رقم ستيلا أوكتانجولا

في الرياضيات، يُعرف عدد النجمة الثمانية بأنه عدد شكلي مبني على النجمة الثمانية ، ويأخذ الشكل n (2 n ² − 1) . ^{[ 1 ] [ 2 ]}

تسلسل أرقام النجمة الثمانية هو

0، 1، 14، 51، 124، 245، 426، 679، 1016، 1449، 1990، ... (التسلسل A007588 في OEIS ) ^{[ 1 ]}

اثنان فقط من هذه الأرقام مربعان .

يوجد عددان موجبان فقط في مربع النجمة الثمانية، وهما 1 و 9653449 = 3107 ² = (13 × 239) ² ، واللذان يتوافقان مع n = 1 و n = 169 على التوالي. ^{[ 1 ] [ 3 ]} المنحنى الإهليلجي الذي يصف أعداد مربع النجمة الثمانية،

${\displaystyle m^{2}=n(2n^{2}-1)}$

يمكن وضعها في شكل Weierstrass المكافئ

${\displaystyle x^{2}=y^{3}-2y}$

بتغيير المتغيرات، نحصل على x = 2m و y = 2n. ولأن العاملين n و 2n² ^- 1 للعدد المربع m² أوليان فيما بينهما ، فلا بد أن يكون كل منهما مربعًا ، وبالتالي فإن التغيير الثاني للمتغيرات ^...${\displaystyle X=m/{\sqrt {n}}}$و${\displaystyle Y={\sqrt {n}}}$يؤدي ذلك إلى معادلة ليونغرين

${\displaystyle X^{2}=2Y^{4}-1}$^{[ 3 ]}

تنص نظرية سيجل على أن لكل منحنى إهليلجي عددًا محدودًا من الحلول الصحيحة، وقد وجد ويلهلم ليونغرين ( 1942 ) برهانًا صعبًا يُثبت أن الحلول الصحيحة الوحيدة لمعادلته هي (1،1) و (239،13) ، وهما العددان المربعان لنجمة الأوكتانجولا. ^{[ 4 ]} افترض لويس ج. مورديل إمكانية تبسيط البرهان، ونشر العديد من المؤلفين اللاحقين تبسيطاتٍ له. ^{[ 3 ] [ 5 ] [ 6 ]} 

تظهر أعداد النجمة الثمانية في عائلة بارامترية من الحالات لمسألة السلالم المتقاطعة ، حيث تكون أطوال السلالم وارتفاعاتها، بالإضافة إلى ارتفاع نقطة تقاطعها، جميعها أعدادًا صحيحة. في هذه الحالات، تكون النسبة بين ارتفاعي السلمَين عددًا من أعداد النجمة الثمانية. ^{[ 7 ]}

• وايسشتاين، إريك دبليو ، "عدد ستيلا المثمن" ، عالم الرياضيات