اثنا عشر مضلعًا

📅 آخر تحديث: ٢٦ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٦ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 82 صور
الموسوعة الحرة

في الهندسة ، المضلع ذو الاثني عشر ضلعًا ، أو المضلع ذو الاثني عشر ضلعًا ، هو أي مضلع ذو اثني عشر ضلعًا .

اثنا عشر ضلعًا منتظمًا

يمكن قص ثلاثة مربعات طول ضلعها R وإعادة ترتيبها لتكوين شكل اثني عشري نصف قطر محيطه R ، مما يُعطي برهانًا بدون كلمات على أن مساحته تساوي 3R²

الشكل المنتظم ذو الاثني عشر ضلعًا هو شكل هندسي له أضلاع متساوية الطول وزوايا داخلية متساوية القياس. يتميز باثني عشر محورًا للتناظر الانعكاسي وتناظر دوراني من الرتبة 12. يُرمز للشكل المنتظم ذو الاثني عشر ضلعًا بالرمز {12} وفقًا لتصنيف شلافلي ، ويمكن إنشاؤه على هيئة سداسي مقطوع ، t{6}، أو مثلث مقطوع مرتين ، tt{3}. قياس الزاوية الداخلية عند كل رأس من رؤوس الشكل المنتظم ذي الاثني عشر ضلعًا هو 150 درجة.

منطقة

مساحة الشكل المنتظم ذي الاثني عشر ضلعًا الذي طول ضلعه a تُعطى بالصيغة التالية: أ=3سرير أطفال⁡(π12)أ2=3(2+3)أ2≃11.19615242أ2{\displaystyle {\begin{aligned}A&=3\cot \left({\frac {\pi }{12}}\right)a^{2}=3\left(2+{\sqrt {3}}\right)a^{2}\\&\simeq 11.19615242\,a^{2}\end{aligned}}}

وبالنسبة للعمود r (انظر أيضًا الشكل المرسوم )، فإن المساحة هي: أ=12لون برونزي⁡(π12)ر2=12(2-3)ر2≃3.2153903ر2{\displaystyle {\begin{aligned}A&=12\tan \left({\frac {\pi }{12}}\right)r^{2}=12\left(2-{\sqrt {3}}\right)r^{2}\\&\simeq 3.2153903\,r^{2}\end{aligned}}}

بالنسبة لنصف القطر المحيط R ، تكون المساحة كالتالي: [ 1 ]أ=6الخطيئة⁡(π6)R2=3R2{\displaystyle A=6\sin \left({\frac {\pi }{6}}\right)R^{2}=3R^{2}}

يبلغ طول امتداد المضلع ذي الاثني عشر ضلعًا (S) المسافة بين ضلعين متوازيين، وهو يساوي ضعف طول العمود النازل من الضلع إلى العمود. ويمكن حساب مساحة المضلع (بمعرفة طول الضلع وامتداده) بصيغة بسيطة: أ=3أS{\displaystyle A=3aS} يمكن التحقق من ذلك باستخدام العلاقة المثلثية: S=أ(1+2كوس⁡30∘+2كوس⁡60∘){\displaystyle S=a(1+2\cos {30^{\circ }}+2\cos {60^{\circ }})}

محيط

محيط الشكل المنتظم ذي الاثني عشر ضلعًا بدلالة نصف القطر المحيط هو: [ 2 ]ص=24Rالخطيئة⁡(π12)=12R2-3≃6.21165708246R{\displaystyle {\begin{aligned}p&=24R\sin \left({\frac {\pi }{12}}\right)=12R{\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}\\&\simeq 6.21165708246\,R\end{aligned}}}

المحيط بدلالة العمود هو: ص=24رلون برونزي⁡(π12)=24ر(2-3)≃6.43078061835ر{\displaystyle {\begin{aligned}p&=24r\tan \left({\frac {\pi }{12}}\right)=24r(2-{\sqrt {3}})\\&\simeq 6.43078061835\,r\end{aligned}}} هذا المعامل ضعف المعامل الموجود في معادلة العمود للمساحة. [ 3 ]

بناء ذو ​​اثني عشر شكلاً

بما أن 12 = 2 2 × 3، فإن الشكل المنتظم ذو الاثني عشر ضلعاً يمكن إنشاؤه باستخدام الفرجار والمسطرة :

إنشاء شكل منتظم مكون من اثني عشر ضلعًا حول دائرة معينة
رسم متحرك لشكل منتظم مكون من اثني عشر ضلعًا بطول ضلع محدد. (يشبه هذا الرسم إلى حد كبير رسم شكل ثماني الأضلاع بطول ضلع محدد ).

تشريح

12 مكعبًاتشريح المعين 60
إيزوتوكسال دوديكاجون

يذكر كوكسيتر أن كل مضلع زونوغون (مضلع طوله 2 م، أضلاعه المتقابلة متوازية ومتساوية الطول) يمكن تقسيمه إلى م ( م - 1)/2 متوازي أضلاع. [ 4 ] وينطبق هذا بشكل خاص على المضلعات المنتظمة ذات الأضلاع الزوجية، حيث تكون متوازيات الأضلاع جميعها معينات . بالنسبة للمضلع المنتظم ذي الاثني عشر ضلعًا ، م = 6، ويمكن تقسيمه إلى 15: 3 مربعات، و6 معينات عريضة بزاوية 30 درجة، و6 معينات ضيقة بزاوية 15 درجة. يعتمد هذا التقسيم على إسقاط مضلع بيتري لمكعب سداسي الأضلاع ، ذي 15 وجهًا من أصل 240 وجهًا. تحدد متتالية OEIS A006245 عدد الحلول بـ 908، بما في ذلك الدوران حتى 12 دورة والأشكال الكيرالية في الانعكاس.

التشريح إلى 15 معينًا
6 مكعبات

تُستخدم وحدات الأنماط الرياضية في إنشاء عدد من الأشكال الاثني عشرية المختلفة. [ 5 ] وهي مرتبطة بتقسيمات المعين، حيث يتم دمج 3 معينات بزاوية 60 درجة لتكوين أشكال سداسية، أو أشباه منحرفات نصف سداسية، أو تقسيمها إلى مثلثين متساويي الأضلاع.

عمليات تشريح منتظمة أخرى
تبليط سوكولارقطع نمطية

التناظر

تُظهر هذه الأشكال التناظرات المنتظمة لشكل اثني عشري منتظم، مع تلوين الحواف والرؤوس. يُصنّف جون كونواي هذه التناظرات الدنيا بحرف، ويتبع الحرف ترتيب التناظر. يُعطي الرمز d (قطري، تناظر ثنائي) بخطوط انعكاس تمر بالرؤوس، والرمز p بخطوط انعكاس تمر بالحواف (عمودي، تناظر دائري)، والرمز i بخطوط انعكاس تمر بالرؤوس والحواف (تناظر متساوي)، والرمز g ( دوراني، تناظر دوراني). يُشير الرمز a1 إلى عدم التناظر. تُتيح هذه التناظرات الدنيا درجات حرية في تعريف الأشكال الاثني عشرية غير المنتظمة. [ 6 ]

يتمتع الشكل المنتظم ذو الاثني عشر ضلعًا بتناظر ثنائي السطوح من الرتبة 24. توجد 15 مجموعة فرعية مختلفة من التناظرات ثنائية السطوح والدورية. يسمح كل تناظر من تناظرات المجموعات الفرعية بدرجة حرية واحدة أو أكثر للأشكال غير المنتظمة. المجموعة الفرعية g12 هي الوحيدة التي لا تملك أي درجات حرية، ولكن يمكن اعتبارها حوافًا موجهة .

مثال على الأشكال ذات الاثني عشر ضلعًا بالتناظر
r24
د12g12ص12i8
د6g6ص6د4جي 4ص4
g3د2g2ص2
أ1

حدوث

تبليط

يمكن لشكل منتظم مكون من اثني عشر ضلعًا أن يملأ رأسًا مستويًا بمضلعات منتظمة أخرى بأربع طرق:

3.12.124.6.123.3.4.123.4.3.12

فيما يلي ثلاثة أمثلة على تبليطات مستوية دورية تستخدم أشكالًا منتظمة ذات اثني عشر ضلعًا، محددة بتكوين رؤوسها :

1- موحد2- موحد
Tile 3bb.svg3.12.124.6.123.12.12؛ 3.4.3.12

اثنا عشري منحرف

شكل منتظم منحرف مكون من اثني عشر ضلعاً يُرى على شكل حواف متعرجة لمنشور سداسي مضاد .

المضلع ذو الاثني عشر ضلعًا المائل هو مضلع مائل له 12 رأسًا وضلعًا، لكنه لا يقع على نفس المستوى. ولا يُحدد عادةً الجزء الداخلي لهذا المضلع. أما المضلع ذو الاثني عشر ضلعًا المائل المتعرج، فتتوزع رؤوسه بالتناوب بين مستويين متوازيين.

المضلع الاثني عشري المائل المنتظم متعدٍّ على الرؤوس، وله أطوال أضلاع متساوية. في ثلاثة أبعاد، يكون مضلعًا اثني عشريًا مائلًا متعرجًا، ويمكن رؤيته في رؤوس وأضلاع منشور سداسي مضاد له نفس التناظر D 5d ، [2 + ,10]، من الرتبة 20. كما أن المنشور المضاد الاثني عشري، s{2,24/5}، والمنشور المضاد الاثني عشري المتقاطع، s{2,24/7}، لهما أيضًا مضلعات اثني عشرية مائلة منتظمة.

مضلعات بيتري

يُعدّ المضلع المنتظم ذو الاثني عشر ضلعًا مضلع بتري للعديد من متعددات الوجوه ذات الأبعاد الأعلى، ويُرى كإسقاطات متعامدة في مستويات كوكسيتر . ومن الأمثلة عليه في أربعة أبعاد: المضلع ذو 24 خلية ، والمضلع ذو 24 خلية المقطوع ، والمنشور المزدوج 6-6 ، والهرم المزدوج 6-6 . أما في ستة أبعاد، فهو المضلع المكعب 6 ، والمضلع المتعامد 6 ، والمضلع 2 21 ، والمضلع 1 22. وهو أيضًا مضلع بتري للمضلع الكبير ذو 120 خلية والمضلع النجمي الكبير ذو 120 خلية .

الشكل النجمي ذو الاثني عشر ضلعًا هو شكل نجمي مكون من 12 ضلعًا، ويرمز له بالرمز {12/n}. يوجد شكل نجمي منتظم واحد فقط : {12/5}، يستخدم نفس الرؤوس، ولكنه يربط كل نقطة خامسة. كما توجد ثلاثة أشكال مركبة: {12/2} يُختزل إلى 2{6} على هيئة سداسيين ، و{12/3} يُختزل إلى 3{4} على هيئة ثلاثة مربعات ، و{12/4} يُختزل إلى 4{3} على هيئة أربعة مثلثات، و{12/6} يُختزل إلى 6{2} على هيئة ستة أشكال ثنائية متدهورة .

يمكن أن تؤدي عمليات القطع الأعمق للمضلعات الاثني عشرية المنتظمة والمضلعات الاثني عشرية إلى إنتاج أشكال مضلعية نجمية وسيطة متساوية الزوايا ( متعدية الرؤوس ) ذات رؤوس متساوية التباعد وطولين مختلفين للحواف. المضلع السداسي المقطوع هو مضلع اثني عشري، حيث t{6}={12}. أما المضلع السداسي شبه المقطوع، المقلوب على شكل {6/5}، فهو مضلع اثني عشري: t{6/5}={12/5}. [ 7 ]

أمثلة قيد الاستخدام

في الأحرف الكبيرة ، تتميز الأحرف E و H و X (و I في خط serif ذي الحروف المسطحة ) بخطوط ذات اثني عشر ضلعًا. الصليب هو شكل ذو اثني عشر ضلعًا، وكذلك شعار قسم سيارات شيفروليه .

كنيسة فيرا كروز في سيغوفيا

يُعدّ الشكل الاثني عشري المنتظم سمةً بارزةً في العديد من المباني. فبرج الذهب (Torre del Oro) هو برج مراقبة عسكري ذو شكل اثني عشري في إشبيلية ، جنوب إسبانيا ، بناه الموحدون . كما أن كنيسة فيراكروز في سيغوفيا ، إسبانيا، التي تعود إلى أوائل القرن الثالث عشر، ذات شكل اثني عشري. ومن الأمثلة الأخرى بوابة فينوس (Porta di Venere) في سبيلو ، إيطاليا ، التي بُنيت في القرن الأول قبل الميلاد، وتضم برجين اثني عشريين يُعرفان باسم "برجي بروبرتيوس".

عملة بريطانية من فئة ثلاثة بنسات صدرت عام 1942 ، الوجه الخلفي

تشمل العملات المعدنية الاثني عشرية العادية ما يلي :

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ "مشروع عروض وولفرام" . demos.wolfram.com . تم الاطلاع عليه بتاريخ 4 فبراير 2025 .
  2. ↑ ويليس، كلارنس أديسون (1922). الهندسة المستوية: التجربة، والتصنيف، والاكتشاف، والتطبيق ... شركة بي. بلاكيستون وأبنائه. ص 249. 
  3. ↑ بلايفير، جون (1814). عناصر الهندسة . بيل وبرادفيت. ص 243. 
  4. ↑ كوكسيتر ، الترفيهات الرياضية والمقالات، الطبعة الثالثة عشرة، ص 141
  5. ↑ "Doin' Da' Dodeca'" على موقع mathforum.org
  6. ↑ جون إتش. كونواي، هايدي بورجيل، حاييم غودمان-ستراوس ، (2008) تناظرات الأشياء، ISBN 978-1-56881-220-5(الفصل 20، رموز شيفلي المعممة، أنواع تناظر المضلع، الصفحات 275-278)
  7. ↑ الجانب الممتع من الرياضيات: وقائع مؤتمر يوجين سترينز التذكاري حول الرياضيات الترفيهية وتاريخها، (1994)، تحولات المضلعات ، برانكو غرونباوم