سلسلة متناوبة

في الرياضيات ، المتسلسلة المتناوبة هي سلسلة لانهائية من الحدود التي تتناوب بين الإشارات الموجبة والسالبة. ويتم التعبير عنها باستخدام رمز سيجما الكبير.$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}}$$أو$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n+1}a_{n}}$$ مع n > 0 لجميع _قيم n . 

كأي متسلسلة، تكون المتسلسلة المتناوبة متقاربة إذا وفقط إذا تقاربت متتالية المجاميع الجزئية للمتسلسلة إلى حدٍّ معين . يضمن اختبار المتسلسلة المتناوبة تقاربها إذا تقاربت حدودها a _{و n} إلى الصفر بشكل رتيب ، ولكن هذا الشرط ليس ضروريًا للتقارب.

المتسلسلة الهندسية ⁠ 1 / 2 ⁠ − ⁠ 1 / 4 ⁠ + ⁠ 1 / 8 ⁠ − ⁠ 1 / 16 ⁠ + ⋯ مجموعها يساوي ⁠ 1 / 3 ⁠ .

المتسلسلة التوافقية المتناوبة لها مجموع محدود، بينما المتسلسلة التوافقية ليس لها مجموع محدود. $${\displaystyle 1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}}$$يتقارب إلى${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}$لكنها ليست متقاربة تماماً.

تُقدّم متسلسلة ميركاتور تعبيرًا تحليليًا لسلسلة القوى للوغاريتم الطبيعي ، كما هو موضح في $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}=\ln(1+x),\;\;\;|x|\leq 1,x\neq -1.}$$

يمكن تعريف دالتي الجيب وجيب التمام المستخدمتين في علم المثلثات واللتين تم تقديمهما في الجبر الابتدائي كنسبة بين أضلاع المثلث القائم الزاوية، على أنهما متسلسلتان متناوبتان في حساب التفاضل والتكامل . $${\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}$$و $${\displaystyle \cos x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}.}$$عند إزالة العامل المتناوب (–1) ⁿ من هذه السلسلة، نحصل على الدوال الزائدية sinh و cosh المستخدمة في حساب التفاضل والتكامل والإحصاء.

بالنسبة للمؤشر الصحيح أو الموجب α، يمكن تعريف دالة بيسل من النوع الأول باستخدام المتسلسلة المتناوبة $${\displaystyle J_{\alpha }(x)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{m!\,\Gamma (m+\alpha +1)}}{\left({\frac {x}{2}}\right)}^{2m+\alpha }}$$حيث Γ( z ) هي دالة جاما .

إذا كان s عددًا مركبًا ، فإن دالة إيتا ديريشليه تُشكل على هيئة متسلسلة متناوبة $${\displaystyle \eta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n-1} \over n^{s}}={\frac {1}{1^{s}}}-{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}-{\frac {1}{4^{s}}}+\cdots }$$ والتي تستخدم في نظرية الأعداد التحليلية .

تنص النظرية المعروفة باسم "اختبار لايبنيز" أو اختبار السلسلة المتناوبة على أن السلسلة المتناوبة ستتقارب إذا تقاربت الحدود a _n إلى 0 بشكل رتيب .

البرهان: لنفترض المتتالية${\displaystyle a_{n}}$تتقارب إلى الصفر وهي دالة متناقصة بشكل رتيب. إذا${\displaystyle m}$غريب و${\displaystyle m<n}$، فنحصل على التقدير${\displaystyle S_{n}-S_{m}\leq a_{m}}$عن طريق الحساب التالي: $$\displaystyle \begin{aligned}S_{n}-S_{m}&=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}\,a_{k}\,-\,\sum _{k=0}^{m}\,(-1)^{k}\,a_{k}\ =\sum _{k=m+1}^{n}\,(-1)^{k}\,a_{k}\\&=a_{m+1}-a_{m+2}+a_{m+3}-a_{m+4}+\cdots +a_{n}\\&=a_{m+1}-(a_{m+2}-a_{m+3})-(a_{m+4}-a_{m+5})-\cdots -a_{n}\leq a_{m+1}\leq a_{m}.\end{aligned}}}$$

منذ${\displaystyle a_{n}}$تتناقص الحدود بشكل رتيب${\displaystyle -(a_{m}-a_{m+1})}$وهي سالبة. وبالتالي، لدينا المتباينة النهائية:${\displaystyle S_{n}-S_{m}\leq a_{m}}$وبالمثل، يمكن إثبات أن${\displaystyle -a_{m}\leq S_{n}-S_{m}}$. منذ${\displaystyle a_{m}}$يتقارب إلى${\displaystyle 0}$، المجاميع الجزئية${\displaystyle S_{m}}$تشكل متتالية كوشي (أي أن المتسلسلة تحقق معيار كوشي )، وبالتالي فهي تتقارب. الحجة لـ${\displaystyle m}$بل إن الأمر مشابه.

لا يعتمد التقدير أعلاه على${\displaystyle n}$لذا، إذا${\displaystyle a_{n}}$عندما تقترب القيمة من الصفر بشكل رتيب، فإن التقدير يوفر حدًا للخطأ لتقريب المجاميع اللانهائية بواسطة المجاميع الجزئية: $${\displaystyle \left|\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\,a_{k}\,-\,\sum _{k=0}^{m}\,(-1)^{k}\,a_{k}\right|\leq |a_{m+1}|.}$$لا يعني ذلك أن هذا التقدير يجد دائمًا العنصر الأول الذي يكون الخطأ بعده أقل من القيمة المطلقة للحد التالي في المتسلسلة. في الواقع، إذا أخذت${\displaystyle 1-1/2+1/3-1/4+...=\ln 2}$وحاول إيجاد الحد الذي يكون الخطأ بعده على الأكثر 0.00005، تُظهر المتباينة أعلاه أن المجموع الجزئي حتى${\displaystyle a_{20000}}$يكفي هذا، لكن في الواقع هذا ضعف عدد الحدود المطلوبة. في الواقع، الخطأ بعد جمع أول 9999 عنصرًا هو 0.0000500025، وبالتالي فإن أخذ المجموع الجزئي حتى${\displaystyle a_{10000}}$يكفي. تتميز هذه السلسلة بخاصية أنه يمكن إنشاء سلسلة جديدة باستخدام${\displaystyle a_{n}-a_{n+1}}$كما يُعطي هذا الأسلوب متسلسلة متناوبة ينطبق عليها اختبار لايبنتز، مما يجعل حد الخطأ البسيط هذا غير مثالي. وقد تم تحسين ذلك بواسطة حد كالابريس ^{[ 1 ]} ، الذي اكتُشف عام 1962، والذي ينص على أن هذه الخاصية تسمح بنتيجة أقل بمرتين من تلك التي يُحققها حد خطأ لايبنتز. في الواقع، هذا ليس مثاليًا أيضًا للمتسلسلات التي تنطبق عليها هذه الخاصية مرتين أو أكثر، وهو ما يصفه حد خطأ جونسونباو ^{[ 2 ]} . إذا أمكن تطبيق الخاصية عددًا لا نهائيًا من المرات، فإن تحويل أويلر ينطبق ^{[ 3 ]} .

سلسلة${\textstyle \sum a_{n}}$تتقارب بشكل مطلق إذا كانت المتسلسلة${\textstyle \sum |a_{n}|}$يتقارب.

النظرية: المتسلسلات المتقاربة مطلقًا متقاربة.

البرهان: لنفترض${\textstyle \sum a_{n}}$متقاربة تمامًا. إذن،${\textstyle \sum |a_{n}|}$متقاربة، ويترتب على ذلك أن${\textstyle \sum 2|a_{n}|}$يتقارب أيضًا. بما أن${\textstyle 0\leq a_{n}+|a_{n}|\leq 2|a_{n}|}$، المسلسل${\textstyle \sum (a_{n}+|a_{n}|)}$تتقارب المتسلسلة باختبار المقارنة . لذلك، فإن المتسلسلة${\textstyle \sum a_{n}}$يتقارب كفرق بين متسلسلتين متقاربتين${\textstyle \sum a_{n}=\sum (a_{n}+|a_{n}|)-\sum |a_{n}|}$.

تكون المتسلسلة متقاربة شرطياً إذا كانت تتقارب ولكنها لا تتقارب بشكل مطلق.

على سبيل المثال، السلسلة التوافقية

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}}$$

يختلف، بينما النسخة البديلة

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}}$$

يتقارب باختبار المتسلسلة المتناوبة .

لأي متسلسلة، يمكننا إنشاء متسلسلة جديدة بإعادة ترتيب عناصر الجمع. تكون المتسلسلة متقاربة تقاربًا مطلقًا إذا أدى أي إعادة ترتيب إلى إنشاء متسلسلة لها نفس تقارب المتسلسلة الأصلية. المتسلسلات المتقاربة تقاربًا مطلقًا هي متسلسلات متقاربة تقاربًا مطلقًا . لكن تنص نظرية ريمان للمتسلسلات على أنه يمكن إعادة ترتيب المتسلسلات المتقاربة تقاربًا مشروطًا لإنشاء أي تقارب. ^{[ 4 ]} تصف نظرية أغنيو عمليات إعادة الترتيب التي تحافظ على التقارب لجميع المتسلسلات المتقاربة. المبدأ العام هو أن جمع المجاميع اللانهائية يكون تبادليًا فقط للمتسلسلات المتقاربة تقاربًا مطلقًا.

على سبيل المثال، يستغل أحد البراهين الخاطئة التي تثبت أن 1=0 فشل خاصية التجميع للمجاميع اللانهائية.

كمثال آخر، بواسطة متسلسلة ميركاتور$${\displaystyle \ln(2)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\cdots .}$$

لكن بما أن المتسلسلة لا تتقارب تقاربًا مطلقًا، يمكننا إعادة ترتيب الحدود للحصول على متسلسلة لـ${\textstyle {\tfrac {1}{2}}\ln(2)}$: $${\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad \left(1-{\frac {1}{2}}\right)-{\frac {1}{4}}+\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}\right)-{\frac {1}{8}}+\left({\frac {1}{5}}-{\frac {1}{10}}\right)-{\frac {1}{12}}+\cdots \\[8pt]&={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{10}}-{\frac {1}{12}}+\cdots \\[8pt]&={\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}+\cdots \right)={\frac {1}{2}}\ln(2).\end{aligned}}}$$

عمليًا، يمكن تسريع عملية الجمع العددي للمتسلسلة المتناوبة باستخدام أي من تقنيات تسريع المتسلسلات المتنوعة . إحدى أقدم هذه التقنيات هي طريقة جمع أويلر ، وهناك العديد من التقنيات الحديثة التي توفر تقاربًا أسرع.

• سلسلة غراندي
• تكامل نورلوند-رايس

• إيرل د. رينفيل (1967) سلسلة لا نهائية ، الصفحات 73-76، دار نشر ماكميلان .
• وايسشتاين، إريك دبليو. "المتسلسلات المتناوبة" . عالم الرياضيات .