\frac{1}{253}}-{\frac{1}{337}}+\cdots \\&\approx 0.941419.\\\end{aligned}}}$$

• العدد السداسي المركزي