ثوابت ستيلتجس

تتقارب مساحة المنطقة الزرقاء على ثابت أويلر-ماسكيروني ، وهو ثابت ستيلتجس الصفري.

في الرياضيات ، ثوابت ستيلتجس هي الأعداد $\gamma _{k}$ التي تحدث في متسلسلة لوران لتوسيع دالة زيتا لريمان :

\zeta (1+s)={\frac {1}{s}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\gamma _{n}s^{n}.

الثابت $\gamma _{0}=\gamma =0.577\dots$ يُعرف باسم ثابت أويلر-ماسكيروني .

التمثيلات

تُعطى ثوابت ستيلتجس بالنهاية

\gamma _{n}=\lim _{m\to \infty }\left\{\sum _{k=1}^{m}{\frac {(\ln k)^{n}}{k}}-\int _{1}^{m}{\frac {(\ln x)^{n}}{x}}\,dx\right\}=\lim _{m\rightarrow \infty }{\left\{\sum _{k=1}^{m}{\frac {(\ln k)^{n}}{k}}-{\frac {(\ln m)^{n+1}}{n+1}}\right\}}.

(في حالة n = 0، يتطلب الحد الأول تقييم 0 ⁰ ، والذي يعتبر 1.)

تؤدي صيغة كوشي للتفاضل إلى التمثيل التكاملي

\gamma _{n}={\frac {(-1)^{n}n!}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{-nix}\zeta \left(e^{ix}+1\right)dx.

تُقدَّم تمثيلاتٌ متنوعةٌ بدلالة التكاملات والمتسلسلات اللانهائية في أعمال جنسن ، وفرانيل، وهيرميت ، وهاردي ، ورامانوجان ، وأينسورث، وهويل، وكوبو، وكونون، وكوفي، وشوي، وبلاغوشين، وبعض المؤلفين الآخرين. ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}^{[ 6 ]} وعلى وجه الخصوص، تنص صيغة جنسن-فرانيل التكاملية، التي تُنسب خطأً في كثير من الأحيان إلى أينسورث وهويل، على ما يلي:

\gamma _{n}={\frac {1}{2}}\delta _{n,0}+{\frac {1}{i}}\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{e^{2\pi x}-1}}\left\{{\frac {(\ln(1-ix))^{n}}{1-ix}}-{\frac {(\ln(1+ix))^{n}}{1+ix}}\right\}\,,\qquad \quad n=0,1,2,\ldots

حيث δ _n,k هو رمز كرونكر (دلتا كرونكر) . ^{[ 5 ]}^{[ 6 ]} من بين الصيغ الأخرى، نجد

\gamma _{n}=-{\frac {\pi }{2(n+1)}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\left(\ln \left({\frac {1}{2}}\pm ix\right)\right)^{n+1}}{\cosh ^{2}\pi x}}\,dx\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad n=0,1,2,\ldots

{\begin{array}{l}\displaystyle \gamma _{1}=-\left[\gamma -{\frac {\ln 2}{2}}\right]\ln 2+i\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{e^{\pi x}+1}}\left\{{\frac {\ln(1-ix)}{1-ix}}-{\frac {\ln(1+ix)}{1+ix}}\right\}\\[6mm]\displaystyle \gamma _{1}=-\gamma ^{2}-\int _{0}^{\infty }\left[{\frac {1}{1-e^{-x}}}-{\frac {1}{x}}\right]e^{-x}\ln x\,dx\end{array}}

انظر. ^{[ 1 ]}^{[ 5 ]}^{[ 7 ]}

فيما يتعلق بتمثيلات السلاسل، قدم هاردي في عام 1912 سلسلة مشهورة تستخدم جزءًا صحيحًا من اللوغاريتم ^[⁸^].

\gamma _{1}={\frac {\ln 2}{2}}\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}\lfloor \log _{2}{k}\rfloor \cdot \left(2\log _{2}{k}-\lfloor \log _{2}{2k}\rfloor \right)

قدم إسرائيلوف ^{[ 9 ]} متسلسلات شبه متقاربة بدلالة أعداد برنولي $B_{2k}$

\gamma _{m}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {(\ln k)^{m}}{k}}-{\frac {(\ln n)^{m+1}}{m+1}}-{\frac {(\ln n)^{m}}{2n}}-\sum _{k=1}^{N-1}{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}\left[{\frac {(\ln x)^{m}}{x}}\right]_{x=n}^{(2k-1)}-\theta \cdot {\frac {B_{2N}}{(2N)!}}\left[{\frac {(\ln x)^{m}}{x}}\right]_{x=n}^{(2N-1)}\,,\qquad 0<\theta <1

قدم كل من كونون ^{[ 10 ]} ، وبلاغوشين ^{[ 6 ]}^{، [ 11 ]} ، وكوبو ^{[ 1 ]} عدة متسلسلات ذات معاملات ذات الحدين.

{\begin{array}{l}\displaystyle \gamma _{m}=-{\frac {1}{m+1}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}(\ln(k+1))^{m+1}\\[7mm]\displaystyle \gamma _{m}=-{\frac {1}{m+1}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+2}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}{\frac {(\ln(k+1))^{m+1}}{k+1}}\\[7mm]\displaystyle \gamma _{m}=-{\frac {1}{m+1}}\sum _{n=0}^{\infty }H_{n+1}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}(\ln(k+2))^{m+1}\\[7mm]\displaystyle \gamma _{m}=\sum _{n=0}^{\infty }\left|G_{n+1}\right|\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}{\frac {(\ln(k+1))^{m}}{k+1}}\end{array}}

حيث تمثل G _n معاملات غريغوري ، والمعروفة أيضًا بالأعداد اللوغاريتمية المقلوبة ( G ₁ = +1/2، G ₂ = -1/12 ، G ₃ = +1/24، G ₄ = -19/720 ، ...). وتشمل المتسلسلات الأكثر عمومية من نفس النوع هذه الأمثلة ^{[ 11 ] .}

\gamma _{m}=-{\frac {(\ln(1+a))^{m+1}}{m+1}}+\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\psi _{n+1}(a)\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}{\frac {(\ln(k+1))^{m}}{k+1}},\quad \Re (a)>-1

و

\gamma _{m}=-{\frac {1}{r(m+1)}}\sum _{l=0}^{r-1}(\ln(1+a+l))^{m+1}+{\frac {1}{r}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}N_{n+1,r}(a)\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}{\frac {(\ln(k+1))^{m}}{k+1}},\quad \Re (a)>-1,\;r=1,2,3,\ldots

أو

\gamma _{m}=-{\frac {1}{{\tfrac {1}{2}}+a}}\left\{{\frac {(-1)^{m}}{m+1}}\,\zeta ^{(m+1)}(0,1+a)-(-1)^{m}\zeta ^{(m)}(0)-\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\psi _{n+2}(a)\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}{\frac {(\ln(k+1))^{m}}{k+1}}\right\},\quad \Re (a)>-1

حيث $ψ n (a)$ هي كثيرات حدود برنولي من النوع الثاني ، و $N n,r (a)$ هي كثيرات الحدود المعطاة بالمعادلة المولدة

{\frac {(1+z)^{a+m}-(1+z)^{a}}{\ln(1+z)}}=\sum _{n=0}^{\infty }N_{n,m}(a)z^{n},\qquad |z|<1,

على التوالي (لاحظ أن $N n,1 (a) = ψ n (a)$ ). ^{[ 12 ]} أظهر أولوا وتوراسو ^{[ 13 ]} أن المتسلسلات ذات الأعداد التوافقية قد تؤدي إلى ثوابت ستيلتجس

{\begin{array}{l}\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}-(\gamma +\ln n)}{n}}=-\gamma _{1}-{\frac {1}{2}}\gamma ^{2}+{\frac {1}{12}}\pi ^{2}\\[6mm]\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}^{2}-(\gamma +\ln n)^{2}}{n}}=-\gamma _{2}-2\gamma \gamma _{1}-{\frac {2}{3}}\gamma ^{3}+{\frac {5}{3}}\zeta (3)\end{array}}

حصل بلاغوشين ^{[ 6 ]} على متسلسلات متقاربة ببطء تتضمن أعداد ستيرلينغ غير الموقعة من النوع الأول $\left[{\cdot \atop \cdot }\right]$

\gamma _{m}={\frac {1}{2}}\delta _{m,0}+{\frac {(-1)^{m}m!}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n\cdot n!}}\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\frac {(-1)^{k}\cdot \left[{2k+2 \atop m+1}\right]\cdot \left[{n \atop 2k+1}\right]}{(2\pi )^{2k+1}}}\,,\qquad m=0,1,2,...,

بالإضافة إلى المتسلسلات شبه المتقاربة ذات الحدود النسبية فقط

\gamma _{m}={\frac {1}{2}}\delta _{m,0}+(-1)^{m}m!\cdot \sum _{k=1}^{N}{\frac {\left[{2k \atop m+1}\right]\cdot B_{2k}}{(2k)!}}+\theta \cdot {\frac {(-1)^{m}m!\cdot \left[{2N+2 \atop m+1}\right]\cdot B_{2N+2}}{(2N+2)!}},\qquad 0<\theta <1,

حيث m = 0، 1، 2، ... وعلى وجه الخصوص، فإن متسلسلة ثابت ستيلتجس الأول لها شكل بسيط بشكل مدهش

\gamma _{1}=-{\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}{\frac {B_{2k}\cdot H_{2k-1}}{k}}+\theta \cdot {\frac {B_{2N+2}\cdot H_{2N+1}}{2N+2}},\qquad 0<\theta <1,

حيث H _<sub>n </sub> هو العدد التوافقي النوني . [ ⁶^]^ترد متسلسلات أكثر تعقيدًا لثوابت ستيلتجس في أعمال ليمر، وليانغ، وتود، ولافريك، وإسرائيلوف، وستانكوس، وكيبر، ونان-يو، وويليامز، وكوفي. ^[²^]^[³^]^[⁶^]

الحدود والنمو التقاربي

تحقق ثوابت ستيلتجس الحدّ

|\gamma _{n}|\leq {\begin{cases}\displaystyle {\frac {2(n-1)!}{\pi ^{n}}}\,,\qquad &n=1,3,5,\ldots \\[3mm]\displaystyle {\frac {4(n-1)!}{\pi ^{n}}}\,,\qquad &n=2,4,6,\ldots \end{cases}}

^{[ 14 ]} تم الحصول على حدود أفضل من حيث الدوال الأولية بواسطة لافريك ^{[ 15 ]}

|\gamma _{n}|\leq {\frac {n!}{2^{n+1}}},\qquad n=1,2,3,\ldots

بقلم إسرائيلوف ^{[ 9 ]}

|\gamma _{n}|\leq {\frac {n!C(k)}{(2k)^{n}}},\qquad n=1,2,3,\ldots

مع k = 1، 2، ... و C (1) = 1/2، C (2) = 7/12، ... ، بواسطة نان يو وويليامز ^{[ 16 ]}

|\gamma _{n}|\leq {\begin{cases}\displaystyle {\frac {2(2n)!}{n^{n+1}(2\pi )^{n}}}\,,\qquad &n=1,3,5,\ldots \\[4mm]\displaystyle {\frac {4(2n)!}{n^{n+1}(2\pi )^{n}}}\,,\qquad &n=2,4,6,\ldots \end{cases}}

بقلم بلاغوشين ^{[ 6 ]}

{\begin{array}{ll}\displaystyle -{\frac {{\big |}{B}_{m+1}{\big |}}{m+1}}<\gamma _{m}<{\frac {(3m+8)\cdot {\big |}{B}_{m+3}{\big |}}{24}}-{\frac {{\big |}{B}_{m+1}{\big |}}{m+1}},&m=1,5,9,\ldots \\[12pt]\displaystyle {\frac {{\big |}B_{m+1}{\big |}}{m+1}}-{\frac {(3m+8)\cdot {\big |}B_{m+3}{\big |}}{24}}<\gamma _{m}<{\frac {{\big |}{B}_{m+1}{\big |}}{m+1}},&m=3,7,11,\ldots \\[12pt]\displaystyle -{\frac {{\big |}{B}_{m+2}{\big |}}{2}}<\gamma _{m}<{\frac {(m+3)(m+4)\cdot {\big |}{B}_{m+4}{\big |}}{48}}-{\frac {{\big |}B_{m+2}{\big |}}{2}},\qquad &m=2,6,10,\ldots \\[12pt]\displaystyle {\frac {{\big |}{B}_{m+2}{\big |}}{2}}-{\frac {(m+3)(m+4)\cdot {\big |}{B}_{m+4}{\big |}}{48}}<\gamma _{m}<{\frac {{\big |}{B}_{m+2}{\big |}}{2}},&m=4,8,12,\ldots \\\end{array}}

حيث B _n هي أعداد برنولي ، وبحسب ماتسوكا ^{[ 17 ]}^{[ 18 ]}

|\gamma _{n}|<10^{-4}e^{n\ln \ln n}\,,\qquad n=5,6,7,\ldots

فيما يتعلق بالتقديرات التي تعتمد على الدوال والحلول غير الأولية، فقد حصل كل من كنيسل وكوفي ^{[ 19 ]} وفقيه أحمد ^{[ 20 ]} على نتائج دقيقة للغاية. على سبيل المثال، قدم كنيسل وكوفي الصيغة التالية التي تقارب ثوابت ستيلتجس بشكل جيد نسبيًا لقيم n الكبيرة . ^{[ 19 ]} إذا كان v هو الحل الوحيد لـ

2\pi \exp(v\tan v)=n{\frac {\cos(v)}{v}}

مع $0<v<\pi /2$ وإذا $u=v\tan v$ ، ثم

\gamma _{n}\sim {\frac {B}{\sqrt {n}}}e^{nA}\cos(an+b)

أين

A={\frac {1}{2}}\ln(u^{2}+v^{2})-{\frac {u}{u^{2}+v^{2}}}

B={\frac {2{\sqrt {2\pi }}{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}}{[(u+1)^{2}+v^{2}]^{1/4}}}

a=\tan ^{-1}\left({\frac {v}{u}}\right)+{\frac {v}{u^{2}+v^{2}}}

b=\tan ^{-1}\left({\frac {v}{u}}\right)-{\frac {1}{2}}\left({\frac {v}{u+1}}\right).

حتى n = 100000، يتنبأ تقريب Knessl-Coffey بشكل صحيح بإشارة γ _n باستثناء واحد هو n = 137. ^{[ 19 ]}

في عام 2022، قدم ك. ماسلانكا ^{[ 21 ]} صيغة تقريبية لثوابت ستيلتجس، وهي أبسط وأكثر دقة من الصيغ المعروفة سابقًا. وعلى وجه الخصوص، فإنها تعيد إنتاج القيمة الإشكالية لـ n = 137 بخطأ صغير نسبيًا.

أي عندما $n>>1$

\gamma _{n}\sim {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}n!\mathrm {Re} {\frac {\Gamma \left(s_{n}\right)e^{-cs_{n}}}{\left(s_{n}\right)^{n}{\sqrt {n+s_{n}+{\frac {3}{2}}}}}}

أين $s_{n}$ هي نقاط السرج:

s_{n}={\frac {n+{\frac {3}{2}}}{W\left(\pm {\frac {n+{\frac {3}{2}}}{2\pi i}}\right)}}

$W$ هي دالة لامبرت و $c$ ثابت:

c=\log(2\pi )+{\frac {\pi }{2}}i

تعريف "مرحلة" معقدة $\varphi _{n}$

\varphi _{n}\equiv {\frac {1}{2}}\ln(8\pi )-n+(n+{\frac {1}{2}})\ln(n)+(s_{n}-n-{\frac {1}{2}})\ln \left(s_{n}\right)-{\frac {1}{2}}\ln \left(n+s_{n}\right)-(c+1)s_{n}

نحصل على تعبير بسيط بشكل خاص حيث يمكن رؤية كل من السعة المتزايدة بسرعة والتذبذبات بوضوح:

\gamma _{n}\sim \mathrm {Re} \left[e^{\varphi _{n}}\right]=e^{\mathrm {Re} \varphi _{n}}\cos \left(\mathrm {Im} \varphi _{n}\right)

القيم العددية

القيم القليلة الأولى هي ^{[ 22 ]}

ن	القيمة التقريبية لـ γ _n	OEIS
0	+0.5772156649015328606065120900824024310421593359	A001620
1	- 0.0728158454836767248605863758749013191377363383	A082633
2	- 0.0096903631928723184845303860352125293590658061	A086279
3	+0.0020538344203033458661600465427533842857158044	A086280
4	+0.0023253700654673000574681701775260680009044694	A086281
5	+0.0007933238173010627017533348774444448307315394	A086282
6	- 0.0002387693454301996098724218419080042777837151	A183141
7	- 0.0005272895670577510460740975054788582819962534	A183167
8	- 0.0003521233538030395096020521650012087417291805	A183206
9	- 0.0000343947744180880481779146237982273906207895	A184853
10	+0.0002053328149090647946837222892370653029598537	A184854
100	− 4.2534015717080269623144385197278358247028931053 × 10 ¹⁷
1000	− 1.5709538442047449345494023425120825242380299554 × 10 ⁴⁸⁶
10000	− 2.2104970567221060862971082857536501900234397174 × 10 ⁶⁸⁸³
100000	+1.9919273063125410956582272431568589205211659777 × 10 ⁸³⁴³²

ثابت ستيلتجس النوني موجب لـ

n = 0, 3, 4, 5, 10, 11, 12, 17, 18, 19, 20, 21, 26, 27, 28, 29, 30, ... (التسلسل A394583 في OEIS )

وسلبية لـ

n = 1, 2, 6, 7, 8, 9, 13, 14, 15, 16, 22, 23, 24, 25, 31, 32, 33, 34, 35, ... (التسلسل A395455 في OEIS )

بالنسبة لقيم n الكبيرة ، تنمو ثوابت ستيلتجس بسرعة في القيمة المطلقة، وتغير إشاراتها بنمط معقد.

يمكن الاطلاع على مزيد من المعلومات المتعلقة بالتقييم العددي لثوابت ستيلتجس في أعمال كيبر ^{[ 23 ]} ، وكريمينسكي ^{[ 24 ]} ، وبلوف ^{[ 25 ]} ، ويوهانسون ^{[ 26 ]}^{[ 27}^] ، وبلاغوشين ^{[ 27}^] . في البداية، قدم يوهانسون قيمًا لثوابت ستيلتجس حتى n = 100000، بدقة تتجاوز 10000 رقم لكل قيمة (يمكن استخراج القيم العددية من قاعدة بيانات LMFDB) .لاحقًا، ابتكر يوهانسون وبلاغوشين خوارزمية فعّالة للغاية لحساب ثوابت ستيلتجس المعممة (انظر أدناه) لقيم $n الكبيرة و$ $a$ المركبة ، والتي يمكن استخدامها أيضًا لحساب ثوابت ستيلتجس العادية. ^{[ 27 ]} على وجه الخصوص، تسمح هذه الخوارزمية بحساب $γn بدقة$ تصل إلى 1000 رقم في دقيقة واحدة لأي قيمة $n$ حتى $n = 10^100$ .

ثوابت ستيلتجس المعممة

معلومات عامة

وبشكل أعم، يمكن تعريف ثوابت ستيلتجس γ _n (a) التي تظهر في توسيع سلسلة لوران لدالة زيتا هورويتز :

\zeta (s,a)={\frac {1}{s-1}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\gamma _{n}(a)(s-1)^{n}.

هنا ، a عدد مركب حيث Re( a ) > 0. بما أن دالة زيتا لهرويتز هي تعميم لدالة زيتا لريمان، فإن γn ₍ 1) = γn _. الثابت الصفري هو ببساطة دالة ديغاما γ0 (a) = -Ψ(a)، _[^{28 ] بينما} لا يُعرف أن الثوابت الأخرى قابلة للاختزال إلى أي دالة تحليلية أولية أو كلاسيكية. ومع ذلك، توجد تمثيلات عديدة لها. على سبيل المثال، يوجد التمثيل التقاربي التالي.

\gamma _{n}(a)=\lim _{m\to \infty }\left\{\sum _{k=0}^{m}{\frac {(\ln(k+a))^{n}}{k+a}}-{\frac {(\ln(m+a))^{n+1}}{n+1}}\right\},\qquad {\begin{array}{l}n=0,1,2,\ldots \\[1mm]a\neq 0,-1,-2,\ldots \end{array}}

بسبب بيرندت وويلتون. الصيغة المماثلة لصيغة جنسن-فرانيل لثابت ستيلتجس المعمم هي صيغة هيرميت ^{[ 5 ]}

\gamma _{n}(a)=\left[{\frac {1}{2a}}-{\frac {\ln {a}}{n+1}}\right](\ln a)^{n}-i\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{e^{2\pi x}-1}}\left\{{\frac {(\ln(a-ix))^{n}}{a-ix}}-{\frac {(\ln(a+ix))^{n}}{a+ix}}\right\},\qquad {\begin{array}{l}n=0,1,2,\ldots \\[1mm]\Re (a)>0\end{array}}

يتم تقديم تمثيلات مماثلة بواسطة الصيغ التالية: ^{[ 27 ]}

\gamma _{n}(a)=-{\frac {{\big (}\ln(a-{\frac {1}{2}}){\big )}^{n+1}}{n+1}}+i\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{e^{2\pi x}+1}}\left\{{\frac {{\big (}\ln(a-{\frac {1}{2}}-ix){\big )}^{n}}{a-{\frac {1}{2}}-ix}}-{\frac {{\big (}\ln(a-{\frac {1}{2}}+ix){\big )}^{n}}{a-{\frac {1}{2}}+ix}}\right\},\qquad {\begin{array}{l}n=0,1,2,\ldots \\[1mm]\Re (a)>{\frac {1}{2}}\end{array}}

و

\gamma _{n}(a)=-{\frac {\pi }{2(n+1)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {{\big (}\ln(a-{\frac {1}{2}}-ix){\big )}^{n+1}+{\big (}\ln(a-{\frac {1}{2}}+ix){\big )}^{n+1}}{{\big (}\cosh(\pi x){\big )}^{2}}}\,dx,\qquad {\begin{array}{l}n=0,1,2,\ldots \\[1mm]\Re (a)>{\frac {1}{2}}\end{array}}

تحقق ثوابت ستيلتجس المعممة علاقة التكرار التالية

\gamma _{n}(a+1)=\gamma _{n}(a)-{\frac {(\ln a)^{n}}{a}}\,,\qquad {\begin{array}{l}n=0,1,2,\ldots \\[1mm]a\neq 0,-1,-2,\ldots \end{array}}

بالإضافة إلى نظرية الضرب

\sum _{l=0}^{n-1}\gamma _{p}\left(a+{\frac {l}{n}}\right)=(-1)^{p}n\left[{\frac {\ln n}{p+1}}-\Psi (an)\right](\ln n)^{p}+n\sum _{r=0}^{p-1}(-1)^{r}{\binom {p}{r}}\gamma _{p-r}(an)\cdot (\ln n)^{r}\,,\qquad \qquad n=2,3,4,\ldots

أين ${\binom {p}{r}}$ يشير إلى معامل ذي الحدين (انظر ^{[ 29 ]} و ^{[ 30 ]} الصفحات 101-102).

أول ثابت ستيلتجس معمّم

يتمتع ثابت ستيلتجس المعمم الأول بعدد من الخصائص الرائعة.

متطابقة مالمستين (صيغة الانعكاس لثوابت ستيلتجس المعممة الأولى): تأخذ صيغة الانعكاس لثابت ستيلتجس المعمم الأول الشكل التالي

\gamma _{1}{\biggl (}{\frac {m}{n}}{\biggr )}-\gamma _{1}{\biggl (}1-{\frac {m}{n}}{\biggr )}=2\pi \sum _{l=1}^{n-1}\sin {\frac {2\pi ml}{n}}\cdot \ln \Gamma {\biggl (}{\frac {l}{n}}{\biggr )}-\pi (\gamma +\ln 2\pi n)\cot {\frac {m\pi }{n}}

حيث m و n عددان صحيحان موجبان بحيث m < n . نُسبت هذه الصيغة لفترة طويلة إلى ألمكفيست وميورمان اللذين استنتجاها في تسعينيات القرن العشرين. ^{[ 31 ]} ومع ذلك، فقد ذُكر مؤخرًا أن هذه المتطابقة، وإن كانت بصيغة مختلفة قليلاً، قد حصل عليها كارل مالمستين لأول مرة عام 1846. ^{[ 5 ]}^{[ 32 ]}

نظرية الحجج النسبية: يمكن تقييم ثابت ستيلتجس المعمم الأول عند حجة نسبية في شكل شبه مغلق عبر الصيغة التالية:

{\begin{array}{ll}\displaystyle \gamma _{1}{\biggl (}{\frac {r}{m}}{\biggr )}=&\displaystyle \gamma _{1}+\gamma ^{2}+\gamma \ln 2\pi m+\ln 2\pi \cdot \ln {m}+{\frac {1}{2}}(\ln m)^{2}+(\gamma +\ln 2\pi m)\cdot \Psi \left({\frac {r}{m}}\right)\\[5mm]\displaystyle &\displaystyle \qquad +\pi \sum _{l=1}^{m-1}\sin {\frac {2\pi rl}{m}}\cdot \ln \Gamma {\biggl (}{\frac {l}{m}}{\biggr )}+\sum _{l=1}^{m-1}\cos {\frac {2\pi rl}{m}}\cdot \zeta ''\left(0,{\frac {l}{m}}\right)\end{array}}\,,\qquad \quad r=1,2,3,\ldots ,m-1\,.

انظر بلاغوشين. ^{[ 5 ]}^{[ 28 ]} تم اقتراح برهان بديل لاحقًا من قبل كوفي ^{[ 33 ]} والعديد من المؤلفين الآخرين.

المجاميع المنتهية: توجد العديد من صيغ الجمع لثوابت ستيلتجس المعممة الأولى. على سبيل المثال،

{\begin{array}{ll}\displaystyle \sum _{r=0}^{m-1}\gamma _{1}\left(a+{\frac {r}{m}}\right)=m\ln {m}\cdot \Psi (am)-{\frac {m}{2}}(\ln m)^{2}+m\gamma _{1}(am)\,,\qquad a\in \mathbb {C} \\[6mm]\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\gamma _{1}\left({\frac {r}{m}}\right)=(m-1)\gamma _{1}-m\gamma \ln {m}-{\frac {m}{2}}(\ln m)^{2}\\[6mm]\displaystyle \sum _{r=1}^{2m-1}(-1)^{r}\gamma _{1}{\biggl (}{\frac {r}{2m}}{\biggr )}=-\gamma _{1}+m(2\gamma +\ln 2+2\ln m)\ln 2\\[6mm]\displaystyle \sum _{r=0}^{2m-1}(-1)^{r}\gamma _{1}{\biggl (}{\frac {2r+1}{4m}}{\biggr )}=m\left\{4\pi \ln \Gamma {\biggl (}{\frac {1}{4}}{\biggr )}-\pi {\big (}4\ln 2+3\ln \pi +\ln m+\gamma {\big )}\right\}\\[6mm]\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\gamma _{1}{\biggl (}{\frac {r}{m}}{\biggr )}\cdot \cos {\dfrac {2\pi rk}{m}}=-\gamma _{1}+m(\gamma +\ln 2\pi m)\ln \left(2\sin {\frac {k\pi }{m}}\right)+{\frac {m}{2}}\left\{\zeta ''\left(0,{\frac {k}{m}}\right)+\zeta ''\left(0,1-{\frac {k}{m}}\right)\right\}\,,\qquad k=1,2,\ldots ,m-1\\[6mm]\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\gamma _{1}{\biggl (}{\frac {r}{m}}{\biggr )}\cdot \sin {\dfrac {2\pi rk}{m}}={\frac {\pi }{2}}(\gamma +\ln 2\pi m)(2k-m)-{\frac {\pi m}{2}}\left\{\ln \pi -\ln \sin {\frac {k\pi }{m}}\right\}+m\pi \ln \Gamma {\biggl (}{\frac {k}{m}}{\biggr )}\,,\qquad k=1,2,\ldots ,m-1\\[6mm]\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\gamma _{1}{\biggl (}{\frac {r}{m}}{\biggr )}\cdot \cot {\frac {\pi r}{m}}=\displaystyle {\frac {\pi }{6}}{\Big \{}(1-m)(m-2)\gamma +2(m^{2}-1)\ln 2\pi -(m^{2}+2)\ln {m}{\Big \}}-2\pi \sum _{l=1}^{m-1}l\cdot \ln \Gamma \left({\frac {l}{m}}\right)\\[6mm]\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}{\frac {r}{m}}\cdot \gamma _{1}{\biggl (}{\frac {r}{m}}{\biggr )}={\frac {1}{2}}\left\{(m-1)\gamma _{1}-m\gamma \ln {m}-{\frac {m}{2}}(\ln m)^{2}\right\}-{\frac {\pi }{2m}}(\gamma +\ln 2\pi m)\sum _{l=1}^{m-1}l\cdot \cot {\frac {\pi l}{m}}-{\frac {\pi }{2}}\sum _{l=1}^{m-1}\cot {\frac {\pi l}{m}}\cdot \ln \Gamma {\biggl (}{\frac {l}{m}}{\biggr )}\end{array}}

لمزيد من التفاصيل وصيغ الجمع الإضافية، انظر ^{[ 5 ]}^{[ 30 ]}

بعض القيم المحددة: يمكن اختزال بعض القيم المحددة لثابت ستيلتجس المعمم الأول عند الوسائط النسبية إلى دالة غاما ، وثابت ستيلتجس الأول، والدوال الأولية. على سبيل المثال،

\gamma _{1}\left({\frac {1}{2}}\right)=-2\gamma \ln 2-(\ln 2)^{2}+\gamma _{1}=-1.353459680\ldots

عند النقاط 1/4 و 3/4 و 1/3، تم الحصول على قيم ثوابت ستيلتجس المعممة الأولى بشكل مستقل بواسطة كونون ^{[ 34 ]} وبلاغوشين: ^{[ 30 ]}

{\begin{array}{l}\displaystyle \gamma _{1}\left({\frac {1}{4}}\right)=2\pi \ln \Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)-{\frac {3\pi }{2}}\ln \pi -{\frac {7}{2}}(\ln 2)^{2}-(3\gamma +2\pi )\ln 2-{\frac {\gamma \pi }{2}}+\gamma _{1}=-5.518076350\ldots \\[6mm]\displaystyle \gamma _{1}\left({\frac {3}{4}}\right)=-2\pi \ln \Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)+{\frac {3\pi }{2}}\ln \pi -{\frac {7}{2}}(\ln 2)^{2}-(3\gamma -2\pi )\ln 2+{\frac {\gamma \pi }{2}}+\gamma _{1}=-0.3912989024\ldots \\[6mm]\displaystyle \gamma _{1}\left({\frac {1}{3}}\right)=-{\frac {3\gamma }{2}}\ln 3-{\frac {3}{4}}(\ln 3)^{2}+{\frac {\pi }{4{\sqrt {3}}}}\left\{\ln 3-8\ln 2\pi -2\gamma +12\ln \Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)\right\}+\gamma _{1}=-3.259557515\ldots \end{array}}

عند النقاط 2/3 و 1/6 و 5/6:

{\begin{array}{l}\displaystyle \gamma _{1}\left({\frac {2}{3}}\right)=-{\frac {3\gamma }{2}}\ln 3-{\frac {3}{4}}(\ln 3)^{2}-{\frac {\pi }{4{\sqrt {3}}}}\left\{\ln 3-8\ln 2\pi -2\gamma +12\ln \Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)\right\}+\gamma _{1}=-0.5989062842\ldots \\[6mm]\displaystyle \gamma _{1}\left({\frac {1}{6}}\right)=-{\frac {3\gamma }{2}}\ln 3-{\frac {3}{4}}(\ln 3)^{2}-(\ln 2)^{2}-(3\ln 3+2\gamma )\ln 2+{\frac {3\pi {\sqrt {3}}}{2}}\ln \Gamma \left({\frac {1}{6}}\right)\\[5mm]\displaystyle \qquad \qquad \quad -{\frac {\pi }{2{\sqrt {3}}}}\left\{3\ln 3+11\ln 2+{\frac {15}{2}}\ln \pi +3\gamma \right\}+\gamma _{1}=-10.74258252\ldots \\[6mm]\displaystyle \gamma _{1}\left({\frac {5}{6}}\right)=-{\frac {3\gamma }{2}}\ln 3-{\frac {3}{4}}(\ln 3)^{2}-(\ln 2)^{2}-(3\ln 3+2\gamma )\ln 2-{\frac {3\pi {\sqrt {3}}}{2}}\ln \Gamma \left({\frac {1}{6}}\right)\\[6mm]\displaystyle \qquad \qquad \quad +{\frac {\pi }{2{\sqrt {3}}}}\left\{3\ln 3+11\ln 2+{\frac {15}{2}}\ln \pi +3\gamma \right\}+\gamma _{1}=-0.2461690038\ldots \end{array}}

تم حساب هذه القيم بواسطة بلاغوشين، ^{[ 30 ]} وبفضله لدينا أيضًا ما يلي:

{\begin{array}{ll}\displaystyle \gamma _{1}{\biggl (}{\frac {1}{5}}{\biggr )}=&\displaystyle \gamma _{1}+{\frac {\sqrt {5}}{2}}\left\{\zeta ''\left(0,{\frac {1}{5}}\right)+\zeta ''\left(0,{\frac {4}{5}}\right)\right\}+{\frac {\pi {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}{2}}\ln \Gamma {\biggl (}{\frac {1}{5}}{\biggr )}\\[5mm]&\displaystyle +{\frac {\pi {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}}{2}}\ln \Gamma {\biggl (}{\frac {2}{5}}{\biggr )}+\left\{{\frac {\sqrt {5}}{2}}\ln {2}-{\frac {\sqrt {5}}{2}}\ln {\big (}1+{\sqrt {5}}{\big )}-{\frac {5}{4}}\ln 5-{\frac {\pi {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}}{10}}\right\}\cdot \gamma \\[5mm]&\displaystyle -{\frac {\sqrt {5}}{2}}\left\{\ln 2+\ln 5+\ln \pi +{\frac {\pi {\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}}{10}}\right\}\cdot \ln {\big (}1+{\sqrt {5}})+{\frac {\sqrt {5}}{2}}(\ln 2)^{2}+{\frac {{\sqrt {5}}{\big (}1-{\sqrt {5}}{\big )}}{8}}(\ln 5)^{2}\\[5mm]&\displaystyle +{\frac {3{\sqrt {5}}}{4}}\ln 2\cdot \ln 5+{\frac {\sqrt {5}}{2}}\ln 2\cdot \ln \pi +{\frac {\sqrt {5}}{4}}\ln 5\cdot \ln \pi -{\frac {\pi {\big (}2{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}+5{\sqrt {25+2{\sqrt {5}}}}{\big )}}{20}}\ln 2\\[5mm]&\displaystyle -{\frac {\pi {\big (}4{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}-5{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}{\big )}}{40}}\ln 5-{\frac {\pi {\big (}5{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{\big )}}{10}}\ln \pi \\[5mm]&\displaystyle =-8.030205511\ldots \\[6mm]\displaystyle \gamma _{1}{\biggl (}{\frac {1}{8}}{\biggr )}=&\displaystyle \gamma _{1}+{\sqrt {2}}\left\{\zeta ''\left(0,{\frac {1}{8}}\right)+\zeta ''\left(0,{\frac {7}{8}}\right)\right\}+2\pi {\sqrt {2}}\ln \Gamma {\biggl (}{\frac {1}{8}}{\biggr )}-\pi {\sqrt {2}}{\big (}1-{\sqrt {2}}{\big )}\ln \Gamma {\biggl (}{\frac {1}{4}}{\biggr )}\\[5mm]&\displaystyle -\left\{{\frac {1+{\sqrt {2}}}{2}}\pi +4\ln {2}+{\sqrt {2}}\ln {\big (}1+{\sqrt {2}}{\big )}\right\}\cdot \gamma -{\frac {1}{\sqrt {2}}}{\big (}\pi +8\ln 2+2\ln \pi {\big )}\cdot \ln {\big (}1+{\sqrt {2}})\\[5mm]&\displaystyle -{\frac {7{\big (}4-{\sqrt {2}}{\big )}}{4}}(\ln 2)^{2}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}\ln 2\cdot \ln \pi -{\frac {\pi {\big (}10+11{\sqrt {2}}{\big )}}{4}}\ln 2-{\frac {\pi {\big (}3+2{\sqrt {2}}{\big )}}{2}}\ln \pi \\[5mm]&\displaystyle =-16.64171976\ldots \\[6mm]\displaystyle \gamma _{1}{\biggl (}{\frac {1}{12}}{\biggr )}=&\displaystyle \gamma _{1}+{\sqrt {3}}\left\{\zeta ''\left(0,{\frac {1}{12}}\right)+\zeta ''\left(0,{\frac {11}{12}}\right)\right\}+4\pi \ln \Gamma {\biggl (}{\frac {1}{4}}{\biggr )}+3\pi {\sqrt {3}}\ln \Gamma {\biggl (}{\frac {1}{3}}{\biggr )}\\[5mm]&\displaystyle -\left\{{\frac {2+{\sqrt {3}}}{2}}\pi +{\frac {3}{2}}\ln 3-{\sqrt {3}}(1-{\sqrt {3}})\ln {2}+2{\sqrt {3}}\ln {\big (}1+{\sqrt {3}}{\big )}\right\}\cdot \gamma \\[5mm]&\displaystyle -2{\sqrt {3}}{\big (}3\ln 2+\ln 3+\ln \pi {\big )}\cdot \ln {\big (}1+{\sqrt {3}})-{\frac {7-6{\sqrt {3}}}{2}}(\ln 2)^{2}-{\frac {3}{4}}(\ln 3)^{2}\\[5mm]&\displaystyle +{\frac {3{\sqrt {3}}(1-{\sqrt {3}})}{2}}\ln 3\cdot \ln 2+{\sqrt {3}}\ln 2\cdot \ln \pi -{\frac {\pi {\big (}17+8{\sqrt {3}}{\big )}}{2{\sqrt {3}}}}\ln 2\\[5mm]&\displaystyle +{\frac {\pi {\big (}1-{\sqrt {3}}{\big )}{\sqrt {3}}}{4}}\ln 3-\pi {\sqrt {3}}(2+{\sqrt {3}})\ln \pi =-29.84287823\ldots \end{array}}

ثابت ستيلتجس المعمم الثاني

يُعدّ ثابت ستيلتجس المعمم الثاني أقل دراسةً بكثير من الثابت الأول. وعلى غرار ثابت ستيلتجس المعمم الأول، يمكن حساب ثابت ستيلتجس المعمم الثاني عند قيمة عددية نسبية باستخدام الصيغة التالية:

{\begin{array}{rl}\displaystyle \gamma _{2}{\biggl (}{\frac {r}{m}}{\biggr )}=\gamma _{2}+{\frac {2}{3}}\sum _{l=1}^{m-1}\cos {\frac {2\pi rl}{m}}\cdot \zeta '''\left(0,{\frac {l}{m}}\right)-2(\gamma +\ln 2\pi m)\sum _{l=1}^{m-1}\cos {\frac {2\pi rl}{m}}\cdot \zeta ''\left(0,{\frac {l}{m}}\right)\\[6mm]\displaystyle \quad +\pi \sum _{l=1}^{m-1}\sin {\frac {2\pi rl}{m}}\cdot \zeta ''\left(0,{\frac {l}{m}}\right)-2\pi (\gamma +\ln 2\pi m)\sum _{l=1}^{m-1}\sin {\frac {2\pi rl}{m}}\cdot \ln \Gamma {\biggl (}{\frac {l}{m}}{\biggr )}-2\gamma _{1}\ln {m}\\[6mm]\displaystyle \quad -\gamma ^{3}-\left[(\gamma +\ln 2\pi m)^{2}-{\frac {\pi ^{2}}{12}}\right]\cdot \Psi {\biggl (}{\frac {r}{m}}{\biggr )}+{\frac {\pi ^{3}}{12}}\cot {\frac {\pi r}{m}}-\gamma ^{2}\ln {\big (}4\pi ^{2}m^{3}{\big )}+{\frac {\pi ^{2}}{12}}(\gamma +\ln {m})\\[6mm]\displaystyle \quad -\gamma {\big (}(\ln 2\pi )^{2}+4\ln m\cdot \ln 2\pi +2(\ln m)^{2}{\big )}-\left\{(\ln 2\pi )^{2}+2\ln 2\pi \cdot \ln m+{\frac {2}{3}}(\ln m)^{2}\right\}\ln m\end{array}}\,,\qquad \quad r=1,2,3,\ldots ,m-1.

انظر بلاغوشين. ^{[ 5 ]} وقد حصل كوفي لاحقًا على نتيجة مماثلة بطريقة أخرى. ^{[ 33 ]}

مراجع

1 2 3 كوبو، مارك أنطوان (1999). "Nouvelles Expressions des Constantes de Stieltjes". المعارض الرياضيات . 17 : 349 - 358.
1 2 كوفي، مارك دبليو. (2009). "تمثيلات متسلسلة لثوابت ستيلتجس". arXiv : 0905.1111 [ math-ph ].
1 2 كوفي، مارك دبليو. (2010). "تمثيل متسلسل من نوع أديسون لثوابت ستيلتجس" . مجلة نظرية الأعداد . 130 (9): 2049-2064 . doi : 10.1016/j.jnt.2010.01.003 .
↑ تشوي، جونيسانغ (2013). "تمثيلات تكاملية معينة لثوابت ستيلتجس". مجلة المتباينات والتطبيقات . 532 : 1-10 .
1 2 3 4 5 6 7 8 بلاغوشين، ياروسلاف ف. (2015). "نظرية للتقييم المغلق لثابت ستيلتجس المعمم الأول عند الوسائط النسبية وبعض المجاميع ذات الصلة". مجلة نظرية الأعداد . 148 : 537-592 . arXiv : 1401.3724 . doi : 10.1016/j.jnt.2014.08.009 .والمجلد 151، الصفحات 276-277، 2015. arXiv : 1401.3724
1 2 3 4 5 6 7 بلاغوشين، ياروسلاف ف. (2016). "توسيعات ثوابت أويلر المعممة إلى متسلسلة كثيرات الحدود في $π$ ⁻² وإلى متسلسلة التغليف الرسمية ذات المعاملات النسبية فقط". مجلة نظرية الأعداد . 158 : 365-396 . arXiv : 1501.00740 . doi : 10.1016/j.jnt.2015.06.012 .تصويب: المجلد. 173، ص 631-632، 2017.
↑ "زوج من التكاملات المحددة المتعلقة بثوابت ستيلتجس" . ستاك إكستشينج .
↑ هاردي، جي إتش (2012). "ملاحظة حول متسلسلة الدكتور فاكا لـ γ". المجلة الفصلية للرياضيات البحتة والتطبيقية . 43 : 215-216 .
1 2 إسرائيلوف، م. إ. (1981). "حول تحليل لوران لدالة زيتا لريمان [باللغة الروسية]". أعمال معهد الرياضيات، أكاديمية العلوم، الاتحاد السوفيتي . 158 : 98-103 .
↑ دونال ف. كونون، بعض تطبيقات ثوابت ستيلتجس ، arXiv:0901.2083
1 2 بلاغوشين، ياروسلاف ف. (2018). "ثلاث ملاحظات حول تمثيلات سير وهاس لدوال زيتا" (ملف PDF) . مجلة الأعداد الصحيحة: المجلة الإلكترونية لنظرية الأعداد التوافقية . 18A (#A3): 1– 45. arXiv : 1606.02044 . doi : 10.5281/zenodo.10581385 .
↑ في الواقع ، يقدم بلاغوشين صيغًا أكثر عمومية، وهي صالحة أيضًا لثوابت ستيلتجس المعممة.
↑ "صيغة مغلقة للسلسلة ..." Stack Exchange .
↑ بروس سي. بيرندت. حول دالة زيتا لهورويتز . مجلة روكي ماونتن للرياضيات، المجلد 2، العدد 1، الصفحات 151-157، 1972.
↑ أ. ف. لافريك. حول الحد الرئيسي لمسألة القاسم ومتسلسلة القوى لدالة زيتا لريمان في جوار قطبها (باللغة الروسية). أعمال معهد الرياضيات، أكاديمية العلوم، الاتحاد السوفيتي، المجلد 142، الصفحات 165-173، 1976.
↑ Z. Nan-You و KS Williams. بعض النتائج حول ثوابت ستيلتجس المعممة . التحليل، المجلد 14، الصفحات 147-162، 1994.
↑ ي. ماتسوكا. ثوابت أويلر المعممة المرتبطة بدالة زيتا لريمان . نظرية الأعداد والتوافقية: اليابان 1984، وورلد ساينتيفيك، سنغافورة، ص 279-295، 1985
↑ ي. ماتسوكا. حول معاملات متسلسلة القوى لدالة زيتا لريمان . مجلة طوكيو للرياضيات، المجلد 12، العدد 1، الصفحات 49-58، 1989.
1 2 3 تشارلز كنيسل ومارك دبليو كوفي. صيغة تقارب فعالة لثوابت ستيلتجس . الرياضيات الحاسوبية، المجلد 80، العدد 273، الصفحات 379-386، 2011.
↑ لازهر فكيه أحمد. صيغة تقارب فعالة جديدة لثوابت ستيلتجس ، arXiv:1407.5567
↑ كريستوف ماسلانكا. الخصائص التقاربية لثوابت ستيلتجس . الأساليب الحسابية في العلوم والتكنولوجيا، المجلد 28 (2022)، ص 123-131؛ https://arxiv.org/abs/2210.07244v1
↑ تشودري، ب.ك. (1995). "دالة زيتا لريمان ومشتقاتها". وقائع الجمعية الملكية أ . 450 (1940): 477-499 . رمز Bibcode : 1995RSPSA.450..477C . doi : 10.1098/rspa.1995.0096 . S2CID 124034712 .
↑ كيبر، ج. ب. (1992). "متسلسلات القوى لدالة ريمان زيتا" . الرياضيات الحاسوبية 58 (198): 765-773 . Bibcode : 1992MaCom..58..765K . doi : 10.1090/S0025-5718-1992-1122072-5 .
↑ كريمينسكي، ريك (2003). "تكامل نيوتن-كوتس لتقريب ثوابت ستيلتجس المعممة لأويلر" . مجلة الرياضيات الحاسوبية 72 ( 243): 1379-1397 . Bibcode : 2003MaCom..72.1379K . doi : 10.1090/S0025-5718-02-01483-7 .
↑ سيمون بلوف. ثوابت ستيلتجس، من 0 إلى 78، 256 رقمًا لكل منها
↑ يوهانسون، فريدريك (2015). "حساب دقيق للغاية لدالة زيتا لهورويتز ومشتقاتها". الجبر العددي 69 ( 2): 253-570 . arXiv : 1309.2877 . doi : 10.1007/s11075-014-9893-1 . S2CID 10344040 .
1 2 3 4 يوهانسون، فريدريك؛ بلاغوشين، ياروسلاف (2019). "حساب ثوابت ستيلتجس باستخدام التكامل المركب". رياضيات الحساب . 88 (318): 1829-1850 . arXiv : 1804.01679 . doi : 10.1090/mcom/3401 . S2CID 4619883 .
1 2 "التكامل المحدد" . ستاك إكستشينج .
↑ كونون، دونال ف. (2009). "براهين جديدة لصيغ المضاعفة والضرب لدالة غاما ودالة بارنز المزدوجة غاما". arXiv : 0903.4539 [ math.CA ].
1 2 3 4 ياروسلاف ف. بلاغوشين. إعادة اكتشاف تكاملات مالمستين، وتقييمها باستخدام طرق التكامل الكفافي، وبعض النتائج ذات الصلة. مجلة رامانوجان، المجلد 35، العدد 1، الصفحات 21-110، 2014. تصحيح-إضافة: المجلد 42، الصفحات 777-781، 2017. PDF
↑ ف. آدمتشيك. فئة من التكاملات اللوغاريتمية. وقائع الندوة الدولية لعام 1997 حول الحساب الرمزي والجبري، ص 1-8، 1997.
↑ "تقييم تكامل معين" . ستاك إكستشينج .
1 2 مارك دبليو. كوفي، المعادلات الوظيفية لثوابت ستيلتجس ، arXiv : 1402.3746
↑ دونال ف. كونون، الفرق بين ثابتين من ثوابت ستيلتجس ، arXiv:0906.0277

[cpo-1] 1 2 3 كوبو، مارك أنطوان (1999). "Nouvelles Expressions des Constantes de Stieltjes". المعارض الرياضيات . 17 : 349 - 358.

[cf1-2] 1 2 كوفي، مارك دبليو. (2009). "تمثيلات متسلسلة لثوابت ستيلتجس". arXiv : 0905.1111 [ math-ph ].

[cf2-3] 1 2 كوفي، مارك دبليو. (2010). "تمثيل متسلسل من نوع أديسون لثوابت ستيلتجس" . مجلة نظرية الأعداد . 130 (9): 2049-2064 . doi : 10.1016/j.jnt.2010.01.003 .

[4] تشوي، جونيسانغ (2013). "تمثيلات تكاملية معينة لثوابت ستيلتجس". مجلة المتباينات والتطبيقات . 532 : 1-10 .

[blg_02-5] 1 2 3 4 5 6 7 8 بلاغوشين، ياروسلاف ف. (2015). "نظرية للتقييم المغلق لثابت ستيلتجس المعمم الأول عند الوسائط النسبية وبعض المجاميع ذات الصلة". مجلة نظرية الأعداد . 148 : 537-592 . arXiv : 1401.3724 . doi : 10.1016/j.jnt.2014.08.009 .والمجلد 151، الصفحات 276-277، 2015. arXiv : 1401.3724

[blg_03-6] 1 2 3 4 5 6 7 بلاغوشين، ياروسلاف ف. (2016). "توسيعات ثوابت أويلر المعممة إلى متسلسلة كثيرات الحدود في $π$ ⁻² وإلى متسلسلة التغليف الرسمية ذات المعاملات النسبية فقط". مجلة نظرية الأعداد . 158 : 365-396 . arXiv : 1501.00740 . doi : 10.1016/j.jnt.2015.06.012 .تصويب: المجلد. 173، ص 631-632، 2017.

[7] "زوج من التكاملات المحددة المتعلقة بثوابت ستيلتجس" . ستاك إكستشينج .

[8] هاردي، جي إتش (2012). "ملاحظة حول متسلسلة الدكتور فاكا لـ γ". المجلة الفصلية للرياضيات البحتة والتطبيقية . 43 : 215-216 .

[isrl-9] 1 2 إسرائيلوف، م. إ. (1981). "حول تحليل لوران لدالة زيتا لريمان [باللغة الروسية]". أعمال معهد الرياضيات، أكاديمية العلوم، الاتحاد السوفيتي . 158 : 98-103 .

[10] دونال ف. كونون، بعض تطبيقات ثوابت ستيلتجس ، arXiv:0901.2083

[blg_04-11] 1 2 بلاغوشين، ياروسلاف ف. (2018). "ثلاث ملاحظات حول تمثيلات سير وهاس لدوال زيتا" (ملف PDF) . مجلة الأعداد الصحيحة: المجلة الإلكترونية لنظرية الأعداد التوافقية . 18A (#A3): 1– 45. arXiv : 1606.02044 . doi : 10.5281/zenodo.10581385 .

[12] في الواقع ، يقدم بلاغوشين صيغًا أكثر عمومية، وهي صالحة أيضًا لثوابت ستيلتجس المعممة.

[13] "صيغة مغلقة للسلسلة ..." Stack Exchange .

[14] بروس سي. بيرندت. حول دالة زيتا لهورويتز . مجلة روكي ماونتن للرياضيات، المجلد 2، العدد 1، الصفحات 151-157، 1972.

[15] أ. ف. لافريك. حول الحد الرئيسي لمسألة القاسم ومتسلسلة القوى لدالة زيتا لريمان في جوار قطبها (باللغة الروسية). أعمال معهد الرياضيات، أكاديمية العلوم، الاتحاد السوفيتي، المجلد 142، الصفحات 165-173، 1976.

[16] Z. Nan-You و KS Williams. بعض النتائج حول ثوابت ستيلتجس المعممة . التحليل، المجلد 14، الصفحات 147-162، 1994.

[17] ي. ماتسوكا. ثوابت أويلر المعممة المرتبطة بدالة زيتا لريمان . نظرية الأعداد والتوافقية: اليابان 1984، وورلد ساينتيفيك، سنغافورة، ص 279-295، 1985

[18] ي. ماتسوكا. حول معاملات متسلسلة القوى لدالة زيتا لريمان . مجلة طوكيو للرياضيات، المجلد 12، العدد 1، الصفحات 49-58، 1989.

[kns-19] 1 2 3 تشارلز كنيسل ومارك دبليو كوفي. صيغة تقارب فعالة لثوابت ستيلتجس . الرياضيات الحاسوبية، المجلد 80، العدد 273، الصفحات 379-386، 2011.

[ahm-20] لازهر فكيه أحمد. صيغة تقارب فعالة جديدة لثوابت ستيلتجس ، arXiv:1407.5567

[msl-21] كريستوف ماسلانكا. الخصائص التقاربية لثوابت ستيلتجس . الأساليب الحسابية في العلوم والتكنولوجيا، المجلد 28 (2022)، ص 123-131؛ https://arxiv.org/abs/2210.07244v1

[22] تشودري، ب.ك. (1995). "دالة زيتا لريمان ومشتقاتها". وقائع الجمعية الملكية أ . 450 (1940): 477-499 . رمز Bibcode : 1995RSPSA.450..477C . doi : 10.1098/rspa.1995.0096 . S2CID 124034712 .

[23] كيبر، ج. ب. (1992). "متسلسلات القوى لدالة ريمان زيتا" . الرياضيات الحاسوبية 58 (198): 765-773 . Bibcode : 1992MaCom..58..765K . doi : 10.1090/S0025-5718-1992-1122072-5 .

[24] كريمينسكي، ريك (2003). "تكامل نيوتن-كوتس لتقريب ثوابت ستيلتجس المعممة لأويلر" . مجلة الرياضيات الحاسوبية 72 ( 243): 1379-1397 . Bibcode : 2003MaCom..72.1379K . doi : 10.1090/S0025-5718-02-01483-7 .

[25] سيمون بلوف. ثوابت ستيلتجس، من 0 إلى 78، 256 رقمًا لكل منها

[26] يوهانسون، فريدريك (2015). "حساب دقيق للغاية لدالة زيتا لهورويتز ومشتقاتها". الجبر العددي 69 ( 2): 253-570 . arXiv : 1309.2877 . doi : 10.1007/s11075-014-9893-1 . S2CID 10344040 .

[johansson1-27] 1 2 3 4 يوهانسون، فريدريك؛ بلاغوشين، ياروسلاف (2019). "حساب ثوابت ستيلتجس باستخدام التكامل المركب". رياضيات الحساب . 88 (318): 1829-1850 . arXiv : 1804.01679 . doi : 10.1090/mcom/3401 . S2CID 4619883 .

[mse-28] 1 2 "التكامل المحدد" . ستاك إكستشينج .

[29] كونون، دونال ف. (2009). "براهين جديدة لصيغ المضاعفة والضرب لدالة غاما ودالة بارنز المزدوجة غاما". arXiv : 0903.4539 [ math.CA ].

[blg_01-30] 1 2 3 4 ياروسلاف ف. بلاغوشين. إعادة اكتشاف تكاملات مالمستين، وتقييمها باستخدام طرق التكامل الكفافي، وبعض النتائج ذات الصلة. مجلة رامانوجان، المجلد 35، العدد 1، الصفحات 21-110، 2014. تصحيح-إضافة: المجلد 42، الصفحات 777-781، 2017. PDF

[adm-31] ف. آدمتشيك. فئة من التكاملات اللوغاريتمية. وقائع الندوة الدولية لعام 1997 حول الحساب الرمزي والجبري، ص 1-8، 1997.

[32] "تقييم تكامل معين" . ستاك إكستشينج .

[coff-33] 1 2 مارك دبليو. كوفي، المعادلات الوظيفية لثوابت ستيلتجس ، arXiv : 1402.3746

[34] دونال ف. كونون، الفرق بين ثابتين من ثوابت ستيلتجس ، arXiv:0906.0277

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[

[ 9 ]

[ 10 ]

، [ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]

[ 24 ]

[ 25 ]

[ 26 ]

[ 27

28 ] بينما

[ 29 ]

[ 30 ]

[ 31 ]

[ 32 ]

[ 33 ]

[ 34 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗