تحوّل ستيلتجس

تذكر من حساب التفاضل والتكامل الأساسي أن $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{x^{2}+1}}dx=\lim _{x\to \infty }\arctan x-\lim _{x\to -\infty }\arctan x={\tfrac {\pi }{2}}-(-{\tfrac {\pi }{2}})=\pi {\text{.}}}$$ لذلك${\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{\pi }}(x^{2}+1)^{-1}}$هي دالة كثافة الاحتمال لتوزيع ما - توزيع كوشي . من خلال تغيير المتغيرات${\displaystyle x=(t-t_{0})/\varepsilon }$نحصل بذلك على عائلة توزيعات كوشي الكاملة: $${\displaystyle 1=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1/\pi }{x^{2}+1}}dx=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1/\pi }{({\frac {t-t_{0}}{\varepsilon }})^{2}+1}}{\frac {dx}{dt}}dt=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\varepsilon /\pi }{(t-t_{0})^{2}+\varepsilon ^{2}}}dt}$$ مثل${\displaystyle \varepsilon \to 0^{+}}$، تميل هذه إلى توزيع ديراك بكتلة عند${\displaystyle t_{0}}$دمج أي وظيفة${\displaystyle \rho (t)}$مقابل ذلك، سيتم تحديد القيمة${\displaystyle \rho (t_{0})}$بدلاً من ذلك، دمج $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\varepsilon /\pi }{(t-t_{0})^{2}+\varepsilon ^{2}}}\rho (t)\,dt}$$ بالنسبة للبعض${\displaystyle \varepsilon >0}$بدلاً من ذلك، ينتج القيمة عند${\displaystyle t_{0}}$لبعض النسخ المُحسّنة من${\displaystyle \rho }$كلما صغرت قيمة${\displaystyle \varepsilon }$كلما قلّ التنعيم المطبق، كان العامل أقل. عند استخدامه بهذه الطريقة،${\displaystyle {\frac {\varepsilon /\pi }{(t-t_{0})^{2}+\varepsilon ^{2}}}}$يُعرف أيضًا باسم نواة بواسون (لنصف المستوى). ^{[ 1 ]}

المقام${\displaystyle (t-t_{0})^{2}+\varepsilon ^{2}}$ليس لها أصفار حقيقية، ولكن لها صفران مركبان.${\displaystyle t=t_{0}\pm i\varepsilon }$وبالتالي، يحدث تفكيك جزئي للكسور $${\displaystyle {\frac {\varepsilon /\pi }{(t-t_{0})^{2}+\varepsilon ^{2}}}={\frac {1/2\pi i}{t-(t_{0}+i\varepsilon )}}-{\frac {1/2\pi i}{t-(t_{0}-i\varepsilon )}}}$$ وبالتالي لأي مقياس${\displaystyle \mu }$، $${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }{\frac {\varepsilon /\pi }{(t-x)^{2}+\varepsilon ^{2}}}d\mu (t)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\mathbb {R} }\left({\frac {1}{t-(x+i\varepsilon )}}-{\frac {1}{t-(x-i\varepsilon )}}\right)d\mu (t)={\frac {S_{\mu }(x+i\varepsilon )-S_{\mu }(x-i\varepsilon )}{2\pi i}}}$$ إذا كان المقياس${\displaystyle \mu }$وهي متصلة بشكل مطلق (بالنسبة لمقياس ليبيغ) عند${\displaystyle x}$ثم كما${\displaystyle \varepsilon \to 0^{+}}$هذا التكامل يميل إلى الكثافة عند${\displaystyle x}$أما إذا كان للمقياس كتلة نقطية عند${\displaystyle x}$ثم النهاية كما${\displaystyle \varepsilon \to 0^{+}}$يتباعد التكامل، وتحويل ستيلتجس${\displaystyle S_{\mu }}$يوجد عمود في${\displaystyle x}$.