الهندسة العشوائية

في الرياضيات، تُعنى الهندسة العشوائية بدراسة الأنماط المكانية العشوائية. ويكمن جوهر هذا العلم في دراسة أنماط النقاط العشوائية. وهذا يقود إلى نظرية عمليات النقاط المكانية ، ومن ثم مفاهيم التكييف البالم، التي تمتد إلى الإطار الأكثر تجريدًا للقياسات العشوائية .

توجد نماذج مختلفة لعمليات النقاط، تستند عادةً إلى عملية بواسون المتجانسة الكلاسيكية (النموذج الأساسي للعشوائية المكانية الكاملة ) ولكنها تتجاوزها لإيجاد نماذج معبرة تسمح بأساليب إحصائية فعالة.

تُشكّل نظرية أنماط النقاط لبنة أساسية لتوليد عمليات الأجسام العشوائية، مما يسمح بإنشاء أنماط مكانية عشوائية معقدة. أبسط نسخة منها، وهي النموذج البولياني ، تضع جسمًا مضغوطًا عشوائيًا عند كل نقطة من نقاط عملية بواسون. تسمح النسخ الأكثر تعقيدًا بتفاعلات تستند بطرق مختلفة إلى هندسة الأجسام. تشمل اتجاهات التطبيق المختلفة: إنتاج نماذج للصور العشوائية إما كاتحاد مجموعات من الأجسام، أو كأنماط من الأجسام المتداخلة؛ وكذلك توليد نماذج مستوحاة هندسيًا لعملية النقاط الأساسية (على سبيل المثال، قد يكون توزيع نمط النقاط متحيزًا بعامل أسي يتضمن مساحة اتحاد الأجسام؛ وهذا يرتبط بنموذج ويدوم-رولينسون ^{[ 1 ]} للميكانيكا الإحصائية).

ما المقصود بالكائن العشوائي؟ تتطلب الإجابة الكاملة على هذا السؤال نظرية المجموعات المغلقة العشوائية ، التي تتصل بمفاهيم متقدمة من نظرية القياس. الفكرة الأساسية هي التركيز على احتمالات وقوع مجموعة مغلقة عشوائية معينة ضمن مجموعات اختبار محددة. وتبرز هنا مسائل الاستدلال (على سبيل المثال، تقدير المجموعة التي تُحيط بنمط نقاط معين) ونظريات تعميم المتوسطات، وما إلى ذلك، لتطبيقها على المجموعات العشوائية. ويجري حاليًا الربط بين هذا العمل الأخير والتطورات الحديثة في التحليل الرياضي الهندسي المتعلق بالفضاءات المترية العامة وهندستها. تُمكّننا المعلمات الجيدة لمجموعات عشوائية محددة من ربط عمليات الكائنات العشوائية بنظرية عمليات النقاط المميزة؛ حيث تُعتبر أزواج الكائن والنقطة نقاطًا في فضاء ضرب أكبر يتكون من حاصل ضرب الفضاء الأصلي وفضاء المعلمات.

لنفترض أننا لم نعد نهتم بالأجسام المدمجة، بل بالأجسام الممتدة مكانيًا: كالخطوط على المستوى أو الأسطح المستوية في الفضاء ثلاثي الأبعاد. يقودنا هذا إلى دراسة عمليات الخطوط، وعمليات الأسطح المستوية أو الأسطح فائقة الاستواء. لم يعد بالإمكان تحديد موقع مكاني مفضل لكل جسم؛ ومع ذلك، يمكن إعادة صياغة النظرية في نظرية عمليات النقاط من خلال تمثيل كل جسم بنقطة في فضاء تمثيلي مناسب. على سبيل المثال، في حالة الخطوط الموجهة في المستوى، يمكن اعتبار فضاء التمثيل أسطوانة. يكمن التعقيد في أن تناظرات الحركة الإقليدية ستُعبَّر عنها في فضاء التمثيل بطريقة غير مألوفة نوعًا ما. علاوة على ذلك، يجب أن تأخذ الحسابات في الحسبان الانحيازات المكانية المهمة (على سبيل المثال، تقل احتمالية اصطدام القطع المستقيمة بخطوط عشوائية موازية لها تقريبًا)، وهذا يوفر صلة مهمة ومثيرة للاهتمام بمجال علم القياس المجسم ، الذي يمكن اعتباره، من بعض النواحي، موضوعًا آخر من مواضيع الهندسة العشوائية. غالباً ما يكون من الأفضل إجراء الحسابات من حيث مجموعات الخطوط التي تصل إلى مجموعات اختبار مختلفة، بدلاً من العمل في فضاء التمثيل.

تُستخدم عمليات الخطوط والعمليات فائقة التسطيح بشكل مباشر، كما تُستخدم أيضًا كإحدى طرق إنشاء التبليطات التي تقسم الفضاء؛ ومن هنا، على سبيل المثال، يُمكن الحديث عن تبليطات خطوط بواسون. تُثبت نتيجة بارزة ^{[ 2 ]} أن الخلية عند نقطة الأصل في تبليط خطوط بواسون تكون دائرية تقريبًا عندما تكون كبيرة. بالطبع، يُمكن إنتاج التبليطات في الهندسة العشوائية بوسائل أخرى، على سبيل المثال باستخدام إنشاءات فورونوي ومتغيراتها، وكذلك بتكرار وسائل الإنشاء المختلفة.

يبدو أن ديفيد كيندال وكلاوس كريكبيرغ ^{[ 3 ]} قد صاغا هذا الاسم أثناء التحضير لورشة عمل أوبرولفاخ في يونيو 1969 ، على الرغم من أن جذور هذه النظرية تعود إلى زمن أبعد بكثير تحت مسمى الاحتمالية الهندسية . كما استخدم فريش وهامرسلي مصطلح "الهندسة العشوائية" في عام 1963 ^{[ 4 ]} كأحد اقتراحين لتسمية نظرية "البنى العشوائية غير المنتظمة" المستوحاة من نظرية الترشيح .

ركز هذا الوصف الموجز على نظرية الهندسة العشوائية ^{[ 3 ] [ 5 ]} ، التي تتيح فهمًا لبنية هذا المجال. مع ذلك، فإنّ جزءًا كبيرًا من حيوية هذا المجال وأهميته، بل والعديد من أفكاره الأصلية، ينبع من نطاق واسع جدًا من التطبيقات، على سبيل المثال: علم الفلك ^{[ 6 ]، والاتصالات} الموزعة مكانيًا ^{[ 7 ]} ، ونمذجة وتحليل الشبكات اللاسلكية ^{[ 8 ]} ، ونمذجة تلاشي القنوات [ ^{9 ] [ 10 ]} ، وعلم الغابات ^{[ 11 ]} ، والنظرية الإحصائية للشكل ^{[ 12 ]} ، وعلم المواد ^{[ 13 ]} ، والتحليل متعدد المتغيرات ، ومشكلات تحليل الصور ^{[ 14 ]} ، وعلم القياس المجسم . وهناك روابط مع الميكانيكا الإحصائية ^{[ 15 ]} ، وسلسلة ماركوف مونت كارلو ، وتطبيقات النظرية في الحوسبة الإحصائية (على سبيل المثال، spatstat ^{[ 16 ]} في لغة R ). ومؤخرًا، بدأت عمليات النقاط المحددة والدائمة (المرتبطة بنظرية المصفوفات العشوائية) تلعب دورًا مهمًا. ^{[ 17 ]}