العمليات العشوائية ومسائل القيم الحدية

في الرياضيات ، يمكن حل بعض مسائل القيم الحدية باستخدام أساليب التحليل العشوائي . ولعلّ أشهر مثال على ذلك هو حلّ شيزو كاكوتاني عام 1944 لمسألة ديريشليه لمؤثر لابلاس باستخدام الحركة البراونية . ^{[ 1 ]} ومع ذلك، فقد تبيّن أنه بالنسبة لفئة واسعة من المعادلات التفاضلية الجزئية شبه الإهليلجية من الرتبة الثانية، يمكن حلّ مسألة ديريشليه ذات القيم الحدية المرتبطة بها باستخدام عملية إيتو التي تحلّ معادلة تفاضلية عشوائية مرتبطة بها .

تم إعادة اكتشاف العلاقة بين المؤثرات شبه الإهليلجية والعمليات العشوائية، متبوعة باستخدامها لحل مسائل القيم الحدية، بشكل متكرر ومستقل في أوائل ومنتصف القرن العشرين.

إن الصلة التي أوجدها كاكوتاني بين المعادلات التفاضلية العشوائية وعملية إيتو تُشابه إلى حد كبير معادلة كولموغوروف الأمامية ، التي طُرحت عام 1931، والتي عُرفت لاحقًا باسم معادلة فوكر-بلانك ، التي عُرضت لأول مرة بين عامي 1914 و1917. أما حل مسألة القيمة الحدية باستخدام القيم المتوقعة على العمليات العشوائية، فيُعرف الآن باسم صيغة فاينمان-كاك ، التي طُوّرت عام 1947، وليس باسم كاكوتاني.

تستند هذه النتائج إلى استخدام تكامل إيتو ، اللازم لتكامل عملية عشوائية. ولكن تم اكتشاف هذا التكامل بشكل مستقل أيضًا باسم تكامل ستراتونوفيتش ؛ ويمكن تحويل الشكلين إلى بعضهما البعض عن طريق إزاحة.

يترك${\displaystyle D}$ليكن مجالًا ( مجموعة مفتوحة ومتصلة ) في${\textstyle \mathbb {R} ^{n}}$. يترك${\displaystyle \Delta }$ليكن عامل لابلاس ، ولتكن${\displaystyle g}$لتكن دالة محدودة على الحدود${\displaystyle \partial D}$ولننظر في المشكلة:

${\displaystyle {\begin{cases}-\Delta u(x)=0,&x\in D\\\displaystyle {\lim _{y\to x}u(y)}=g(x),&x\in \partial D\end{cases}}}$

يمكن إثبات أنه إذا كان الحل${\displaystyle u}$موجود، إذن${\displaystyle u(x)}$القيمة المتوقعة لـ${\displaystyle g(x)}$عند نقطة الخروج الأولى (العشوائية) من${\displaystyle D}$لحركة براونية نموذجية تبدأ عند${\displaystyle x}$انظر النظرية 3 في كاكوتاني 1944، ص  710.

يترك${\displaystyle D}$أن يكون نطاقًا في${\textstyle \mathbb {R} ^{n}}$ودع${\displaystyle L}$ليكن مؤثر تفاضلي شبه إهليلجي على${\textstyle C^{2}(\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} )}$على شكل:

${\displaystyle L=\sum _{i=1}^{n}b_{i}(x){\frac {\partial }{\partial x_{i}}}+\sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}(x){\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}}$

حيث المعاملات${\displaystyle b_{i}}$و${\displaystyle a_{ij}}$هي دوال متصلة وجميع القيم الذاتية للمصفوفة${\displaystyle \alpha (x)=a_{ij}(x)}$هي غير سالبة. ليكن${\textstyle f\in C(D;\mathbb {R} )}$و${\textstyle g\in C(\partial D;\mathbb {R} )}$لنأخذ مسألة بواسون كمثال :

$\begin{cases}-Lu(x)=f(x),&x\in D\\\displaystyle {\lim _{y\to x}u(y)}=g(x),&x\in \partial D\end{cases}}\quad {\mbox{(P1)}}}$

تتلخص فكرة الطريقة العشوائية لحل هذه المشكلة فيما يلي: أولاً، يتم إيجاد انتشار إيتو .${\displaystyle X}$مولده المتناهي الصغر${\displaystyle A}$يتزامن مع${\displaystyle L}$على دعامة مضغوطة${\displaystyle C^{2}}$الوظائف${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$. على سبيل المثال،${\displaystyle X}$يمكن اعتبارها حلاً للمعادلة التفاضلية العشوائية:

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=b(X_{t})\,\mathrm {d} t+\sigma (X_{t})\,\mathrm {d} B_{t}}$

أين${\displaystyle B}$هي حركة براونية ذات أبعاد n ،${\displaystyle b}$يحتوي على مكونات${\displaystyle b_{i}}$كما سبق، وحقل المصفوفة${\displaystyle \sigma }$يتم اختيارها بحيث:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (x)\sigma (x)^{\top }=a(x),\quad \forall x\in \mathbb {R} ^{n}}$

من أجل نقطة${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$، يترك${\displaystyle \mathbb {P} ^{x}}$يدل على قانون${\displaystyle X}$معطى البيانات الأولية${\displaystyle X_{0}=x}$ودع${\displaystyle \mathbb {E} ^{x}}$يشير إلى التوقع فيما يتعلق بـ${\displaystyle \mathbb {P} ^{x}}$. يترك${\displaystyle \tau _{D}}$يشير إلى وقت الخروج الأول لـ${\displaystyle X}$من${\displaystyle D}$.

في هذه الصيغة، يكون الحل المرشح لـ (P1) هو:

${\displaystyle u(x)=\mathbb {E} ^{x}\left[g{\big (}X_{\tau _{D}}{\big )}\cdot \chi _{\{\tau _{D}<+\infty \}}\right]+\mathbb {E} ^{x}\left[\int _{0}^{\tau _{D}}f(X_{t})\,\mathrm {d} t\right]}$

بشرط أن${\displaystyle g}$هي دالة محدودة ، وأن:

${\displaystyle \mathbb {E} ^{x}\left[\int _{0}^{\tau _{D}}{\big |}f(X_{t}){\big |}\,\mathrm {d} t\right]<+\infty }$

اتضح أن هناك شرطًا إضافيًا مطلوبًا:

${\displaystyle \mathbb {P} ^{x}{\big (}\tau _{D}<\infty {\big )}=1,\quad \forall x\in D}$

للجميع${\displaystyle x}$العملية${\displaystyle X}$ابتداءً من${\displaystyle x}$من المؤكد أن الارتياح يغادر${\displaystyle D}$في زمن محدود. وبناءً على هذا الافتراض، يختزل الحل المرشح أعلاه إلى:

${\displaystyle u(x)=\mathbb {E} ^{x}\left[g{\big (}X_{\tau _{D}}{\big )}\right]+\mathbb {E} ^{x}\left[\int _{0}^{\tau _{D}}f(X_{t})\,\mathrm {d} t\right]}$

ويحل (P1) بمعنى أنه إذا${\displaystyle {\mathcal {A}}}$يرمز إلى المؤثر المميز لـ${\displaystyle X}$(وهو ما يتفق مع${\displaystyle A}$على${\displaystyle C^{2}}$ثم:

${\displaystyle {\begin{cases}-{\mathcal {A}}u(x)=f(x),&x\in D\\\displaystyle {\lim _{t\uparrow \tau _{D}}u(X_{t})}=g{\big (}X_{\tau _{D}}{\big )},&\mathbb {P} ^{x}{\mbox{-a.s.,}}\;\forall x\in D\end{cases}}\quad {\mbox{(P2)}}}$

علاوة على ذلك، إذا${\textstyle v\in C^{2}(D;\mathbb {R} )}$يحقق (P2) ويوجد ثابت${\displaystyle C}$بحيث يكون ذلك، بالنسبة للجميع${\displaystyle x\in D}$:

${\displaystyle |v(x)|\leq C\left(1+\mathbb {E} ^{x}\left[\int _{0}^{\tau _{D}}{\big |}f(X_{s}){\big |}\,\mathrm {d} s\right]\right)}$

ثم${\displaystyle v=u}$.

• كاكوتاني، شيزو (1944). "الحركة البراونية ثنائية الأبعاد والدوال التوافقية" . وقائع الأكاديمية الإمبراطورية في طوكيو . 20 (10): 706-714 . doi : 10.3792/pia/1195572706 .
• كاكوتاني، شيزو (1944). "حول الحركة البراونية في الفضاء ذي الأبعاد n " . وقائع الأكاديمية الإمبراطورية في طوكيو . 20 (9): 648-652 . doi : 10.3792/pia/1195572742 .