نقطة شتاينر (المثلث)

في هندسة المثلثات ، نقطة شتاينر هي نقطة معينة مرتبطة بمثلث . [ ^1] وهي مركز مثلث ^[2] وتم تحديدها كمركز X(99) في موسوعة مراكز المثلث لكلارك كيمبرلينج . وصف عالم الرياضيات السويسري جاكوب شتاينر (1796-1863) هذه النقطة في عام 1826. أطلق جوزيف نيوبيرج على النقطة اسم شتاينر في عام 1886. ^{[2] [3]}

تم تعريف نقطة شتاينر على النحو التالي. (هذه ليست الطريقة التي عرفها بها شتاينر. ^[2] )

ليكن ABC أي مثلث معطى. وليكن O مركز الدائرة و K نقطة المنتصف للمثلث ABC . الدائرة التي قطرها OK هي دائرة بروكارد للمثلث ABC . الخط المار بـ O العمودي على الخط BC يقطع دائرة بروكارد عند نقطة أخرى A' . الخط المار بـ O العمودي على الخط CA يقطع دائرة بروكارد عند نقطة أخرى B' . الخط المار بـ O العمودي على الخط AB يقطع دائرة بروكارد عند نقطة أخرى C' . (المثلث A'B'C' هو مثلث بروكارد للمثلث ABC ). ليكن L _A هو الخط المار بـ A الموازي للخط B'C' وليكن L _B هو الخط المار بـ B الموازي للخط C'A' وليكن L _C هو الخط المار بـ C الموازي للخط A'B' . إذن تكون الخطوط الثلاثة L _A و L _B و L _C متزامنة . نقطة التزامن هي نقطة شتاينر للمثلث ABC .

في موسوعة مراكز المثلث تم تعريف نقطة شتاينر على النحو التالي؛

ليكن ABC أي مثلث معطى. وليكن O مركز الدائرة و K نقطة المنتصف للمثلث ABC . وليكن l _A انعكاس الخط OK في الخط BC و l _B انعكاس الخط OK في الخط CA و l _C انعكاس الخط OK في الخط AB . وليكن الخطان l _B و l _C يتقاطعان عند A″ ، ويتقاطع الخطان l _C و l _A عند B″ ويتقاطع الخطان l _A و l _B عند C″ . عندئذٍ تكون الخطوط AA″ و BB″ و CC″ متزامنة. ونقطة التزامن هي نقطة شتاينر للمثلث ABC .

الإحداثيات الثلاثية لنقطة شتاينر موضحة أدناه.

⁠ ⁠${\displaystyle bc/(b^{2}-c^{2}):ca/(c^{2}-a^{2}):ab/(a^{2}-b^{2})}$

⁠ ⁠${\displaystyle =b^{2}c^{2}\csc(bC):c^{2}a^{2}\csc(ca):a^{2}b^{2}\csc(ab)}$

1. إن نقطة شتاينر الدائرية للمثلث ABC ، والتي تسمى أيضًا نقطة شتاينر الإهليلجية، هي أصغر القطع الناقص مساحة والتي تمر عبر الرؤوس A و B و C. تقع نقطة شتاينر للمثلث ABC على نقطة شتاينر الدائرية للمثلث ABC .
2. صرح عالم الرياضيات الكندي روس هونسبرجر بما يلي كخاصية لنقطة شتاينر: نقطة شتاينر للمثلث هي مركز كتلة النظام الناتج عن تعليق كتلة عند كل رأس تساوي مقدار الزاوية الخارجية عند تلك الرأس. ^[4] في الواقع، مركز كتلة مثل هذا النظام ليس نقطة شتاينر، بل مركز انحناء شتاينر ، الذي له إحداثيات ثلاثية الخطوط . ^[5] إنه مركز المثلث المحدد بـ X (1115) في موسوعة مراكز المثلث .${\displaystyle \left({\frac {\pi -A}{a}}:{\frac {\pi -B}{b}}:{\frac {\pi -C}{c}}\right)}$
3. خط سيمسون لنقطة شتاينر للمثلث ABC يوازي الخط OK حيث O هو مركز الدائرة و K هي النقطة المتوسطة للمثلث ABC .

ترتبط نقطة تاري للمثلث ارتباطًا وثيقًا بنقطة شتاينر للمثلث. دع ABC يكون أي مثلث معطى. تسمى النقطة الموجودة على الدائرة المحيطة بالمثلث ABC المقابلة قطريًا لنقطة شتاينر للمثلث ABC بنقطة تاري للمثلث ABC . نقطة تاري هي مركز المثلث ويتم تحديدها كمركز X(98) في موسوعة مراكز المثلث . الإحداثيات الثلاثية لنقطة تاري موضحة أدناه:

⁠ ⁠${\displaystyle \sec(A+\omega ):\sec(B+\omega ):\sec(C+\omega )=f(a,b,c):f(b,c,a):f(c,a,b)}$

حيث ω هي زاوية بروكارد للمثلث ABC

و ⁠ ⁠${\displaystyle f(a,b,c)={\frac {bc}{b^{4}+c^{4}-a^{2}b^{2}-a^{2}c^{2}}}}$

على غرار تعريف نقطة شتاينر، يمكن تعريف نقطة تاري على النحو التالي:

ليكن ABC أي مثلث معطى. وليكن A'B'C' مثلث بروكارد للمثلث ABC . وليكن L _A هو الخط المار من A والعمودي على الخط B'C' وليكن L _B هو الخط المار من B والعمودي على الخط C'A' وليكن L _C هو الخط المار من C والعمودي على الخط A'B' . عندئذ تكون الخطوط الثلاثة L _A و L _B و L _C متزامنة . ونقطة التزامن هي نقطة تاري للمثلث ABC .