مجموعة مضغوطة عشوائية

في الرياضيات ، تُعرَّف المجموعة المدمجة العشوائية بأنها مجموعة مدمجة تحتوي على متغير عشوائي ذي قيم . وتُعدّ المجموعات المدمجة العشوائية مفيدة في دراسة جاذبات الأنظمة الديناميكية العشوائية .

يترك${\displaystyle (M,d)}$ليكن فضاءً متريًا كاملًا قابلًا للفصل .${\displaystyle {\mathcal {K}}}$يرمز إلى مجموعة جميع المجموعات الجزئية المدمجة من${\displaystyle M}$مقياس هاوسدورف${\displaystyle h}$على${\displaystyle {\mathcal {K}}}$يتم تعريفها بواسطة

${\displaystyle h(K_{1},K_{2}):=\max \left\{\sup _{a\in K_{1}}\inf _{b\in K_{2}}d(a,b),\sup _{b\in K_{2}}\inf _{a\in K_{1}}d(a,b)\right\}.}$

${\displaystyle ({\mathcal {K}},h)}$وهي أيضًا فضاء متري قابل للفصل تمامًا. وتولد المجموعات الفرعية المفتوحة المقابلة جبرًا من نوع سيجما على${\displaystyle {\mathcal {K}}}$جبر بوريل سيجما${\displaystyle {\mathcal {B}}({\mathcal {K}})}$ل${\displaystyle {\mathcal {K}}}$.

المجموعة المدمجة العشوائية هي دالة قابلة للقياس${\displaystyle K}$من فضاء احتمالي${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$داخل${\displaystyle ({\mathcal {K}},{\mathcal {B}}({\mathcal {K}}))}$.

بعبارة أخرى، المجموعة المدمجة العشوائية هي دالة قابلة للقياس${\displaystyle K\colon \Omega \to 2^{M}}$بحيث${\displaystyle K(\omega )}$من شبه المؤكد أنها مضغوطة و

${\displaystyle \omega \mapsto \inf _{b\in K(\omega )}d(x,b)}$

هي دالة قابلة للقياس لكل${\displaystyle x\in M}$.

تُعتبر المجموعات المتراصة العشوائية بهذا المعنى أيضًا مجموعات مغلقة عشوائية كما ورد في ماثيرون (1975). وبالتالي، وبافتراض إضافي أن فضاء الحامل متراص محليًا، فإن توزيعها يُعطى بالاحتمالات.

${\displaystyle \mathbb {P} (X\cap K=\emptyset )}$ل${\displaystyle K\in {\mathcal {K}}.}$

(يتم أيضًا إعطاء توزيع مجموعة محدبة مضغوطة عشوائية بواسطة نظام جميع احتمالات الاحتواء)${\displaystyle \mathbb {P} (X\subset K).}$)

ل${\displaystyle K=\{x\}}$، الاحتمال${\displaystyle \mathbb {P} (x\in X)}$يتم الحصول على ذلك، وهو ما يرضي

${\displaystyle \mathbb {P} (x\in X)=1-\mathbb {P} (x\not \in X).}$

وبالتالي فإن دالة التغطية${\displaystyle p_{X}}$يُعطى بواسطة

${\displaystyle p_{X}(x)=\mathbb {P} (x\in X)}$ل${\displaystyle x\in M.}$

بالطبع،${\displaystyle p_{X}}$ويمكن تفسيرها أيضاً على أنها متوسط ​​دالة المؤشر${\displaystyle \mathbf {1} _{X}}$:

${\displaystyle p_{X}(x)=\mathbb {E} \mathbf {1} _{X}(x).}$

تأخذ دالة التغطية قيمًا بين${\displaystyle 0}$و${\displaystyle 1}$المجموعة${\displaystyle b_{X}}$من بين الجميع${\displaystyle x\in M}$مع${\displaystyle p_{X}(x)>0}$يُطلق عليه اسم دعم${\displaystyle X}$المجموعة${\displaystyle k_{X}}$، من بين الجميع${\displaystyle x\in M}$مع${\displaystyle p_{X}(x)=1}$يُطلق عليه اسم النواة ، أو مجموعة النقاط الثابتة ، أو الحد الأدنى الأساسي${\displaystyle e(X)}$. لو${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots }$إذا كانت متتالية من مجموعات عشوائية مضغوطة مستقلة ومتطابقة التوزيع، فمن شبه المؤكد

${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{\infty }X_{i}=e(X)}$

و${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{\infty }X_{i}}$يتقارب بشكل شبه مؤكد إلى${\displaystyle e(X).}$

• ماثيرون، ج. (1975) المجموعات العشوائية والهندسة التكاملية . جون وايلي وأولاده، نيويورك. ISBN 0-471-57621-2
• مولتشانوف، آي. (2005). نظرية المجموعات العشوائية . سبرينغر، نيويورك. ISBN 1-85233-892-X
• ستويان د.، وهـ. ستويان (1994) الأشكال الكسورية، والأشكال العشوائية، وحقول النقاط . جون وايلي وأولاده، تشيتشستر، نيويورك. ISBN 0-471-93757-6