الحد (رياضيات)

في الرياضيات ، الحد هو القيمة التي تقترب منها الدالة (أو المتتالية ) عندما تقترب الحجة (أو المؤشر) من بعض القيم. ^{[1] تعد} حدود الدوال ضرورية لحساب التفاضل والتكامل والتحليل الرياضي ، وتُستخدم لتحديد الاستمرارية والمشتقات والتكاملات . يتم تعميم مفهوم حد المتتالية بشكل أكبر على مفهوم حد الشبكة الطوبولوجية ، وهو وثيق الصلة بالحد والحد المباشر في نظرية الفئات . يوفر الحد الأدنى والحد الأعلى تعميمات لمفهوم الحد والتي تكون ذات صلة خاصة عندما قد لا يوجد الحد عند نقطة ما .

في الصيغ، عادة ما يتم كتابة حد الدالة على النحو التالي

${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L,}$

ويتم قراءتها على أنها "حد f لـ x عندما يقترب x من c يساوي L ". وهذا يعني أنه يمكن جعل قيمة الدالة f قريبة بشكل تعسفي من L ، عن طريق اختيار x قريبة بدرجة كافية من c . وبدلاً من ذلك، فإن حقيقة اقتراب الدالة f من الحد L عندما يقترب x من c يتم الإشارة إليها أحيانًا بسهم يمين (→ أو )، كما في ${\displaystyle \rightarrow }$

${\displaystyle f(x)\to L{\text{ as }}x\to c,}$

الذي يقرأ " يميل إلى كما يميل إلى ". ${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle L}$${\displaystyle x}$${\displaystyle c}$

وفقًا لهانكل (1871)، فإن المفهوم الحديث للحد ينشأ من الاقتراح X.1 من عناصر إقليدس ، والذي يشكل أساس طريقة الاستنفاد الموجودة في إقليدس وأرخميدس: "عند تحديد مقدارين غير متساويين، إذا طرح من المقدار الأكبر مقدارًا أكبر من نصفه، ومن المقدار المتبقي مقدارًا أكبر من نصفه، وإذا تكررت هذه العملية باستمرار، فسيتبقى مقدار أقل من المقدار الأصغر المحدد." ^{[2] [3]}

أعطى غريغوار دو سانت فنسنت أول تعريف لنهاية (نهاية) سلسلة هندسية في عمله Opus Geometricum (1647): " نهاية التقدم هي نهاية السلسلة، والتي لا يمكن لأي تقدم أن يصل إليها، حتى لو استمرت في ما لا نهاية، ولكنها يمكن أن تقترب من جزء معين." ^[4]

يعود التعريف الحديث للحد إلى برنارد بولزانو الذي طور في عام 1817 أساسيات تقنية إبسيلون دلتا لتحديد الدوال المستمرة. ومع ذلك، ظل عمله غير معروف لعلماء الرياضيات الآخرين حتى بعد وفاته بثلاثين عامًا. ^[5]

في عام 1821، قام أوغستين لويس كوشي ^[6] ، ثم تبعه كارل ويرستراس ، بصياغة تعريف حد الدالة والذي أصبح يُعرف باسم تعريف (ε, δ) للحد .

يعود الفضل في وضع السهم أسفل رمز الحد الحديث إلى جي إتش هاردي ، الذي قدمه في كتابه " دورة في الرياضيات البحتة" في عام 1908. ^[7]

يجب تفسير التعبير 0.999... على أنه حد المتتالية 0.9، 0.99، 0.999، ... وهكذا. يمكن إثبات أن هذا المتتالي له حد 1 بدقة، وبالتالي يتم تفسير هذا التعبير بشكل معقول على أنه له القيمة 1. ^[8]

رسميًا، افترض أن a ₁ و a ₂ و... هي متوالية من الأعداد الحقيقية . عندما توجد نهاية المتوالية، يكون العدد الحقيقي L هو نهاية هذه المتوالية إذا وفقط إذا كان لكل عدد حقيقي ε > 0 ، يوجد عدد طبيعي N بحيث يكون لجميع n > N ، لدينا | a _n − L | < ε . ^[9] تتم قراءة الصيغة الشائعة على النحو التالي: $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=L}$$

"نهاية n عندما يقترب n _من اللانهاية تساوي L " أو "نهاية n عندما يقترب n من اللانهاية لـ n _تساوي L " .

التعريف الرسمي يعني بشكل حدسي أنه في النهاية، تقترب جميع عناصر التسلسل بشكل تعسفي من الحد، حيث أن القيمة المطلقة | a _n − L | هي المسافة بين a _n و L.

ليس لكل متتالية حدود. تسمى المتتالية التي لها حدود متقاربة ؛ وإلا تسمى متباعدة . ويمكن للمرء أن يثبت أن المتتالية المتقاربة لها حدود واحدة فقط.

ترتبط نهاية المتتالية ونهاية الدالة ارتباطًا وثيقًا. من ناحية أخرى، فإن النهاية عندما يقترب n من ما لا نهاية للمتتالية { a _n } هي ببساطة النهاية عند ما لا نهاية للدالة a ( n ) - المعرفة على الأعداد الطبيعية { n } . من ناحية أخرى، إذا كان X هو مجال الدالة f ( x ) وإذا كان الحد عندما يقترب n من ما لا نهاية لـ f ( x _n ) هو L لكل متتاليات عشوائية من النقاط { x _n } في X − x ₀ والتي تتقارب إلى x ₀ ، فإن نهاية الدالة f ( x ) عندما يقترب x من x ₀ تساوي L. ^[10] أحد هذه المتتاليات سيكون { x ₀ + 1/ n } .

هناك أيضًا فكرة مفادها أن الحد "يميل إلى اللانهاية"، وليس إلى قيمة نهائية . يُقال عن المتتالية أنها "تميل إلى اللانهاية" إذا كان لكل عدد حقيقي ، يُعرف بالحد، يوجد عدد صحيح بحيث لكل ، أي أنه لكل حد ممكن، فإن المتتالية تتجاوز الحد في النهاية. غالبًا ما يُكتب هذا أو ببساطة . ${\displaystyle L}$${\displaystyle \{a_{n}\}}$${\displaystyle M>0}$${\displaystyle N}$${\displaystyle n>N}$$${\displaystyle a_{n}>M.}$$${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=\infty }$${\displaystyle a_{n}\rightarrow \infty }$

من الممكن أن يكون التسلسل متباعدًا، لكنه لا يميل إلى اللانهاية. تسمى مثل هذه التسلسلات متذبذبة . ومن الأمثلة على التسلسل المتذبذب . ${\displaystyle a_{n}=(-1)^{n}}$

هناك مفهوم مماثل للميل إلى اللانهاية السلبية، والذي يتم تعريفه عن طريق تغيير المتباينة في التعريف أعلاه إلى مع${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=-\infty }$${\displaystyle a_{n}<M,}$${\displaystyle M<0.}$

تسمى المتتالية التي لها حد غير محدود ، وهو تعريف صالح بنفس القدر للمتتاليات في الأعداد المركبة ، أو في أي فضاء متري . تسمى المتتاليات التي لا تميل إلى ما لا نهاية محدودة . تسمى المتتاليات التي لا تميل إلى ما لا نهاية موجبة محدودة من الأعلى ، بينما تسمى المتتاليات التي لا تميل إلى ما لا نهاية سالبة محدودة من الأسفل . ${\displaystyle \{a_{n}\}}$${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }|a_{n}|=\infty }$

المناقشة أعلاه للمتتاليات هي لمتتاليات الأعداد الحقيقية. يمكن تعريف مفهوم الحدود للمتتاليات ذات القيمة في فضاءات أكثر تجريدًا، مثل الفضاءات المترية . إذا كانت فضاءً متريًا بدالة مسافة ، وكانت متتاليًا في ، فإن الحد (عندما يوجد) للمتتالية هو عنصر بحيث، نظرًا لوجود ، يوجد بحيث يكون لكل ، لدينا العبارة المكافئة هي أنه إذا كانت متتالية الأعداد الحقيقية . ${\displaystyle M}$${\displaystyle d}$${\displaystyle \{a_{n}\}_{n\geq 0}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle a\in M}$${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle N}$${\displaystyle n>N}$$${\displaystyle d(a,a_{n})<\epsilon .}$$${\displaystyle a_{n}\rightarrow a}$${\displaystyle d(a,a_{n})\rightarrow 0}$

من الأمثلة المهمة على ذلك مساحة المتجهات الحقيقية ذات الأبعاد، مع عناصر حيث يكون كل من العناصر حقيقيًا، ومن الأمثلة على دالة المسافة المناسبة المسافة الإقليدية ، والتي يتم تعريفها بواسطة تتقارب تسلسل النقاط إلى إذا كان الحد موجودًا و . ${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\cdots ,x_{n})}$${\displaystyle x_{i}}$$${\displaystyle d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|={\sqrt {\sum _{i}(x_{i}-y_{i})^{2}}}.}$$${\displaystyle \{\mathbf {x} _{n}\}_{n\geq 0}}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \|\mathbf {x} _{n}-\mathbf {x} \|\rightarrow 0}$

بمعنى ما، فإن الفضاء الأكثر تجريدًا الذي يمكن تعريف الحدود فيه هو الفضاءات الطوبولوجية . إذا كانت فضاء طوبولوجيًا به طوبولوجيا ، وكانت متوالية في ، فإن الحد (عندما يوجد) للمتوالية هو نقطة بحيث، مع الأخذ في الاعتبار جوار (مفتوح) لـ ، يوجد بحيث يكون لكل ، مُرضيًا. في هذه الحالة، قد لا يكون الحد (إذا كان موجودًا) فريدًا. ومع ذلك، يجب أن يكون فريدًا إذا كانت فضاء هاوسدورف . ${\displaystyle X}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \{a_{n}\}_{n\geq 0}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle a\in X}$ ${\displaystyle U\in \tau }$${\displaystyle a}$${\displaystyle N}$${\displaystyle n>N}$$${\displaystyle a_{n}\in U}$$${\displaystyle X}$

يتناول هذا القسم فكرة حدود تسلسل الوظائف، ولا ينبغي الخلط بينها وبين فكرة حدود الوظائف، التي سيتم مناقشتها أدناه.

يسعى مجال التحليل الوظيفي جزئيًا إلى تحديد المفاهيم المفيدة للتقارب في فضاءات الدوال. على سبيل المثال، ضع في اعتبارك فضاء الدوال من مجموعة عامة إلى . نظرًا لتسلسل من الدوال بحيث تكون كل منها دالة ، افترض أن هناك دالة بحيث لكل منها ، ${\displaystyle E}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \{f_{n}\}_{n>0}}$${\displaystyle f_{n}:E\rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle x\in E}$$${\displaystyle f_{n}(x)\rightarrow f(x){\text{ or equivalently }}\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)=f(x).}$$

ثم يقال إن المتتالية تتقارب نقطة بنقطة . ومع ذلك، يمكن لمثل هذه المتتاليات أن تظهر سلوكًا غير متوقع. على سبيل المثال، من الممكن إنشاء متتالي من الدوال المستمرة التي لها حد نقطي غير متصل. ${\displaystyle f_{n}}$${\displaystyle f}$

مفهوم آخر للتقارب هو التقارب المنتظم . المسافة المنتظمة بين دالتين هي أقصى فرق بين الدالتين مع تغيير الوسيطة. أي أنه يُقال إن المتتالية تتقارب بانتظام أو لها حد منتظم إذا بالنسبة لهذه المسافة. يتمتع الحد المنتظم بخصائص "أجمل" من الحد النقطي. على سبيل المثال، يكون الحد المنتظم لمتتالية من الدوال المستمرة مستمرًا. ${\displaystyle f,g:E\rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle x\in E}$$${\displaystyle d(f,g)=\max _{x\in E}|f(x)-g(x)|.}$$${\displaystyle f_{n}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f_{n}\rightarrow f}$

يمكن تعريف العديد من المفاهيم المختلفة للتقارب في فضاءات الدالة. ويعتمد هذا أحيانًا على انتظام الفضاء. ومن الأمثلة البارزة على فضاءات الدالة التي تحمل بعض مفاهيم التقارب فضاءات Lp وفضاء Sobolev .

افترض أن f دالة ذات قيمة حقيقية و c عدد حقيقي . من الناحية البديهية، فإن التعبير

${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L}$

يعني أنه يمكن جعل f ( x ) قريبة من L قدر الإمكان، عن طريق جعل x قريبة بدرجة كافية من c . ^[11] في هذه الحالة، يمكن قراءة المعادلة أعلاه على أنها "حد f لـ x ، عندما يقترب x من c ، هو L ".

رسميًا، يتم تقديم تعريف "حد كما يقترب " على النحو التالي. الحد هو عدد حقيقي بحيث، نظرًا لوجود عدد حقيقي تعسفي (يُنظر إليه على أنه "الخطأ")، يوجد بحيث، لأي سبب مرضٍ ، فإنه يثبت أن . يُعرف هذا باسم تعريف (ε, δ) لـ الحد . ${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle c}$${\displaystyle L}$${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle x}$${\displaystyle 0<|x-c|<\delta }$${\displaystyle |f(x)-L|<\epsilon }$

تُستخدم المتباينة لاستبعاد النقاط قيد النظر من مجموعة النقاط، لكن بعض المؤلفين لا يدرجون ذلك في تعريفهم للحدود، ويستبدلونها ببساطة بـ . هذا الاستبدال يعادل أيضًا اشتراط أن تكون مستمرة عند . ${\displaystyle 0<|x-c|}$${\displaystyle c}$${\displaystyle 0<|x-c|<\delta }$${\displaystyle |x-c|<\delta }$${\displaystyle f}$${\displaystyle c}$

يمكن إثبات وجود تعريف مكافئ يوضح العلاقة بين حدود المتتاليات وحدود الدوال. ^[12] يتم تقديم التعريف المكافئ على النحو التالي. لاحظ أولاً أنه لكل متتالية في مجال ، يوجد متتالية مرتبطة ، صورة المتتالية تحت . الحد هو عدد حقيقي بحيث، لجميع المتتاليات ، المتتالية المرتبطة . ${\displaystyle \{x_{n}\}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \{f(x_{n})\}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle L}$${\displaystyle x_{n}\rightarrow c}$${\displaystyle f(x_{n})\rightarrow L}$

من الممكن تعريف مفهوم وجود حد "يساري" ("من الأسفل") ومفهوم وجود حد "يميني" ("من الأعلى"). ولا يلزم أن يتفق هذان المفهومان. يتم تقديم مثال بواسطة دالة المؤشر الموجبة ، ، المعرفة بحيث إذا ، وإذا . عند ، يكون للدالة "حد يساري" يساوي 0، و"حد يمين" يساوي 1، وحدتها غير موجودة. يمكن صياغة هذا رمزيًا على النحو التالي، في هذا المثال، ، و ، ومن هذا يمكن استنتاج أنها غير موجودة، لأن . ${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle f(x)=0}$${\displaystyle x\leq 0}$${\displaystyle f(x)=1}$${\displaystyle x>0}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle \lim _{x\to c^{-}}f(x)=0}$${\displaystyle \lim _{x\to c^{+}}f(x)=1}$${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)}$${\displaystyle \lim _{x\to c^{-}}f(x)\neq \lim _{x\to c^{+}}f(x)}$

من الممكن تعريف مفهوم "الميل إلى اللانهاية" في مجال ، ${\displaystyle f}$$${\displaystyle \lim _{x\rightarrow +\infty }f(x)=L.}$$

يمكن اعتبار هذا معادلاً للحد حيث يميل المعكوس إلى 0: $${\displaystyle \lim _{x'\rightarrow 0^{+}}f(1/x')=L.}$$

أو يمكن تعريفه مباشرة: "حد as يميل إلى ما لا نهاية موجبة" يتم تعريفه كقيمة بحيث، مع الأخذ في الاعتبار أي عدد حقيقي ، يوجد بحيث بحيث لجميع ، . التعريف للمتتاليات مكافئ: As ، لدينا . ${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle L}$${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle M>0}$${\displaystyle x>M}$${\displaystyle |f(x)-L|<\epsilon }$${\displaystyle n\rightarrow +\infty }$${\displaystyle f(x_{n})\rightarrow L}$

في هذه التعبيرات، يُعتبر اللانهاية عادةً ذات إشارة ( أو ) وتتوافق مع حد أحادي الجانب للمعكوس. يمكن تعريف حد لانهائي ثنائي الجانب، لكن المؤلف سيكتب صراحةً ليكون واضحًا. ${\displaystyle +\infty }$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle \pm \infty }$

ومن الممكن أيضًا تعريف مفهوم "الميل إلى اللانهاية" بقيمة ، ${\displaystyle f}$$${\displaystyle \lim _{x\rightarrow c}f(x)=\infty .}$$

مرة أخرى، يمكن تعريف ذلك من حيث المعاملة بالمثل: $${\displaystyle \lim _{x\rightarrow c}{\frac {1}{f(x)}}=0.}$$

أو يمكن إعطاء تعريف مباشر على النحو التالي: إذا أعطيت أي عدد حقيقي ، يوجد بحيث بالنسبة إلى ، القيمة المطلقة للدالة . يمكن أن يكون للمتتالية أيضًا حد لا نهائي: حيث ، المتتالية . ${\displaystyle M>0}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle 0<|x-c|<\delta }$${\displaystyle |f(x)|>M}$${\displaystyle n\rightarrow \infty }$${\displaystyle f(x_{n})\rightarrow \infty }$

من الأسهل توسيع هذا التعريف المباشر ليشمل حدودًا لا نهائية أحادية الجانب. وفي حين يتحدث علماء الرياضيات عن الدوال التي تقترب من الحدود "من أعلى" أو "من أسفل"، فلا يوجد تدوين رياضي قياسي لهذا الأمر كما هو الحال بالنسبة للحدود أحادية الجانب.

في التحليل غير القياسي (الذي يتضمن تكبيرًا فائق الواقعية لنظام الأرقام)، يمكن التعبير عن حد التسلسل باعتباره الجزء القياسي من قيمة الامتداد الطبيعي للتسلسل عند مؤشر فائق الطبيعة لانهائي n=H . وبالتالي، ${\displaystyle (a_{n})}$${\displaystyle a_{H}}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\operatorname {st} (a_{H}).}$

هنا، تقوم دالة الجزء القياسي "st" بتقريب كل عدد حقيقي فائق محدود إلى أقرب عدد حقيقي (الفرق بينهما لا نهائي في الصغر ). وهذا يضفي طابعًا رسميًا على الحدس الطبيعي القائل بأنه بالنسبة للقيم "الكبيرة جدًا" للمؤشر، فإن المصطلحات في المتتالية "قريبة جدًا" من القيمة الحدية للمتتالية. وعلى العكس من ذلك، فإن الجزء القياسي من عدد حقيقي فائق ممثل في بناء القوة الفائقة بواسطة متتالي كوشي ، هو ببساطة حد هذا المتتالي: ${\displaystyle a=[a_{n}]}$${\displaystyle (a_{n})}$

${\displaystyle \operatorname {st} (a)=\lim _{n\to \infty }a_{n}.}$

وبهذا المعنى، فإن أخذ الحد وأخذ الجزء القياسي هما إجراءان متكافئان.

ليكن متوالية في فضاء طوبولوجي . من أجل التحديد الملموس، يمكن التفكير فيها على أنها ، ولكن التعريفات تنطبق بشكل أكثر عمومية. مجموعة النهاية هي مجموعة النقاط بحيث إذا كان هناك متوالية فرعية متقاربة مع ، فإنها تنتمي إلى مجموعة النهاية. في هذا السياق، تسمى هذه أحيانًا نقطة النهاية. ${\displaystyle \{a_{n}\}_{n>0}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \{a_{n_{k}}\}_{k>0}}$${\displaystyle a_{n_{k}}\rightarrow a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$

أحد استخدامات هذا المفهوم هو وصف "السلوك الطويل الأمد" للتسلسلات التذبذبية. على سبيل المثال، لننظر إلى التسلسل . بدءًا من n=1، تكون الحدود القليلة الأولى لهذا التسلسل هي . ويمكن التحقق من أنه متذبذب، وبالتالي ليس له حد، ولكن له نقاط حدية . ${\displaystyle a_{n}=(-1)^{n}}$${\displaystyle -1,+1,-1,+1,\cdots }$${\displaystyle \{-1,+1\}}$

تُستخدم هذه الفكرة في الأنظمة الديناميكية لدراسة حدود المسارات. وبتعريف المسار على أنه دالة ، يُنظر إلى النقطة على أنها "موضع" المسار عند "الزمن" . وتُعرَّف مجموعة حدود المسار على النحو التالي. لأي تسلسل من الأزمنة المتزايدة ، يوجد تسلسل مرتبط من المواضع . إذا كانت مجموعة حدود التسلسل لأي تسلسل من الأزمنة المتزايدة، فإن مجموعة حدود المسار. ${\displaystyle \gamma :\mathbb {R} \rightarrow X}$${\displaystyle \gamma (t)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \{t_{n}\}}$${\displaystyle \{x_{n}\}=\{\gamma (t_{n})\}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \{x_{n}\}}$${\displaystyle x}$

من الناحية الفنية، هذه هي مجموعة الحد -limit. مجموعة الحد المقابلة لتسلسلات الوقت المتناقص تسمى مجموعة الحد -limit. ${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \alpha }$

من الأمثلة التوضيحية مسار الدائرة: . ليس لهذا المسار حد فريد، ولكن لكل نقطة ، تكون النقطة نقطة حد، معطاة بتسلسل الأوقات . ولكن لا يلزم الوصول إلى نقاط الحد على المسار. يحتوي المسار أيضًا على دائرة الوحدة كمجموعة حدود له. ${\displaystyle \gamma (t)=(\cos(t),\sin(t))}$${\displaystyle \theta \in \mathbb {R} }$${\displaystyle (\cos(\theta ),\sin(\theta ))}$${\displaystyle t_{n}=\theta +2\pi n}$${\displaystyle \gamma (t)=t/(1+t)(\cos(t),\sin(t))}$

تُستخدم الحدود لتحديد عدد من المفاهيم المهمة في التحليل.

تعبير معين عن الاهتمام يتم صياغته على أنه حد المتتالية هو مجموعات من السلاسل اللانهائية. هذه هي "مجموعات لا نهائية" من الأعداد الحقيقية، مكتوبة عمومًا على هذا النحو يتم تعريف ذلك من خلال الحدود على النحو التالي: ^[12] بالنظر إلى متتالي من الأعداد الحقيقية ، يتم تعريف متتالي المجاميع الجزئية بواسطة إذا كان حد المتتالية موجودًا، يتم تعريف قيمة التعبير على أنها الحد. وإلا، يقال إن المتتالية متباعدة. $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}.}$$${\displaystyle \{a_{n}\}}$$${\displaystyle s_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}.}$$${\displaystyle \{s_{n}\}}$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$

ومن الأمثلة الكلاسيكية على ذلك مشكلة بازل ، حيث . ثم ${\displaystyle a_{n}=1/n^{2}}$$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}.}$$

ومع ذلك، بينما يوجد مفهوم فريد للتقارب في المتتاليات، توجد مفاهيم مختلفة للتقارب في المتتاليات. ويرجع هذا إلى حقيقة مفادها أن التعبير لا يميز بين الترتيبات المختلفة للمتتالية ، في حين أن خصائص التقارب لمتتالية المجاميع الجزئية يمكن أن تعتمد على ترتيب المتتالية. ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$${\displaystyle \{a_{n}\}}$

تسمى السلسلة التي تتقارب لجميع الترتيبات متقاربة بلا قيد أو شرط . ويمكن إثبات أنها تعادل التقارب المطلق . ويتم تعريف ذلك على النحو التالي. تكون السلسلة متقاربة بشكل مطلق إذا كانت محددة جيدًا. علاوة على ذلك، فإن جميع الترتيبات الممكنة تعطي نفس القيمة. ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|}$

بخلاف ذلك، تكون السلسلة متقاربة شرطيًا . إحدى النتائج المدهشة للمتسلسلة المتقاربة شرطيًا هي نظرية سلسلة ريمان : اعتمادًا على الترتيب، يمكن جعل المجاميع الجزئية تتقارب إلى أي عدد حقيقي، وكذلك . ${\displaystyle \pm \infty }$

إن أحد التطبيقات المفيدة لنظرية مجموع السلاسل هو متسلسلات القوى. وهي مجاميع سلاسل من الشكل غالبًا ما يُنظر إليها على أنها عدد مركب، وهناك حاجة إلى مفهوم مناسب لتقارب المتتاليات المركبة. إن مجموعة القيم التي يتقارب عندها مجموع السلاسل هي دائرة، ونصف قطرها معروف بنصف قطر التقارب . $${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}.}$$${\displaystyle z}$${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$

يتم تحديد الاستمرارية عند نقطة ما من خلال الحدود.

التعريف أعلاه للحدود صحيح حتى لو كان . في الواقع، لا يلزم حتى تعريف الدالة f عند c . ومع ذلك، إذا كانت معرفة وتساوي ، فيقال إن الدالة متصلة عند النقطة . ${\displaystyle f(c)\neq L}$${\displaystyle f(c)}$${\displaystyle L}$${\displaystyle c}$

وعلى نحو مماثل، تكون الدالة مستمرة عند إذا ، أو من حيث التتابعات، كلما ، فإن . ${\displaystyle c}$${\displaystyle f(x)\rightarrow f(c)}$${\displaystyle x\rightarrow c}$${\displaystyle x_{n}\rightarrow c}$${\displaystyle f(x_{n})\rightarrow f(c)}$

يرد أدناه مثال على الحد الذي لا يتم تعريفه عند .${\displaystyle f}$${\displaystyle c}$

ضع في اعتبارك الوظيفة

$${\displaystyle f(x)={\frac {x^{2}-1}{x-1}}.}$$

عندئذٍ لا يتم تعريف f (1) (انظر الشكل غير المحدد )، ولكن عندما يتحرك x بشكل تعسفي بالقرب من 1، فإن f ( x ) تقترب من 2 وفقًا لذلك: ^[13]

ف (0.9)	ف (0.99)	ف (0.999)	ف (1.0)	ف (1.001)	ف (1.01)	ف (1.1)
1.900	1.990	1.999	غير محدد	2.001	2.010	2.100

وبالتالي، يمكن جعل f ( x ) قريبة بشكل تعسفي من حد 2 - فقط عن طريق جعل x قريبة بدرجة كافية من 1 .

بعبارة أخرى، $${\displaystyle \lim _{x\to 1}{\frac {x^{2}-1}{x-1}}=2.}$$

يمكن أيضًا حساب ذلك جبريًا، كما هو الحال بالنسبة لجميع الأعداد الحقيقية x ≠ 1 . ${\textstyle {\frac {x^{2}-1}{x-1}}={\frac {(x+1)(x-1)}{x-1}}=x+1}$

الآن، بما أن x + 1 متصلة في x عند 1، يمكننا الآن تعويض x بـ 1 ، مما يؤدي إلى المعادلة $${\displaystyle \lim _{x\to 1}{\frac {x^{2}-1}{x-1}}=1+1=2.}$$

بالإضافة إلى الحدود عند القيم المحدودة، يمكن أن يكون للوظائف أيضًا حدود عند اللانهاية. على سبيل المثال، ضع في اعتبارك الوظيفة حيث: $${\displaystyle f(x)={\frac {2x-1}{x}}}$$

• ف (100) = 1.9900
• ف (1000) = 1.9990
• ف (10000) = 1.9999

عندما يصبح x كبيرًا للغاية، تقترب قيمة f ( x ) من 2 ، ويمكن جعل قيمة f ( x ) قريبة من 2 قدر الإمكان—بجعل x كبيرة بدرجة كافية. لذا في هذه الحالة، يكون حد f ( x ) عندما يقترب x من اللانهاية هو 2 ، أو في التدوين الرياضي،$${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {2x-1}{x}}=2.}$$

تُعد الدوال المستمرة فئة مهمة من الدوال عند النظر إلى الحدود . وهي على وجه التحديد تلك الدوال التي تحافظ على الحدود ، بمعنى أنه إذا كانت دالة مستمرة، فمتى كانت في مجال ، فإن الحد موجود وعلاوة على ذلك يكون . ${\displaystyle f}$${\displaystyle a_{n}\rightarrow a}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(a_{n})}$${\displaystyle f(a)}$

في الإعداد الأكثر عمومية للمساحات الطوبولوجية، يتم تقديم دليل قصير أدناه:

ليكن دالة متصلة بين الفضاءات الطوبولوجية و . بحكم التعريف، لكل مجموعة مفتوحة في ، تكون الصورة الأولية مفتوحة في . ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle V}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f^{-1}(V)}$${\displaystyle X}$

الآن افترض أن هناك تسلسلًا له حد في . إذن هناك تسلسل في ، و هو نقطة ما. ${\displaystyle a_{n}\rightarrow a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f(a_{n})}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f(a)}$

اختر جوارًا لـ . إذن هي مجموعة مفتوحة (بفضل استمرارية ) تحتوي على وجه الخصوص على ، وبالتالي فهي جوار لـ . من خلال تقارب إلى ، يوجد بحيث بالنسبة إلى ، لدينا . ${\displaystyle V}$${\displaystyle f(a)}$${\displaystyle f^{-1}(V)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$${\displaystyle f^{-1}(V)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle N}$${\displaystyle n>N}$${\displaystyle a_{n}\in f^{-1}(V)}$

ثم بتطبيق ذلك على كلا الجانبين نحصل على أنه بالنسبة لنفس ، لكل منهما لدينا . في الأصل كان هناك جوار عشوائي لـ ، لذا . وهذا يختتم الإثبات. ${\displaystyle f}$${\displaystyle N}$${\displaystyle n>N}$${\displaystyle f(a_{n})\in V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle f(a)}$${\displaystyle f(a_{n})\rightarrow f(a)}$

في التحليل الحقيقي، بالنسبة للحالة الأكثر تحديدًا للوظائف ذات القيمة الحقيقية المحددة على مجموعة فرعية ، أي ، يمكن أيضًا تعريف الدالة المستمرة على أنها دالة مستمرة في كل نقطة من مجالها. ${\displaystyle E\subset \mathbb {R} }$${\displaystyle f:E\rightarrow \mathbb {R} }$

في الطوبولوجيا ، تُستخدم الحدود لتحديد نقاط الحد لمجموعة فرعية من الفضاء الطوبولوجي، والتي بدورها توفر توصيفًا مفيدًا للمجموعات المغلقة .

في الفضاء الطوبولوجي ، ضع في اعتبارك مجموعة جزئية . تُسمى النقطة نقطة حدية إذا كان هناك تسلسل بحيث .${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \{a_{n}\}}$${\displaystyle S\backslash \{a\}}$${\displaystyle a_{n}\rightarrow a}$

السبب وراء تعريف "لماذا" بأنه "في" وليس "فقط" يتم توضيحه بالمثال التالي. خذ و . إذن ، و وبالتالي فهي نهاية المتوالية الثابتة . ولكنها ليست نقطة نهاية لـ . ${\displaystyle \{a_{n}\}}$${\displaystyle S\backslash \{a\}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X=\mathbb {R} }$${\displaystyle S=[0,1]\cup \{2\}}$${\displaystyle 2\in S}$${\displaystyle 2,2,\cdots }$${\displaystyle 2}$${\displaystyle S}$

المجموعة المغلقة، والتي يتم تعريفها على أنها مكملة لمجموعة مفتوحة، هي أيضًا أي مجموعة تحتوي على جميع نقاط نهايتها. ${\displaystyle C}$

يتم تعريف المشتقة رسميًا على أنها حد. في نطاق التحليل الحقيقي ، يتم تعريف المشتقة أولاً للدوال الحقيقية المحددة على مجموعة فرعية . يتم تعريف المشتقة عند على النحو التالي. إذا كان الحد كما هو موجود، فإن المشتقة عند هي هذا الحد. ${\displaystyle f}$${\displaystyle E\subset \mathbb {R} }$${\displaystyle x\in E}$$${\displaystyle {\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$$${\displaystyle h\rightarrow 0}$${\displaystyle x}$

وبالمثل، فهو الحد الأقصى اعتبارًا من ${\displaystyle y\rightarrow x}$$${\displaystyle {\frac {f(y)-f(x)}{y-x}}.}$$

إذا كان المشتق موجودًا، فسيتم الإشارة إليه عادةً بالرمز . ${\displaystyle f'(x)}$

بالنسبة لمتتاليات الأعداد الحقيقية، يمكن إثبات عدد من الخصائص. ^[12] افترض أن و هما متتاليتان متقاربتان إلى و على التوالي. ${\displaystyle \{a_{n}\}}$${\displaystyle \{b_{n}\}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

• مجموع الحدود يساوي حد المجموع

$${\displaystyle a_{n}+b_{n}\rightarrow a+b.}$$

• حاصل ضرب الحدود يساوي حد حاصل الضرب

$${\displaystyle a_{n}\cdot b_{n}\rightarrow a\cdot b.}$$

• معكوس الحد يساوي حد المعكوس (طالما أن )${\displaystyle a\neq 0}$

$${\displaystyle {\frac {1}{a_{n}}}\rightarrow {\frac {1}{a}}.}$$ وعلى نحو مماثل، تكون الدالة متصلة حول قيمة غير صفرية . ${\displaystyle f(x)=1/x}$${\displaystyle x}$

من خصائص المتتاليات المتقاربة للأعداد الحقيقية أنها متتاليات كوشي . ^[12] تعريف متتاليات كوشي هو أنه لكل عدد حقيقي ، يوجد بحيث كلما ، ${\displaystyle \{a_{n}\}}$${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle N}$${\displaystyle m,n>N}$$${\displaystyle |a_{m}-a_{n}|<\epsilon .}$$

بشكل غير رسمي، بالنسبة لأي خطأ صغير تعسفيًا ، من الممكن العثور على فاصل قطر بحيث يتم في النهاية احتواء التسلسل داخل الفاصل. ${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \epsilon }$

ترتبط متواليات كوشي ارتباطًا وثيقًا بالمتواليات المتقاربة. في الواقع، بالنسبة لمتواليات الأعداد الحقيقية، فهي متكافئة: أي متوالية كوشي متقاربة.

في الفضاءات المترية العامة، لا يزال من الثابت أن المتتاليات المتقاربة هي أيضًا متتاليات كوشي. لكن العكس ليس صحيحًا: فليست كل متتالية كوشي متقاربة في فضاء متري عام. المثال المضاد الكلاسيكي هو الأعداد النسبية ، ، ذات المسافة المعتادة. إن تسلسل التقريبات العشرية إلى ، المقطوعة عند المكان العشري هو متتاليات كوشي، لكنها لا تتقارب في . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

الفضاء المتري الذي يكون فيه كل متتالية كوشي متقاربة أيضًا، أي أن متتاليات كوشي تعادل المتتاليات المتقاربة، يُعرف بالفضاء المتري الكامل .

أحد الأسباب التي تجعل التعامل مع تسلسلات كوشي "أسهل" من التسلسلات المتقاربة هو أنها خاصية للتسلسل وحده، في حين أن التسلسلات المتقاربة لا تتطلب التسلسل فقط ولكن أيضًا حد التسلسل . ${\displaystyle \{a_{n}\}}$${\displaystyle \{a_{n}\}}$${\displaystyle a}$

بصرف النظر عما إذا كانت المتتالية تتقارب إلى حد أم لا ، فمن الممكن وصف مدى سرعة تقارب المتتالية إلى حد. إحدى الطرق لقياس ذلك هي استخدام ترتيب تقارب المتتالية. ${\displaystyle \{a_{n}\}}$${\displaystyle a}$

يمكن صياغة تعريف رسمي لترتيب التقارب على النحو التالي. افترض أن هي متوالية من الأعداد الحقيقية المتقاربة مع حد . علاوة على ذلك، بالنسبة لجميع . إذا كانت الثوابت الموجبة و موجودة بحيث يقال إنها تتقارب مع مع ترتيب التقارب . يُعرف الثابت بثابت الخطأ المقارب. ${\displaystyle \{a_{n}\}_{n>0}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a_{n}\neq a}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \alpha }$$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\left|a_{n+1}-a\right|}{\left|a_{n}-a\right|^{\alpha }}}=\lambda }$$${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \lambda }$

يتم استخدام ترتيب التقارب على سبيل المثال في مجال التحليل العددي ، وفي تحليل الخطأ.

قد يكون حساب الحدود أمرًا صعبًا. توجد تعبيرات حدودية لا يمكن حل معامل تقاربها . في نظرية التكرار ، تثبت مبرهنة الحدود أنه من الممكن ترميز المشكلات غير القابلة للحل باستخدام الحدود. ^[14]

هناك العديد من النظريات أو الاختبارات التي تشير إلى وجود الحد. وتُعرف هذه باسم اختبارات التقارب . ومن الأمثلة على ذلك اختبار النسبة ونظرية الضغط . ومع ذلك، قد لا توضح هذه الاختبارات كيفية حساب الحد.

• التحليل المقارب : طريقة لوصف السلوك المحدود
  • تدوين Big O : يستخدم لوصف السلوك المحدد للدالة عندما تتجه الحجة نحو قيمة معينة أو ما لا نهاية
• حد باناخ محدد في فضاء باناخ الذي يمتد الحدود المعتادة.${\displaystyle \ell ^{\infty }}$
• تقارب المتغيرات العشوائية
• مصفوفة متقاربة
• حدود في نظرية الفئات
  • الحد المباشر
  • الحد العكسي
• حدود الدالة
  • الحد أحادي الجانب : أي من حدي الدوال للمتغير الحقيقي x ، عندما يقترب x من نقطة من أعلى أو أسفل
  • قائمة الحدود : قائمة حدود الوظائف الشائعة
  • نظرية الضغط : إيجاد حد الدالة عن طريق المقارنة مع دالتين أخريين
• الحد الأعلى والحد الأدنى
• طرق التقارب
  • فهرس مُعلق

• أبوستول، توم م. (1974)، التحليل الرياضي (الطبعة الثانية)، مينلو بارك: أديسون ويسلي ، LCCN  72011473