مخطط فورونوي

في الرياضيات ، مخطط فورونوي هو تقسيم لمستوى إلى مناطق قريبة من كل مجموعة معينة من الأشياء. ويمكن تصنيفه أيضًا على أنه فسيفساء . في أبسط الحالات، تكون هذه الأشياء عبارة عن عدد محدود من النقاط في المستوى (تسمى البذور أو المواقع أو المولدات). لكل بذرة منطقة مقابلة تسمى خلية فورونوي ، تتكون من جميع نقاط المستوى الأقرب إلى تلك البذرة من أي نقطة أخرى. مخطط فورونوي لمجموعة من النقاط مزدوج لمثلثات ديلوناي لتلك المجموعة .

تم تسمية مخطط فورونوي على اسم عالم الرياضيات جورج فورونوي ، ويُطلق عليه أيضًا فسيفساء فورونوي ، أو تحلل فورونوي ، أو تقسيم فورونوي ، أو فسيفساء دي ريتشليت (على اسم بيتر جوستاف لوجون دي ريتشليت ). تُعرف خلايا فورونوي أيضًا باسم مضلعات ثيسن ، على اسم ألفريد إتش ثيسن . ^{[1] [2] [3]} لمخططات فورونوي تطبيقات عملية ونظرية في العديد من المجالات، وخاصة في العلوم والتكنولوجيا ، ولكن أيضًا في الفنون البصرية . ^{[4] [5]}

في أبسط الحالات، كما هو موضح في الصورة الأولى، لدينا مجموعة محدودة من النقاط في المستوى الإقليدي . في هذه الحالة، يكون كل موقع واحدًا من هذه النقاط المعطاة، وتتكون خلية فورونوي المقابلة لها من كل نقطة في المستوى الإقليدي يكون أقرب موقع لها: المسافة إلى أقل من أو تساوي الحد الأدنى للمسافة إلى أي موقع آخر . بالنسبة لموقع آخر ، فإن النقاط الأقرب إلى من إلى ، أو البعيدة بنفس القدر، تشكل نصف فضاء مغلق ، يكون حدوده هو المنصف العمودي لقطعة الخط المستقيم . الخلية هي تقاطع كل أنصاف الفضاء هذه، وبالتالي فهي مضلع محدب . ^[6] عندما تشترك خليتان في مخطط فورونوي في حدود، فإنها تكون قطعة خط مستقيم أو شعاعًا أو خطًا، يتكون من جميع النقاط في المستوى التي تكون متساوية البعد عن أقرب موقعين لهما. رؤوس الرسم البياني، حيث تلتقي ثلاثة أو أكثر من هذه الحدود، هي النقاط التي لها ثلاثة مواقع أقرب متساوية البعد أو أكثر. ${\displaystyle \{p_{1},\dots p_{n}\}}$${\displaystyle p_{k}}$${\displaystyle R_{k}}$${\displaystyle p_{k}}$${\displaystyle p_{k}}$${\displaystyle p_{j}}$${\displaystyle p_{j}}$${\displaystyle p_{k}}$${\displaystyle p_{j}}$${\displaystyle p_{j}p_{k}}$${\displaystyle R_{k}}$${\displaystyle n-1}$

ليكن فضاء متري بدالة مسافة . ليكن مجموعة من المؤشرات وليكن مجموعة ( مجموعة مفهرسة) من المجموعات الفرعية غير الفارغة (المواقع) في الفضاء . خلية فورونوي، أو منطقة فورونوي، المرتبطة بالموقع هي مجموعة جميع النقاط التي لا تكون المسافة إليها أكبر من المسافة بينها وبين المواقع الأخرى ، حيث يكون أي مؤشر مختلفًا عن . بعبارة أخرى، إذا كانت تشير إلى المسافة بين النقطة والمجموعة الفرعية ، إذن ${\textstyle X}$${\نمط النص د}$${\textstyle ك}$${\textstyle (P_{k})_{k\in K}}$${\textstyle X}$${\textstyle R_{k}}$${\textstyle P_{k}}$${\textstyle X}$${\textstyle P_{k}}$${\textstyle P_{j}}$${\textstyle j}$${\textstyle ك}$${\textstyle d(x,\,A)=\inf\{d(x,\,a)\منتصف أ\في أ\}}$${\نمط النص س}$${\textstyle أ}$

$${\displaystyle R_{k}=\{x\in X\mid d(x,P_{k})\leq d(x,P_{j})\;{\text{للكل}}\;j\neq k\}}$$

مخطط فورونوي هو ببساطة مجموعة من الخلايا . من حيث المبدأ، يمكن لبعض المواقع أن تتقاطع وحتى تتطابق (يتم وصف تطبيق أدناه للمواقع التي تمثل المتاجر)، ولكن عادة ما يُفترض أنها منفصلة. بالإضافة إلى ذلك، يُسمح بعدد لا نهائي من المواقع في التعريف (هذا الإعداد له تطبيقات في هندسة الأعداد وعلم البلورات )، ولكن مرة أخرى، في كثير من الحالات يتم النظر في عدد محدود فقط من المواقع. ${\textstyle (R_{k})_{k\in K}}$

في الحالة الخاصة حيث يكون الفضاء فضاء إقليديًا محدود الأبعاد ، كل موقع هو نقطة، يوجد عدد محدود من النقاط وكلها مختلفة، ثم تكون خلايا فورونوي عبارة عن متعددات السطوح محدبة ويمكن تمثيلها بطريقة تركيبية باستخدام رؤوسها وأضلاعها ووجوهها ثنائية الأبعاد وما إلى ذلك. في بعض الأحيان يشار إلى البنية التركيبية المستحثة باسم مخطط فورونوي. ومع ذلك، بشكل عام، قد لا تكون خلايا فورونوي محدبة أو حتى متصلة.

في الفضاء الإقليدي المعتاد، يمكننا إعادة كتابة التعريف الرسمي بمصطلحات معتادة. يرتبط كل مضلع فورونوي بنقطة مولد . لتكن مجموعة جميع النقاط في الفضاء الإقليدي. لتكن نقطة تولد منطقة فورونوي الخاصة بها ، وتولد ، وتولد ، وهكذا. إذن، كما عبر عن ذلك تران وآخرون ، ^[7] "كل المواقع في مضلع فورونوي أقرب إلى نقطة مولد ذلك المضلع من أي نقطة مولد أخرى في مخطط فورونوي في المستوى الإقليدي". ${\textstyle R_{k}}$${\textstyle P_{k}}$${\textstyle X}$${\textstyle P_{1}}$${\textstyle R_{1}}$${\textstyle P_{2}}$${\textstyle R_{2}}$${\textstyle P_{3}}$${\textstyle R_{3}}$

على سبيل المثال البسيط، لنفترض وجود مجموعة من المتاجر في مدينة ما. لنفترض أننا نريد تقدير عدد العملاء في متجر معين. ومع تساوي كل العوامل الأخرى (السعر، المنتجات، جودة الخدمة، إلخ)، فمن المعقول أن نفترض أن العملاء يختارون متجرهم المفضل ببساطة بناءً على اعتبارات المسافة: سيذهبون إلى المتجر الأقرب إليهم. في هذه الحالة، يمكن استخدام خلية فورونوي لمتجر معين لإعطاء تقدير تقريبي لعدد العملاء المحتملين الذين يذهبون إلى هذا المتجر (والذي يتم نمذجته من نقطة في مدينتنا). ${\displaystyle R_{k}}$${\displaystyle P_{k}}$

بالنسبة لمعظم المدن، يمكن قياس المسافة بين النقاط باستخدام المسافة الإقليدية المألوفة :

${\displaystyle \ell _{2}=d\left[\left(a_{1},a_{2}\right),\left(b_{1},b_{2}\right)\right]={\sqrt {\left(a_{1}-b_{1}\right)^{2}+\left(a_{2}-b_{2}\right)^{2}}}}$

أو مسافة مانهاتن :

${\displaystyle d\left[\left(a_{1},a_{2}\right),\left(b_{1},b_{2}\right)\right]=\left|a_{1}-b_{1}\right|+\left|a_{2}-b_{2}\right|}$.

تبدو مخططات فورونوي المقابلة مختلفة بالنسبة لمقاييس المسافة المختلفة.

• يتوافق الرسم البياني المزدوج لمخطط فورونوي (في حالة الفضاء الإقليدي مع مواقع النقاط) مع مثلث ديلوناي لنفس مجموعة النقاط.
• يتوافق أقرب زوج من النقاط مع خليتين متجاورتين في مخطط فورونوي.
• افترض أن الإعداد هو المستوى الإقليدي وأن مجموعة منفصلة من النقاط معطاة. عندئذٍ تكون نقطتان من المجموعة متجاورتين على الغلاف المحدب إذا وفقط إذا كانت خلايا فورونوي الخاصة بهما تشترك في ضلع طويل بلا حدود.
• إذا كانت المساحة مساحة معيارية وتم الوصول إلى المسافة إلى كل موقع (على سبيل المثال، عندما يكون الموقع عبارة عن مجموعة مضغوطة أو كرة مغلقة)، فيمكن تمثيل كل خلية فورونوي على أنها اتحاد لقطع الخطوط المنبثقة من المواقع. ^[8] وكما هو موضح هناك، فإن هذه الخاصية لا تنطبق بالضرورة عندما لا يتم الوصول إلى المسافة.
• في ظل ظروف عامة نسبيًا (الفضاء هو فضاء محدب موحد الأبعاد ربما لا نهائي ، يمكن أن يكون هناك عدد لا نهائي من المواقع ذات الشكل العام، إلخ.) تتمتع خلايا فورونوي بخاصية استقرار معينة: التغيير الصغير في أشكال المواقع، على سبيل المثال، التغيير الناجم عن بعض الترجمة أو التشويه، يؤدي إلى تغيير صغير في شكل خلايا فورونوي. هذا هو الاستقرار الهندسي لمخططات فورونوي. ^[9] كما هو موضح هناك، لا تصمد هذه الخاصية بشكل عام، حتى لو كانت المساحة ثنائية الأبعاد (ولكن محدبة بشكل غير موحد، وعلى وجه الخصوص، غير إقليدية) وكانت المواقع نقاطًا.

يمكن إرجاع الاستخدام غير الرسمي لمخططات فورونوي إلى ديكارت في عام 1644. ^{[10] استخدم} بيتر جوستاف لوجون دي ريتشليت مخططات فورونوي ثنائية الأبعاد وثلاثية الأبعاد في دراسته للأشكال التربيعية في عام 1850. استخدم الطبيب البريطاني جون سنو مخططًا يشبه فورونوي في عام 1854 لتوضيح كيف عاش غالبية الأشخاص الذين لقوا حتفهم في تفشي الكوليرا في شارع برود بالقرب من مضخة شارع برود المصابة أكثر من أي مضخة مياه أخرى.

تم تسمية مخططات فورونوي على اسم جورج فيودوسييفيتش فورونوي الذي عرَّف ودرس الحالة العامة ذات الأبعاد n في عام 1908. ^[11] تُسمى مخططات فورونوي المستخدمة في الجيوفيزياء والأرصاد الجوية لتحليل البيانات الموزعة مكانيًا مضلعات ثيسن على اسم عالم الأرصاد الجوية الأمريكي ألفريد إتش ثيسن ، الذي استخدمها لتقدير هطول الأمطار من قياسات متفرقة في عام 1911. أسماء أخرى مكافئة لهذا المفهوم (أو حالات مهمة معينة منه): متعددات وجوه فورونوي، مضلعات فورونوي، مجال(مجالات) التأثير، تحلل فورونوي، فسيفساء فورونوي، فسيفساء دي ريتشليت.

تؤدي فسيفساء فورونوي المكونة من شبكات منتظمة من النقاط في بعدين أو ثلاثة أبعاد إلى ظهور العديد من الفسيفساء المألوفة.

• تعطي الشبكة ثنائية الأبعاد فسيفساء غير منتظمة على شكل قرص العسل، مع سداسيات متساوية مع تناسق نقطي؛ في حالة الشبكة المثلثية المنتظمة تكون منتظمة؛ في حالة الشبكة المستطيلة، تتقلص السداسيات إلى مستطيلات في صفوف وأعمدة؛ تعطي الشبكة المربعة فسيفساء منتظمة للمربعات؛ لاحظ أنه يمكن أيضًا إنشاء المستطيلات والمربعات بواسطة شبكات أخرى (على سبيل المثال، الشبكة المحددة بواسطة المتجهات (1,0) و(1/2,1/2) تعطي مربعات).
• شبكة مكعبة بسيطة تعطي قرص العسل المكعب .
• شبكة سداسية متراصة تعطي فسيفساء من الفضاء مع مجسمات اثني عشر وجهًا على شكل شبه منحرف معينية الشكل .
• تعطي الشبكة المكعبة ذات مركز الوجه فسيفساءً من الفضاء باستخدام مجسم اثني عشر وجهًا معينيًا .
• شبكة مكعبية متمركزة حول الجسم تعطي تقسيمًا للفضاء مع ثماني السطوح المقطوعة .
• المستويات المتوازية ذات الشبكات المثلثية المنتظمة المتراصة مع مراكز بعضها البعض تعطي شكل قرص العسل المنشوري السداسي .
• تعطي بعض الشبكات الرباعية المركزية للجسم تقسيمًا للفضاء باستخدام مجسمات اثنا عشرية الشكل معينية الشكل سداسية الشكل .

تعطي بعض الشبكات الرباعية المركزية للجسم تقسيمًا للفضاء باستخدام مجسمات اثنا عشرية الشكل معينية الشكل سداسية الشكل .

بالنسبة لمجموعة النقاط ( x ،  y ) حيث x في مجموعة منفصلة X و y في مجموعة منفصلة Y ، نحصل على بلاطات مستطيلة حيث النقاط ليست بالضرورة في مراكزها.

على الرغم من أن خلية فورونوي الطبيعية تُعرَّف بأنها مجموعة النقاط الأقرب إلى نقطة واحدة في S ، فإن خلية فورونوي من الدرجة n تُعرَّف بأنها مجموعة النقاط التي تحتوي على مجموعة معينة من النقاط في S باعتبارها أقرب n جيران لها. كما تقسم مخططات فورونوي ذات الدرجة الأعلى الفضاء.

يمكن إنشاء مخططات فورونوي ذات الترتيب الأعلى بشكل متكرر. لإنشاء مخطط فورونوي من ^{الترتيب} n من المجموعة  S ، ابدأ بالمخطط ^{من الترتيب (} n  − 1) واستبدل كل خلية تم إنشاؤها بواسطة X  = { x ₁ ,  x ₂ , ...,  x _{n −1} } بمخطط فورونوي تم إنشاؤه على  المجموعة S  −  X.

بالنسبة لمجموعة من النقاط n ، يسمى مخطط فورونوي من الدرجة ( n − 1) مخطط ^{فورونوي} لأبعد نقطة  .

بالنسبة لمجموعة معينة من النقاط S  = { p ₁ ,  p ₂ , ...,  p _n } فإن مخطط فورونوي للنقطة الأبعد يقسم المستوى إلى خلايا حيث تكون نفس النقطة P هي النقطة الأبعد. تحتوي نقطة P على خلية في مخطط فورونوي للنقطة الأبعد إذا وفقط إذا كانت رأسًا للغلاف المحدب لـ P. دع H  = { h ₁ ,  h ₂ , ...,  h _k } تكون الغلاف المحدب لـ P ؛ عندئذٍ، يكون مخطط فورونوي لأبعد نقطة تقسيمًا للمستوى إلى k خلية، خلية واحدة لكل نقطة في H ، مع الخاصية التي تنص على أن النقطة q تقع في الخلية المقابلة للموقع h _i إذا وفقط إذا كانت d( q , h _i ) > d( q , p _j ) لكل p _j  ∈  S مع h _i ≠ p _j ، حيث d( p , q ) هي المسافة الإقليدية بين نقطتين p و  q . ^{[12] [13]}

تتمتع حدود الخلايا في مخطط فورونوي للنقطة الأبعد ببنية شجرة طوبولوجية ، مع أشعة لا نهائية كأوراق لها. كل شجرة محدودة متماثلة مع الشجرة التي تشكلت بهذه الطريقة من مخطط فورونوي للنقطة الأبعد. ^[14]

كما يوحي التعريف، يمكن تعريف خلايا فورونوي لمقاييس أخرى غير إقليدية، مثل مسافة ماهالانوبيس أو مسافة مانهاتن . ومع ذلك، في هذه الحالات قد تكون حدود خلايا فورونوي أكثر تعقيدًا مما هي عليه في الحالة الإقليدية، حيث قد يفشل المكان المتساوي البعد لنقطتين في أن يكون فضاءً فرعيًا للبعد المشترك 1، حتى في الحالة ثنائية الأبعاد.

مخطط فورونوي المرجح هو ذلك الذي تكون فيه دالة زوج من النقاط لتحديد خلية فورونوي عبارة عن دالة مسافة معدلة بأوزان مضاعفة أو إضافية مخصصة لنقاط المولد. وعلى النقيض من حالة خلايا فورونوي المحددة باستخدام مسافة مترية ، في هذه الحالة قد تكون بعض خلايا فورونوي فارغة. مخطط القوة هو نوع من مخططات فورونوي المحددة من مجموعة من الدوائر باستخدام مسافة القوة ؛ ويمكن أيضًا اعتباره مخطط فورونوي مرجحًا حيث يتم إضافة وزن محدد من نصف قطر كل دائرة إلى المسافة الإقليدية التربيعية من مركز الدائرة. ^[15]

يمكن أن يحتوي مخطط فورونوي للنقاط في الفضاء ذي الأبعاد على رؤوس، مما يتطلب نفس الحد لكمية الذاكرة اللازمة لتخزين وصف صريح لها. لذلك، غالبًا ما لا تكون مخططات فورونوي قابلة للتطبيق للأبعاد المتوسطة أو العالية. البديل الأكثر كفاءة في استخدام المساحة هو استخدام مخططات فورونوي التقريبية . ^[16]${\displaystyle n}$${\displaystyle د}$${\textstyle O(n^{\lceil d/2\rceil })}$

ترتبط مخططات فورونوي أيضًا بهياكل هندسية أخرى مثل المحور الإنسي (الذي وجد تطبيقات في تقسيم الصور، والتعرف الضوئي على الحروف ، وتطبيقات حسابية أخرى)، والهيكل المستقيم ، ومخططات المنطقة .

تُستخدم في علم الأرصاد الجوية وعلم المياه الهندسية لإيجاد أوزان بيانات هطول الأمطار للمحطات على مساحة (مستجمع مائي). النقاط التي تولد المضلعات هي المحطات المختلفة التي تسجل بيانات هطول الأمطار. يتم رسم منصفات عمودية على الخط الذي يربط بين أي محطتين. يؤدي هذا إلى تكوين مضلعات حول المحطات. تُعرف المنطقة التي تلامس نقطة المحطة باسم منطقة تأثير المحطة. يتم حساب متوسط ​​هطول الأمطار بالصيغة${\displaystyle (A_{i})}$${\displaystyle {\bar {P}}={\frac {\مجموع A_{i}P_{i}}{\مجموع A_{i}}}}$

• في علم الآثار الكلاسيكي ، وتحديدًا تاريخ الفن ، يتم تحليل تناسق رؤوس التماثيل لتحديد نوع التمثال الذي قد ينتمي إليه الرأس المقطوع. ومن الأمثلة على ذلك التي استخدمت خلايا فورونوي تحديد رأس سابوروف ، والذي استخدم شبكة متعددة الأضلاع عالية الدقة . ^{[17] [18]}
• في علم اللهجات ، تُستخدم خلايا فورونوي للإشارة إلى استمرارية لغوية مفترضة بين نقاط المسح.
• في العلوم السياسية ، تم استخدام مخططات فورونوي لدراسة المنافسة متعددة الأبعاد ومتعددة الأحزاب. ^[19]

• في علم الأحياء ، تُستخدم مخططات فورونوي لنمذجة عدد من الهياكل البيولوجية المختلفة، بما في ذلك الخلايا ^[20] والبنية الدقيقة للعظام. ^[21] في الواقع، تعمل فسيفساء فورونوي كأداة هندسية لفهم القيود الفيزيائية التي تحرك تنظيم الأنسجة البيولوجية. ^[22]
• في علم المياه ، تُستخدم مخططات فورونوي لحساب معدل هطول الأمطار في منطقة ما، استنادًا إلى سلسلة من القياسات النقطية. وفي هذا الاستخدام، يُشار إليها عمومًا باسم مضلعات ثيسن.
• في علم البيئة ، تُستخدم مخططات فورونوي لدراسة أنماط نمو الغابات ومظلات الغابات، وقد تكون مفيدة أيضًا في تطوير نماذج تنبؤية لحرائق الغابات.
• في علم السلوك ، تُستخدم مخططات فورونوي لنمذجة مجالات الخطر في نظرية القطيع الأناني .
• في الكيمياء الحاسوبية ، يتم تحويل مواقع ربط الربيطة إلى مخططات فورونوي لتطبيقات التعلم الآلي (على سبيل المثال، لتصنيف جيوب الربط في البروتينات). ^[23] في تطبيقات أخرى، تُستخدم خلايا فورونوي المحددة بمواضع النوى في الجزيء لحساب الشحنات الذرية . يتم ذلك باستخدام طريقة كثافة تشوه فورونوي .
• في الفيزياء الفلكية ، تُستخدم مخططات فورونوي لإنشاء مناطق تنعيم تكيفية على الصور، وإضافة تدفقات إشارة على كل منها. والهدف الرئيسي من هذه الإجراءات هو الحفاظ على نسبة إشارة إلى ضوضاء ثابتة نسبيًا على جميع الصور.
• في ديناميكيات السوائل الحسابية ، يمكن استخدام فسيفساء فورونوي لمجموعة من النقاط لتحديد المجالات الحسابية المستخدمة في طرق الحجم المحدود ، على سبيل المثال كما هو الحال في كود علم الكونيات الشبكي المتحرك AREPO. ^[24]
• في الفيزياء الحاسوبية ، تُستخدم مخططات فورونوي لحساب ملفات تعريف جسم ما باستخدام التصوير الظلي والتصوير الشعاعي للبروتون في فيزياء كثافة الطاقة العالية . ^[25]

• في التشخيص الطبي ، يمكن استخدام نماذج الأنسجة العضلية، استنادًا إلى مخططات فورونوي، للكشف عن الأمراض العصبية العضلية. ^[22]
• في علم الأوبئة ، يمكن استخدام مخططات فورونوي لربط مصادر العدوى في الأوبئة. وقد نفذ جون سنو أحد التطبيقات المبكرة لمخططات فورونوي لدراسة تفشي الكوليرا في شارع برود عام 1854 في سوهو بإنجلترا. وقد أظهر الارتباط بين المناطق السكنية على خريطة وسط لندن التي كان سكانها يستخدمون مضخة مياه محددة، والمناطق التي شهدت أكبر عدد من الوفيات بسبب تفشي المرض. ^[26]

• في فيزياء البوليمرات ، يمكن استخدام مخططات فورونوي لتمثيل الأحجام الحرة للبوليمرات.
• في علم المواد ، يتم تمثيل البنى الدقيقة متعددة البلورات في السبائك المعدنية عادةً باستخدام فسيفساء فورونوي.
• في نمو الجزر، يتم استخدام مخطط فورونوي لتقدير معدل نمو الجزر الفردية. ^{[27] [28] [29] [30] [31]}
• في فيزياء الحالة الصلبة ، خلية ويغنر-سيتز هي فسيفساء فورونوي للصلب، ومنطقة بريلوين هي فسيفساء فورونوي للفضاء المتبادل ( رقم الموجة ) للبلورات التي لها تماثل مجموعة فضائية.
• في مجال الطيران ، يتم فرض مخططات فورونوي على مخططات التخطيط المحيطي لتحديد أقرب مطار للتحويل أثناء الطيران (انظر ETOPS )، حيث تتقدم الطائرة خلال خطة رحلتها.
• في الهندسة المعمارية ، كانت أنماط فورونوي هي الأساس للمدخل الفائز بإعادة تطوير مركز الفنون في جولد كوست . ^[32]
• في التخطيط الحضري ، يمكن استخدام مخططات فورونوي لتقييم نظام منطقة تحميل البضائع. ^[33]
• في التعدين ، تُستخدم مضلعات فورونوي لتقدير احتياطيات المواد الثمينة أو المعادن أو الموارد الأخرى. تُستخدم ثقوب الحفر الاستكشافية كمجموعة من النقاط في مضلعات فورونوي.
• في علم القياس السطحي ، يمكن استخدام فسيفساء فورونوي لنمذجة خشونة السطح . ^[34]
• في مجال الروبوتات ، تعتمد بعض استراتيجيات التحكم وخوارزميات تخطيط المسار ^[35] للأنظمة متعددة الروبوتات على تقسيم فورونوي للبيئة. ^{[36] [37]}

• يمكن بناء بنية بيانات موقع النقطة أعلى مخطط فورونوي من أجل الإجابة على استعلامات أقرب جار ، حيث يريد المرء العثور على الكائن الأقرب إلى نقطة استعلام معينة. استعلامات أقرب جار لها تطبيقات عديدة. على سبيل المثال، قد يرغب المرء في العثور على أقرب مستشفى أو الكائن الأكثر تشابهًا في قاعدة البيانات . أحد التطبيقات الكبيرة هو كمية المتجهات ، والتي تُستخدم عادةً في ضغط البيانات .
• في الهندسة ، يمكن استخدام مخططات فورونوي للعثور على أكبر دائرة فارغة وسط مجموعة من النقاط، وفي مضلع محيط؛ على سبيل المثال لبناء سوبر ماركت جديد بعيدًا قدر الإمكان عن جميع المتاجر الموجودة، ويقع في مدينة معينة.
• تُستخدم مخططات فورونوي مع مخططات فورونوي لأبعد نقطة في خوارزميات فعّالة لحساب دائرية مجموعة من النقاط. ^[12] كما يُستخدم نهج فورونوي في تقييم الدائرية/ الاستدارة أثناء تقييم مجموعة البيانات من آلة قياس الإحداثيات .
• تتراكم أصفار المشتقات المتكررة لدالة نسبية على المستوى المركب على حواف مخطط فورونوي لمجموعة الأقطاب (نظرية مقاطعة بوليا ^[38] ).

• في الشبكات ، يمكن استخدام مخططات فورونوي في اشتقاقات سعة الشبكة اللاسلكية .
• في رسومات الكمبيوتر ، تُستخدم مخططات فورونوي لحساب أنماط هندسة التفتت/الكسر ثلاثية الأبعاد. كما تُستخدم أيضًا لتوليد نسيج عضوي أو نسيج يشبه الحمم البركانية إجرائيًا .
• في الملاحة الآلية المستقلة ، تُستخدم مخططات فورونوي للعثور على مسارات واضحة. إذا كانت النقاط عبارة عن عوائق، فستكون حواف الرسم البياني هي المسارات الأبعد عن العوائق (ونظريًا أي تصادمات).
• في التعلم الآلي ، يتم استخدام مخططات فورونوي لإجراء تصنيفات 1-NN . ^[39]
• في إعادة بناء المشهد العالمي، بما في ذلك مواقع الاستشعار العشوائية وتدفق الاستيقاظ غير المستقر، والبيانات الجيوفيزيائية، وبيانات الاضطرابات ثلاثية الأبعاد، تُستخدم فسيفساء فورونوي مع التعلم العميق . ^[40]
• في تطوير واجهة المستخدم ، يمكن استخدام أنماط فورونوي لحساب أفضل حالة تحويم لنقطة معينة. ^[41]

هناك العديد من الخوارزميات الفعّالة المعروفة لبناء مخططات فورونوي، إما بشكل مباشر (مثل المخطط نفسه) أو بشكل غير مباشر من خلال البدء بتثليث ديلوناي ثم الحصول على ثنائيته. تتضمن الخوارزميات المباشرة خوارزمية فورتشن ، وهي خوارزمية O ( n log( n )) لتوليد مخطط فورونوي من مجموعة من النقاط في المستوى. يمكن استخدام خوارزمية بوير واتسون ، وهي خوارزمية O ( n log( n )) إلى O ( n ² ) لتوليد مثلث ديلوناي في أي عدد من الأبعاد، في خوارزمية غير مباشرة لمخطط فورونوي. يمكن لخوارزمية القفز الفيضاني توليد مخططات فورونوي تقريبية في وقت ثابت وهي مناسبة للاستخدام على أجهزة الرسومات التجارية. ^{[42] [43]}

تستخدم خوارزمية لويد وتعميمها عبر خوارزمية ليند-بوزو-جراي ( المعروفة أيضًا باسم التجميع المتوسط ​​k ) إنشاء مخططات فورونوي كبرنامج فرعي. تتناوب هذه الطرق بين الخطوات التي يتم فيها إنشاء مخطط فورونوي لمجموعة من نقاط البذرة، والخطوات التي يتم فيها نقل نقاط البذرة إلى مواقع جديدة أكثر مركزية داخل خلاياها. يمكن استخدام هذه الطرق في مساحات ذات أبعاد عشوائية للتقارب بشكل متكرر نحو شكل متخصص من مخطط فورونوي، يسمى فسيفساء فورونوي المركزي ، حيث تم نقل المواقع إلى نقاط هي أيضًا المراكز الهندسية لخلاياها.

يمكن أيضًا إنشاء شبكات Voronoi بتقنية ثلاثية الأبعاد.

• 
  نقاط عشوائية ثلاثية الأبعاد لتشكيل قسم فورونوي ثلاثي الأبعاد
• 
  شبكة فورونوي ثلاثية الأبعاد مكونة من 25 نقطة عشوائية
• 
  شبكة فورونوي ثلاثية الأبعاد مكونة من 25 نقطة عشوائية مع تعتيم 0.3 ونقاط
• 
  شبكة فورونوي ثلاثية الأبعاد مكونة من 25 نقطة عشوائية من قطع متعدد السطوح المحدبة

• وايسستين، إريك دبليو. “مخطط فورونوي”. عالم الرياضيات .
• مخططات فورونوي في مكتبة CGAL لخوارزميات الهندسة الحسابية
• برنامج تجريبي لخوارزمية SFTessellation، التي تنشئ مخطط فورونوي باستخدام نموذج حريق السهوب