مقياس ثانوي

في الرياضيات، المقياس الثانوي المرتبط بمقياس الكثافة الموجبة ρ عندما يكون هناك واحد، هو مقياس الكثافة الموجبة μ، مما يحول كثيرات الحدود الثانوية المرتبطة بكثيرات الحدود المتعامدة لـ ρ إلى نظام متعامد.

في ظل افتراضات معينة، من الممكن الحصول على وجود مقياس ثانوي وحتى التعبير عنه.

على سبيل المثال، يمكن القيام بذلك عند العمل في فضاء هيلبرت L ² ([0, 1], R , ρ)

${\displaystyle \forall x\in [0,1],\qquad \mu (x)={\frac {\rho (x)}{{\frac {\varphi ^{2}(x)}{4}}+\pi ^{2}\rho ^{2}(x)}}}$

مع

${\displaystyle \varphi (x)=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}2\int _{0}^{1}{\frac {(xt)\rho (t)}{(xt)^{2}+\varepsilon ^{2}}}\,dt}$

في الحالة العامة، أو:

${\displaystyle \varphi (x)=2\rho (x){\text{ln}}\left({\frac {x}{1-x}}\right)-2\int _{0}^{1}{\frac {\rho (t)-\rho (x)}{tx}}\,dt}$

عندما تحقق ρ شرط ليبشيتز .

يُطلق على هذا التطبيق φ اسم مُختزل ρ.

وبشكل أعم، ترتبط μ و ρ بتحويل ستيلتجس الخاص بهما بالصيغة التالية:

${\displaystyle S_{\mu}(z)=z-c_{1}-{\frac {1}{S_{\rho }(z)}}}$

حيث c ₁ هو عزم الرتبة 1 للمقياس ρ.

يمكن استخدام المقاييس الثانوية والنظرية المحيطة بها لاستخلاص الصيغ التقليدية للتحليل المتعلقة بدالة جاما ، ودالة زيتا لريمان ، وثابت أويلر-ماسكيروني .

كما سمحت هذه الدراسات بتوضيح مختلف التكاملات والمتسلسلات، على الرغم من أن هذا الأمر يميل إلى أن يكون صعباً مسبقاً.

وأخيرًا، فإنها تُتيح حل المعادلات التكاملية من الشكل التالي:

${\displaystyle f(x)=\int _{0}^{1}{\frac {g(t)-g(x)}{tx}}\rho (t)\,dt}$

حيث g هي الدالة المجهولة، وتؤدي إلى نظريات التقارب نحو مقياسي تشيبيشيف وديراك .

ليكن ρ مقياسًا للكثافة الموجبة على فترة I ويقبل العزوم من أي رتبة. ومن هذا، يمكن إنشاء عائلة { Pn _} من كثيرات الحدود المتعامدة للجداء الداخلي الناتج عن ρ.

ليكن { Qn _} متتالية كثيرات الحدود الثانوية المرتبطة بالعائلة P. في ظل شروط معينة، يوجد مقياس يجعل العائلة Q متعامدة. يُسمى هذا المقياس، الذي يمكن استنتاجه من ρ، مقياسًا ثانويًا مرتبطًا بالمقياس الأولي ρ.

عندما تكون ρ دالة كثافة احتمالية ، فإن الشرط الكافي الذي يسمح بأن يكون μ مقياسًا ثانويًا مرتبطًا بـ ρ مع السماح بعزوم من أي رتبة هو أن تحويل ستيلتجس الخاص به يُعطى بمساواة من النوع

${\displaystyle S_{\mu }(z)=a\left(z-c_{1}-{\frac {1}{S_{\rho }(z)}}\right),}$

حيث a ثابت اختياري و c ₁ يشير إلى عزم الرتبة 1 لـ ρ.

عندما تكون قيمة a تساوي 1، يمكن الحصول على المقياس المعروف باسم المقياس الثانوي. أما عندما تكون قيمة n أكبر من أو تساوي 1، فإن معيار كثير الحدود P _{_n} لـ ρ يتطابق تمامًا مع معيار كثير الحدود الثانوي المرتبط به Q_{_n} عند استخدام المقياس μ.

في هذه الحالة القصوى، وإذا كان الفضاء الناتج عن كثيرات الحدود المتعامدة كثيفًا في L² ( I , R , ρ)، _فإن ^المؤثر Tρ المعرف بواسطة

${\displaystyle f(x)\mapsto \int _{I}{\frac {f(t)-f(x)}{tx}}\rho (t)dt}$

يمكن تطوير إنشاء كثيرات الحدود الثانوية إلى خريطة خطية تربط الفضاء L ² ( I , R , ρ) بـ L ² ( I , R , μ) وتصبح متساوية القياس إذا اقتصرت على المستوى الفائق H _ρ للدوال المتعامدة مع P ₀ = 1.

بالنسبة للدوال غير المحددة القابلة للتكامل التربيعي لـ ρ ، يمكن الحصول على صيغة أكثر عمومية للتغاير :

${\displaystyle \langle f/g\rangle _{\rho} -\langle f/1\rangle _{\rho }\times \langle g/1\rangle _{\rho}=\langle T_{\rho }(f)/T_{\rho }(g)\rangle _{\mu }.}$

تستمر النظرية بتقديم مفهوم القياس القابل للاختزال، أي أن حاصل القسمة ρ/μ هو عنصر من L² ( I , R , μ). ثم يتم التوصل ^إلى النتائج التالية:

• المُختزل φ لـ ρ هو سابق لـ ρ/μ للمؤثر T _ρ . (في الواقع، السابق الوحيد الذي ينتمي إلى H _ρ ).

• لأي دالة قابلة للتكامل التربيعي بالنسبة لـ ρ، توجد مساواة تُعرف باسم الصيغة المختزلة:

${\displaystyle \langle f/\varphi \rangle _{\rho }=\langle T_{\rho }(f)/1\rangle _{\rho }}$.

• المشغل

${\displaystyle f\mapsto \varphi \times f-T_{\rho }(f)}$

يتم تمديد المعرفة على كثيرات الحدود في قياس متساوي القياس S _ρ الذي يربط إغلاق فضاء كثيرات الحدود هذه في L ² ( I , R , ρ ² μ ⁻¹ ) بالمستوى الفائق H _ρ المزود بالمعيار المستحث بواسطة ρ.

• في ظل ظروف تقييدية معينة، يعمل المؤثر S _ρ مثل المرافق لـ T _ρ بالنسبة للضرب الداخلي الناتج عن ρ.

وأخيرًا، يرتبط العاملان أيضًا، شريطة أن تكون الصور المعنية محددة، بالصيغة الأساسية للتركيب:

${\displaystyle T_{\rho }\circ S_{\rho }\left(f\right)={\frac {\rho }{\mu }}\times (f).}$

يتم الحصول على مقياس ليبيغ على الفترة القياسية [0، 1] عن طريق أخذ الكثافة الثابتة ρ( x ) = 1.

تُسمى كثيرات الحدود المتعامدة المرتبطة بها كثيرات حدود ليجندر (المُزاحة) ، ويمكن تعريفها على النحو التالي: $${\displaystyle P_{n}(x)={\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(x^{n}(1-x)^{n}\right).}$$ معيار هذه P _n هو ​$${\displaystyle {\frac {n!}{\sqrt {2n+1}}}}$$ ويمكن كتابة العلاقة التكرارية بثلاثة حدود على النحو التالي $${\displaystyle 2(2n+1)xP_{n}(x)=-P_{n+1}(x)+(2n+1)P_{n}(x)-n^{2}P_{n-1}(x).}$$

يُعطى مُخفِّض هذا المقياس لليبيغ بالصيغة التالية:

${\displaystyle \varphi (x)=2\ln \left({\frac {x}{1-x}}\right).}$

ثم يتم توضيح المقياس الثانوي المرتبط به على النحو التالي:

${\displaystyle \mu (x)={\frac {1}{\ln ^{2}\left({\frac {x}{1-x}}\right)+\pi ^{2}}}}$.

إذا قمنا بتطبيع كثيرات حدود ليجندر، فإن معاملات فورييه للمختزل φ المرتبط بهذا النظام المتعامد تكون معدومة بالنسبة للدليل الزوجي، وتُعطى بالعلاقة التالية:

${\displaystyle C_{n}(\varphi )=-{\frac {4{\sqrt {2n+1}}}{n(n+1)}}}$

لمؤشر فردي n .

ترتبط كثيرات حدود لاغير بالكثافة ρ( x ) ⁼ e⁻ˣ على الفترة I = [0, ∞). ويتم توضيحها بواسطة

${\displaystyle L_{n}(x)={\frac {e^{x}}{n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(x^{n}e^{-x})=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(-1)^{k}{\frac {x^{k}}{k!}}}$

ويتم توحيدها.

يتم تعريف المُخفِّض المرتبط بواسطة

${\displaystyle \varphi (x)=2\left(\ln(x)-\int _{0}^{\infty }e^{-t}\ln |xt|dt\right).}$

تُعطى معاملات تحويل فورييه للمختزل φ المرتبط بمتعددات حدود لاغير كما يلي:

${\displaystyle C_{n}(\varphi )=-{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {1}{\binom {n-1}{k}}}.}$

هذا المعامل C _n (φ) ليس إلا عكس مجموع عناصر خط الدليل n في جدول الأعداد المثلثية التوافقية لليبنيز .

ترتبط كثيرات حدود هيرميت بالكثافة الغاوسية

${\displaystyle \rho (x)={\frac {e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}}{\sqrt {2\pi }}}}$

على I = R .

يتم توضيحها بواسطة

${\displaystyle H_{n}(x)={\frac {1}{\sqrt {n!}}}e^{\frac {x^{2}}{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\right)}$

ويتم توحيدها.

يتم تعريف المُخفِّض المرتبط بواسطة

${\displaystyle \varphi (x)=-{\frac {2}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }te^{-{\frac {t^{2}}{2}}}\ln |xt|\,dt.}$

تكون معاملات تحويل فورييه للمختزل φ المرتبط بنظام كثيرات حدود هيرميت معدومة بالنسبة للدليل الزوجي، ويتم إعطاؤها بواسطة

${\displaystyle C_{n}(\varphi )=(-1)^{\frac {n+1}{2}}{\frac {\left({\frac {n-1}{2}}\right)!}{\sqrt {n!}}}}$

لمؤشر فردي n .

مقياس تشيبيشيف للشكل الثاني. ويُعرَّف هذا المقياس بالكثافة.

${\displaystyle \rho (x)={\frac {8}{\pi }}{\sqrt {x(1-x)}}}$

على الفترة [0، 1].

وهو الوحيد الذي يتطابق مع قياسه الثانوي المعياري على هذه الفترة القياسية. وفي ظل ظروف معينة، يظهر كحد لتسلسل القياسات الثانوية المعيارية لكثافة معينة.

المقياس الثانوي μ المرتبط بدالة كثافة الاحتمال ρ له عزم من الرتبة 0 معطى بالصيغة

${\displaystyle d_{0}=c_{2}-c_{1}^{2},}$

حيث يشير c ₁ و c ₂ إلى العزوم من الرتبة 1 و 2 على التوالي لـ ρ.

يمكن تكرار هذه العملية عن طريق "تطبيع" μ مع تعريف ρ ₁ = μ/ d ₀ والذي يصبح بدوره كثافة احتمال تسمى بشكل طبيعي المقياس الثانوي المطبع المرتبط بـ ρ.

انطلاقاً من ρ ₁ ، يمكن إنشاء مقياس معياري ثانوي ρ _{2. ويمكن تكرار هذه العملية للحصول على ρ 3} من ρ ₂ وهكذا.

لذلك، فإن سلسلة من المقاييس الثانوية المتتالية، المُنشأة من ρ₀ ₌ ρ، تكون بحيث يكون _{ρₙ₊₁ هو} المقياس الثانوي المعياري المُستنتج من _ρₙ

من الممكن توضيح الكثافة ρ _n باستخدام كثيرات الحدود المتعامدة P _n لـ ρ، وكثيرات الحدود الثانوية Q _n، والمختزل المرتبط بها φ. وهذا يعطي الصيغة التالية

${\displaystyle \rho _{n}(x)={\frac {1}{d_{0}^{n-1}}}{\frac {\rho (x)}{\left(P_{n-1}(x){\frac {\varphi (x)}{2}}-Q_{n-1}(x)\right)^{2}+\pi ^{2}\rho ^{2}(x)P_{n-1}^{2}(x)}}.}$

المعامل${\displaystyle d_{0}^{n-1}}$يمكن الحصول عليها بسهولة انطلاقاً من المعاملات الرئيسية لكثيرات الحدود P _{n −1} و P _n . كما يمكن توضيح المُختزل φ _n المرتبط بـ ρ _n ، بالإضافة إلى كثيرات الحدود المتعامدة المقابلة لـ ρ _{n .}

يمكن ربط تطور هذه الكثافات عندما يميل المؤشر نحو اللانهاية بدعم القياس على الفترة القياسية [0، 1]:

يترك

${\displaystyle xP_{n}(x)=t_{n}P_{n+1}(x)+s_{n}P_{n}(x)+t_{n-1}P_{n-1}(x)}$

لتكن العلاقة التكرارية الكلاسيكية بثلاثة حدود. إذا

${\displaystyle \lim _{n\mapsto \infty }t_{n}={\tfrac {1}{4}},\quad \lim _{n\mapsto \infty }s_{n}={\tfrac {1}{2}},}$

عندئذٍ، تتقارب المتتالية {ρ _n } تمامًا نحو كثافة تشيبيشيف من الشكل الثاني

${\displaystyle \rho _{tch}(x)={\frac {8}{\pi }}{\sqrt {x(1-x)}}}$.

تُتحقق هذه الشروط المتعلقة بالنهايات بواسطة فئة واسعة جدًا من الكثافات التقليدية. ويمكن إيجاد اشتقاق لتسلسل المقاييس الثانوية والتقارب في ^{[ 1 ] .}

في الصيغ أدناه ، G هو ثابت كاتالان ، وγ هو ثابت أويلر ، وβ _{2 n} هو عدد برنولي من الرتبة 2 n ، و H _{2 n +1} هو العدد التوافقي من الرتبة 2 n +1، وEi هي دالة التكامل الأسي .

${\displaystyle {\frac {1}{\ln(p)}}={\frac {1}{p-1}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{(x+p)(\ln ^{2}(x)+\pi ^{2})}}dx\qquad \qquad \forall p>1}$

${\displaystyle \gamma =\int _{0}^{\infty }{\frac {\ln(1+{\frac {1}{x}})}{\ln ^{2}(x)+\pi ^{2}}}dx}$

${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{2}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {\overline {(x+1)\cos(\pi x)}}{x+1}}dx}$

الترميز${\displaystyle x\mapsto {\overline {(x+1)\cos(\pi x)}}}$مما يشير إلى الدالة الدورية الثانية التي تتطابق مع${\displaystyle x\mapsto (x+1)\cos(\pi x)}$على (−1، 1).

${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{2}}+\sum _{k=1}^{n}{\frac {\beta _{2k}}{2k}}-{\frac {\beta _{2n}}{\zeta (2n)}}\int _{1}^{\infty }\lfloor t\rfloor \cos(2\pi t)t^{-2n-1}dt}$

${\displaystyle \beta _{k}={\frac {(-1)^{k}k!}{\pi }}{\text{Im}}\left(\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{x}}{(1+e^{x})(x-i\pi )^{k}}}dx\right)}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}\ln ^{2n}\left({\frac {x}{1-x}}\right)\,dx=(-1)^{n+1}(2^{2n}-2)\beta _{2n}\pi ^{2n}}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}\cdots \int _{0}^{1}\left(\sum _{k=1}^{2n}{\frac {\ln(t_{k})}{\prod _{i\neq k}(t_{k}-t_{i})}}\right)\,dt_{1}\cdots dt_{2n}={\tfrac {1}{2}}(-1)^{n+1}(2\pi )^{2n}\beta _{2n}}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-\alpha x}}{\Gamma (x+1)}}dx=e^{e^{-\alpha }}-1+\int _{0}^{\infty }{\frac {1-e^{-x}}{(\ln(x)+\alpha )^{2}+\pi ^{2}}}{\frac {dx}{x}}\qquad \qquad \forall \alpha \in \mathbf {R} }$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {1}{\binom {n-1}{k}}}\right)^{2}={\tfrac {4}{9}}\pi ^{2}=\int _{0}^{\infty }4\left(\mathrm {Ei} (1,-x)+i\pi \right)^{2}e^{-3x}\,dx.}$

${\displaystyle {\frac {23}{15}}-\ln(2)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1575}{2(n+1)(2n+1)(4n-3)(4n-1)(4n+1)(4n+5)(4n+7)(4n+9)}}}$

${\displaystyle G=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{4^{k+1}}}\left({\frac {1}{(4k+3)^{2}}}+{\frac {2}{(4k+2)^{2}}}+{\frac {2}{(4k+1)^{2}}}\right)+{\frac {\pi }{8}}\ln(2)}$

${\displaystyle G={\frac {\pi }{8}}\ln(2)+\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {H_{2n+1}}{2n+1}}.}$

إذا كان المقياس ρ قابلاً للاختزال، ولتكن φ هي المختزِلة المرتبطة به، فإن المساواة هي

${\displaystyle \int _{I}\varphi ^{2}(x)\rho (x)\,dx={\frac {4\pi ^{2}}{3}}\int _{I}\rho ^{3}(x)\,dx.}$

إذا كان المقياس ρ قابلاً للاختزال مع μ المختزل المرتبط به، وإذا كانت f قابلة للتكامل التربيعي لـ μ، وإذا كانت g قابلة للتكامل التربيعي لـ ρ ومتعامدة مع P ₀ = 1، فإن التكافؤ التالي يتحقق:

${\displaystyle f(x)=\int _{I}{\frac {g(t)-g(x)}{t-x}}\rho (t)dt\Leftrightarrow g(x)=(x-c_{1})f(x)-T_{\mu }(f(x))={\frac {\varphi (x)\mu (x)}{\rho (x)}}f(x)-T_{\rho }\left({\frac {\mu (x)}{\rho (x)}}f(x)\right)}$

يشير c ₁ إلى عزم الرتبة 1 لـ ρ و T _ρ المؤثر

${\displaystyle g(x)\mapsto \int _{I}{\frac {g(t)-g(x)}{t-x}}\rho (t)\,dt.}$

بالإضافة إلى ذلك، فإن لتسلسل القياسات الثانوية تطبيقات في ميكانيكا الكم، حيث ينتج عنه تسلسل كثافات الطيف المتبقية لهاملتونيان باولي-فيرز المتخصص . وهذا يوفر أيضًا تفسيرًا فيزيائيًا لتسلسل القياسات الثانوية. ^{[ 1 ]}

• كثيرات الحدود المتعامدة
• احتمال

• صفحة رولان غرو الشخصية حول نظرية المقاييس الثانوية