معادلة تفاضلية عشوائية

📅 آخر تحديث: ٢٣ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٣ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 96 صور
الموسوعة الحرة

المعادلة التفاضلية العشوائية ( SDE ) هي معادلة تفاضلية يكون فيها واحد أو أكثر من حدودها عملية عشوائية ، [ 1 ] مما ينتج عنه حل هو أيضاً عملية عشوائية. للمعادلات التفاضلية العشوائية تطبيقات عديدة في الرياضيات البحتة، وتُستخدم لنمذجة سلوكيات مختلفة للنماذج العشوائية، مثل أسعار أسهم الشركات المدرجة، [ 2 ] ونماذج النمو العشوائي ، [ 3 ] أو الأنظمة الفيزيائية التي تتعرض لتقلبات حرارية .

تتميز المعادلات التفاضلية العشوائية بتفاضل عشوائي، وهو في أبسط حالاته ضوضاء بيضاء عشوائية تُحسب كمشتق توزيعي لحركة براونية أو بشكل أعم، شبه مارتينجال . مع ذلك، توجد أنواع أخرى من السلوك العشوائي، مثل عمليات القفز كعمليات ليفي [ 4 ] أو شبه مارتينجال مع قفزات.

المعادلات التفاضلية العشوائية ليست عمومًا معادلات تفاضلية عادية ولا معادلات تفاضلية عشوائية . المعادلات التفاضلية العشوائية هي نظائر للمعادلات التفاضلية العشوائية. ويمكن أيضًا توسيع نطاق المعادلات التفاضلية العشوائية ليشمل الفضاءات التفاضلية . [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]

خلفية

نشأت المعادلات التفاضلية العشوائية من نظرية الحركة البراونية ، في أعمال ألبرت أينشتاين وماريان سمولوشوفسكي عام 1905، مع أن لويس باشيليه كان أول من نُسب إليه نمذجة الحركة البراونية عام 1900، مقدماً مثالاً مبكراً جداً لمعادلة تفاضلية عشوائية تُعرف الآن بنموذج باشيليه . كانت بعض هذه الأمثلة المبكرة معادلات تفاضلية عشوائية خطية، تُسمى أيضاً معادلات لانجفين نسبةً إلى الفيزيائي الفرنسي لانجفين ، تصف حركة مذبذب توافقي خاضع لقوة عشوائية. تطورت النظرية الرياضية للمعادلات التفاضلية العشوائية في أربعينيات القرن العشرين من خلال العمل الرائد للرياضي الياباني كيوشي إيتو ، الذي قدم مفهوم التكامل العشوائي وبدأ دراسة المعادلات التفاضلية العشوائية غير الخطية. لاحقاً، اقترح الفيزيائي الروسي ستراتونوفيتش منهجاً آخر ، أدى إلى حساب تفاضلي مشابه لحساب التفاضل والتكامل العادي.

مصطلحات

الشكل الأكثر شيوعًا للمعادلات التفاضلية العشوائية في الأدبيات هو معادلة تفاضلية عادية مع اضطراب في الطرف الأيمن بحد يعتمد على متغير ضوضاء بيضاء . في معظم الحالات، تُفهم المعادلات التفاضلية العشوائية على أنها نهاية زمنية متصلة لمعادلات الفرق العشوائية المقابلة . هذا الفهم للمعادلات التفاضلية العشوائية غامض، ويجب استكماله بتعريف رياضي دقيق للتكامل المقابل. [ 1 ] [ 3 ] اقترح كيوزي إيتو هذا التعريف الرياضي لأول مرة في أربعينيات القرن العشرين، مما أدى إلى ما يُعرف اليوم بحساب إيتو . اقترح الفيزيائي الروسي ستراتونوفيتش لاحقًا بناءً آخر ، مما أدى إلى ما يُعرف بتكامل ستراتونوفيتش . يرتبط تكامل إيتو وتكامل ستراتونوفيتش ، لكنهما مختلفان، ويعتمد الاختيار بينهما على التطبيق المُراد دراسته. يعتمد حساب إيتو على مفهوم عدم التوقع أو السببية، وهو مفهوم طبيعي في التطبيقات التي يكون فيها المتغير هو الزمن. من ناحية أخرى، يمتلك حساب ستراتونوفيتش قواعد تشبه حساب التفاضل والتكامل العادي، وله خصائص هندسية جوهرية تجعله أكثر طبيعية عند التعامل مع المسائل الهندسية مثل الحركة العشوائية على المشعبات ، على الرغم من أنه من الممكن، بل وفي بعض الحالات يُفضل، نمذجة الحركة العشوائية على المشعبات من خلال معادلات إيتو التفاضلية العشوائية، [ 6 ] على سبيل المثال عند محاولة تقريب المعادلات التفاضلية العشوائية على المشعبات الفرعية على النحو الأمثل. [ 9 ]

يُقدّم التدفق العشوائي للتشاكلات منظورًا بديلًا للمعادلات التفاضلية العشوائية. هذا الفهم واضح لا لبس فيه، ويتوافق مع صيغة ستراتونوفيتش للحد الزمني المستمر للمعادلات التفاضلية العشوائية. ترتبط بالمعادلات التفاضلية العشوائية معادلة سمولوشوفسكي أو معادلة فوكر-بلانك ، وهي معادلة تصف التطور الزمني لدوال توزيع الاحتمال . ويُقدّم مفهوم مُؤثّر التطور العشوائي تعميمًا لتطور فوكر-بلانك ليشمل التطور الزمني للأشكال التفاضلية .

في العلوم الفيزيائية، يوجد غموض في استخدام مصطلح "معادلات لانجفين التفاضلية العشوائية" . فبينما يمكن أن تتخذ هذه المعادلات شكلاً أكثر عمومية ، يشير هذا المصطلح عادةً إلى فئة ضيقة من المعادلات التفاضلية العشوائية ذات حقول متجهات التدفق المتدرج. وتحظى هذه الفئة من المعادلات بشعبية خاصة لأنها نقطة انطلاق لإجراء باريسي-سورلاس للتكميم العشوائي [ 10 ] ، مما يؤدي إلى نموذج فائق التناظر N=2 يرتبط ارتباطًا وثيقًا بميكانيكا الكم فائقة التناظر . مع ذلك، من وجهة النظر الفيزيائية، لا تُعد هذه الفئة من المعادلات التفاضلية العشوائية مثيرة للاهتمام لأنها لا تُظهر أبدًا انهيارًا تلقائيًا للتناظر الفائق الطوبولوجي، أي أن معادلات لانجفين التفاضلية العشوائية (المخمدة بشدة) لا تكون فوضوية أبدًا .

حساب التفاضل والتكامل العشوائي

تبين أن الحركة البراونية ، أو عملية وينر، معقدة رياضياً بشكل استثنائي. من شبه المؤكد أن عملية وينر غير قابلة للتفاضل في أي نقطة؛ [ 1 ] [ 3 ] وبالتالي، فهي تتطلب قواعد حسابية خاصة بها. يوجد نوعان رئيسيان من حساب التفاضل والتكامل العشوائي، وهما حساب إيتو العشوائي وحساب ستراتونوفيتش العشوائي . لكل منهما مزايا وعيوب، وغالباً ما يقع المبتدئون في حيرة من أمرهم بشأن أيهما أنسب في حالة معينة. توجد إرشادات (مثل أوكسندال، 2003) [ 3 ] ، ومن الملائم أنه يمكن بسهولة تحويل معادلة تفاضلية عشوائية من نوع إيتو إلى معادلة ستراتونوفيتش مكافئة والعكس. [ 1 ] [ 3 ] ومع ذلك، يجب توخي الحذر عند اختيار نوع حساب التفاضل والتكامل المستخدم عند كتابة المعادلة التفاضلية العشوائية لأول مرة.

الحلول العددية

تشمل الطرق العددية لحل المعادلات التفاضلية العشوائية [ 11 ] طريقة أويلر-ماروياما ، وطريقة ميلشتاين ، وطريقة رونج-كوتا (المعادلات التفاضلية العشوائية) ، وطريقة روزنبروك [ 12 ] ، بالإضافة إلى طرق تعتمد على تمثيلات مختلفة للتكاملات العشوائية المتكررة [ 13 ] [ 14 ].

الاستخدام في الفيزياء

في الفيزياء، تتمتع المعادلات التفاضلية العشوائية بتطبيقات واسعة النطاق، بدءًا من ديناميكيات الجزيئات ووصولًا إلى ديناميكيات الأعصاب وديناميكيات الأجرام الفلكية. وبشكل أكثر تحديدًا، تصف هذه المعادلات جميع الأنظمة الديناميكية التي تكون فيها التأثيرات الكمومية إما غير مهمة أو يمكن أخذها في الاعتبار كاضطرابات. ويمكن اعتبار المعادلات التفاضلية العشوائية تعميمًا لنظرية الأنظمة الديناميكية لتشمل النماذج التي تتضمن ضوضاء. ويُعد هذا تعميمًا مهمًا لأن الأنظمة الحقيقية لا يمكن عزلها تمامًا عن بيئاتها، ولذلك فهي دائمًا ما تتعرض لتأثيرات عشوائية خارجية.

توجد تقنيات قياسية لتحويل المعادلات ذات الرتب العليا إلى عدة معادلات من الرتبة الأولى مترابطة عن طريق إدخال متغيرات مجهولة جديدة. لذلك، فإن ما يلي هو الفئة الأكثر عمومية للمعادلات التفاضلية العشوائية:

دx(ت)دت=F(x(ت))+∑α=1نزα(x(ت))ξα(ت)،{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x(t)}{\mathrm {d} t}}=F(x(t))+\sum _{\alpha =1}^{n}g_{\alpha }(x(t))\xi ^{\alpha }(t),\,}

أينx∈X{\displaystyle x\in X}هو الموضع في النظام في فضاء الطور (أو الحالة) الخاص به ،X{\displaystyle X}بافتراض أنها متعددة الشعب قابلة للتفاضل،F∈تيX{\displaystyle F\in TX}هو حقل متجه التدفق الذي يمثل قانون التطور الحتمي، وزα∈تيX{\displaystyle g_{\alpha }\in TX}هي مجموعة من الحقول المتجهة التي تحدد اقتران النظام بالضوضاء البيضاء الغاوسية،ξα{\displaystyle \xi ^{\alpha }}. لوX{\displaystyle X}هو فضاء خطي وز{\displaystyle g}إذا كانت المتغيرات ثابتة، يُقال إن النظام يخضع لضوضاء جمعية، وإلا يُقال إنه يخضع لضوضاء ضربية. في حالة الضوضاء الجمعية، تُنتج صيغتا إيتو وستراتونوفيتش للمعادلة التفاضلية العشوائية الحل نفسه، ولا يهم أي تعريف يُستخدم لحل المعادلة. أما في حالة الضوضاء الضربية، فتختلف صيغتا إيتو وستراتونوفيتش، ويجب توخي الحذر عند الربط بينهما. [ 15 ]

بالنسبة لتكوين ثابت للضوضاء، تمتلك المعادلة التفاضلية العشوائية حلاً وحيداً قابلاً للتفاضل بالنسبة للشرط الابتدائي. [ 16 ] تظهر أهمية الحالة العشوائية عند محاولة حساب متوسط ​​مختلف العناصر ذات الأهمية عبر تكوينات الضوضاء. وبهذا المعنى، لا تُعدّ المعادلة التفاضلية العشوائية كياناً مُعرّفاً بشكل فريد عندما تكون الضوضاء ضربية وعندما تُفهم المعادلة التفاضلية العشوائية على أنها حد زمني مستمر لمعادلة فرقية عشوائية . في هذه الحالة، يجب استكمال المعادلة التفاضلية العشوائية بما يُعرف بـ"تفسيرات المعادلة التفاضلية العشوائية" مثل تفسيرات إيتو أو ستراتونوفيتش. مع ذلك، عندما تُنظر إلى المعادلة التفاضلية العشوائية على أنها تدفق عشوائي مستمر للتشاكلات، فإنها تُصبح كياناً رياضياً مُعرّفاً بشكل فريد يتوافق مع منهج ستراتونوفيتش للحد الزمني المستمر لمعادلة فرقية عشوائية.

في الفيزياء، تتمثل الطريقة الرئيسية للحل في إيجاد دالة توزيع الاحتمال كدالة للزمن باستخدام معادلة فوكر-بلانك المكافئة . معادلة فوكر-بلانك هي معادلة تفاضلية جزئية حتمية ، تُبين كيفية تطور دالة توزيع الاحتمال مع الزمن، على غرار كيفية وصف معادلة شرودنغر لتطور الدالة الموجية الكمومية مع الزمن، أو كيفية وصف معادلة الانتشار لتطور التركيز الكيميائي مع الزمن. بدلاً من ذلك، يمكن الحصول على حلول عددية عن طريق محاكاة مونت كارلو . تشمل التقنيات الأخرى التكامل المساري الذي يستند إلى التناظر بين الفيزياء الإحصائية وميكانيكا الكم (على سبيل المثال، يمكن تحويل معادلة فوكر-بلانك إلى معادلة شرودنغر عن طريق إعادة قياس بعض المتغيرات)، أو عن طريق كتابة معادلات تفاضلية عادية للعزوم الإحصائية لدالة توزيع الاحتمال.

الاستخدام في الاحتمالات والتمويل الرياضي

تختلف الرموز المستخدمة في نظرية الاحتمالات (وفي العديد من تطبيقاتها، مثل معالجة الإشارات في مسائل الترشيح والتمويل الرياضي ) اختلافًا طفيفًا. وهي أيضًا الرموز المستخدمة في المنشورات المتعلقة بالطرق العددية لحل المعادلات التفاضلية العشوائية. هذه الرموز تجعل الطبيعة غير المألوفة للدالة العشوائية للزمن غير واضحة.ξα{\displaystyle \xi ^{\alpha }}في الصياغة الفيزيائية، يكون التعبير أكثر وضوحًا. أما من الناحية الرياضية البحتة، ξα{\displaystyle \xi ^{\alpha }}لا يمكن اختيارها كدالة عادية، بل كدالة معممة فقط . ويعالج الصياغة الرياضية هذا التعقيد بدرجة أقل من الغموض مقارنةً بالصياغة الفيزيائية.

تكون المعادلة النموذجية على الشكل التالي:

دXت=μ(Xت،ت)دت+σ(Xت،ت)دبت،{\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=\mu (X_{t},t)\,\mathrm {d} t+\sigma (X_{t},t)\,\mathrm {d} B_{t},}

أينب{\displaystyle B}يشير إلى عملية وينر (الحركة البراونية القياسية). يجب تفسير هذه المعادلة على أنها طريقة غير رسمية للتعبير عن المعادلة التكاملية المقابلة.

Xت+s-Xت=∫تت+sμ(Xu،u)دu+∫تت+sσ(Xu،u)دبu.{\displaystyle X_{t+s}-X_{t}=\int _{t}^{t+s}\mu (X_{u},u)\mathrm {d} u+\int _{t}^{t+s}\sigma (X_{u},u)\,\mathrm {d} B_{u}.}

تصف المعادلة أعلاه سلوك العملية العشوائية المستمرة X t كمجموع تكامل ليبيغ عادي وتكامل إيتو . ويُمكن تفسير المعادلة التفاضلية العشوائية تفسيراً تقريبياً (لكنه مفيد جداً) بأن العملية العشوائية X t، خلال فترة زمنية قصيرة طولها δ، تُغير قيمتها بمقدار يتبع التوزيع الطبيعي بمتوسط ​​μ ( X t , t ) δ وتباين σ ( X t , t ) 2δ ، وهو مستقل عن سلوك العملية السابق. ويعود ذلك إلى أن زيادات عملية وينر مستقلة وتتبع التوزيع الطبيعي. يُشار إلى الدالة μ بمعامل الانجراف، بينما يُسمى σ بمعامل الانتشار. وتُسمى العملية العشوائية X t بعملية انتشار ، وتُحقق خاصية ماركوف . [ 1 ]    

يُقدَّم التفسير الرسمي للمعادلة التفاضلية العشوائية من حيث ما يُشكِّل حلاً لها. يوجد تعريفان رئيسيان لحل المعادلة التفاضلية العشوائية: الحل القوي والحل الضعيف [ 1 ]. يتطلب كلاهما وجود عملية X t تحل صيغة المعادلة التكاملية للمعادلة التفاضلية العشوائية. يكمن الفرق بينهما في فضاء الاحتمالات الأساسي (Ω،F،P{\displaystyle \Omega ,\,{\mathcal {F}},\,P}يتألف الحل الضعيف من فضاء احتمالي وعملية تحقق المعادلة التكاملية، بينما الحل القوي هو عملية تحقق المعادلة ومُعرَّفة على فضاء احتمالي مُعطى. تربط نظرية يامادا-واتانابي بين هذين النوعين من الحلول.

ومن الأمثلة المهمة معادلة الحركة البراونية الهندسية

دXت=μXتدت+σXتدبت.{\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=\mu X_{t}\,\mathrm {d} t+\sigma X_{t}\,\mathrm {d} B_{t}.}

وهي المعادلة الخاصة بديناميكيات سعر سهم شركة مدرجة في نموذج تسعير خيارات بلاك-شولز [ 2 ] للرياضيات المالية.

بتعميم الحركة البراونية الهندسية، يُمكن أيضًا تعريف معادلات تفاضلية عشوائية ذات حلول قوية، وتوزيعها عبارة عن توليفة محدبة من كثافات ناتجة عن حركات براونية هندسية مختلفة أو نماذج بلاك شولز، ما يُؤدي إلى معادلة تفاضلية عشوائية واحدة تتوزع حلولها كديناميكية خليط من التوزيعات اللوغاريتمية الطبيعية لنماذج بلاك شولز المختلفة. [ 2 ] [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ] وهذا يُفضي إلى نماذج قادرة على التعامل مع ظاهرة تقلب الأسعار في الرياضيات المالية.

المعادلة التفاضلية العشوائية الأبسط تسمى الحركة البراونية الحسابية [ 3 ]

دXت=μدت+σدبت{\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=\mu \,\mathrm {d} t+\sigma \,\mathrm {d} B_{t}}

استخدمه لويس باشيليه كأول نموذج لأسعار الأسهم في عام 1900، والمعروف اليوم باسم نموذج باشيليه .

توجد أيضًا معادلات تفاضلية عشوائية أكثر عمومية، حيث لا تعتمد المعاملات μ و σ على القيمة الحالية للعملية X t فحسب ، بل تعتمد أيضًا على القيم السابقة للعملية، وربما على القيم الحالية أو السابقة لعمليات أخرى. في هذه الحالة، لا تُعدّ عملية الحل X عملية ماركوف، وتُسمى عملية إيتو وليست عملية انتشار. عندما تعتمد المعاملات فقط على القيم الحالية والسابقة لـ X ، تُسمى المعادلة المُحدِّدة معادلة تفاضلية عشوائية مع تأخير.

تُعدّ المعادلات التفاضلية العشوائية من نوع ماركوس تعميمًا للمعادلات التفاضلية العشوائية التي تتضمن تكامل فيسك-ستراتونوفيتش، وتتعلق بشبه المارتينجالات ذات القفزات . ويُعتبر تكامل ماركوس امتدادًا لحساب التفاضل والتكامل العشوائي لماكشين. [ 20 ]

يُستمد أحد تطبيقات التمويل العشوائي من استخدام معادلة عملية أورنستين-أولينبيك

دRت=μRتدت+σتدبت.{\displaystyle \mathrm {d} R_{t}=\mu R_{t}\,\mathrm {d} t+\sigma _{t}\,\mathrm {d} B_{t}.}

وهي المعادلة التي تصف ديناميكيات عائد سعر سهم شركة مدرجة في البورصة، بافتراض أن العوائد تتبع التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي . وبناءً على هذا الافتراض، تحدد المنهجيات التي طورها مارسيلو مينينّا فترات تنبؤ قادرة على كشف العوائد غير الطبيعية التي قد تخفي ظواهر التلاعب بالسوق . [ 21 ] [ 22 ]

المعادلات التفاضلية العشوائية على المشعبات

بشكل أعم، يمكن توسيع نظرية حساب التفاضل والتكامل العشوائي لتشمل المشعبات التفاضلية ، ولهذا الغرض يُستخدم تكامل فيسك-ستراتونوفيتش. لنفترض مشعبًام{\displaystyle M}، بعض الفضاءات المتجهة ذات الأبعاد المحدودةهـ{\displaystyle E}فضاء احتمالي مُصفّى(Ω،F،(Fت)ت∈R+،P){\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{t})_{t\in \mathbb {R} _{+}},P)}مع(Fت)ت∈R+{\displaystyle ({\mathcal {F}}_{t})_{t\in \mathbb {R} _{+}}}استيفاء الشروط المعتادة والسماحم^=م∪{∞}{\displaystyle {\widehat {M}}=M\cup \{\infty \}}أن تكون عملية التكثيف بنقطة واحدة وx0{\displaystyle x_{0}}يكونF0{\displaystyle {\mathcal {F}}_{0}}قابلة للقياس. معادلة تفاضلية عشوائية علىم{\displaystyle M}مكتوب

دX=أ(X)∘دZ{\displaystyle \mathrm {d} X=A(X)\circ dZ}

هو زوج(أ،Z){\displaystyle (A,Z)}بحيث

  • Z{\displaystyle Z}هو مستمرهـ{\displaystyle E}شبه مارتينجال ذو قيمة سالبة،
  • أ:م×هـ→تيم،(x،هـ)↦أ(x)هـ{\displaystyle A:M\times E\to TM,(x,e)\mapsto A(x)e}هو تشاكل لحزم المتجهات علىم{\displaystyle M}.

لكلx∈م{\displaystyle x\in M}الخريطةأ(x):هـ→تيxم{\displaystyle A(x):E\to T_{x}M}خطي وأ(⋅)هـ∈Γ(تيم){\displaystyle A(\cdot )e\in \Gamma (TM)}لكلهـ∈هـ{\displaystyle e\in E}.

حل لمعادلة تفاضلية عشوائية علىم{\displaystyle M}مع الشرط الابتدائيX0=x0{\displaystyle X_{0}=x_{0}}هو مستمر{Fت}{\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{t}\}}-مُقتبسم{\displaystyle M}عملية ذات قيمة(Xت)ت<ζ{\displaystyle (X_{t})_{t<\zeta }}مدى الحياةζ{\displaystyle \zeta }، st لكل دالة اختبارو∈جج∞(م){\displaystyle f\in C_{c}^{\infty }(M)}العمليةو(X){\displaystyle f(X)}هو شبه مارتينجال ذو قيمة حقيقية ولكل وقت توقفτ{\displaystyle \tau }مع0≤τ<ζ{\displaystyle 0\leq \tau <\zeta }المعادلة

و(Xτ)=و(x0)+∫0τ(دو)Xأ(X)∘دZ{\displaystyle f(X_{\tau })=f(x_{0})+\int _{0}^{\tau }(\mathrm {d} f)_{X}A(X)\circ \mathrm {d} Z}

البشرP{\displaystyle P}-بالتأكيد تقريباً، حيث(دو)X:تيxم→تيو(x)م{\displaystyle (df)_{X}:T_{x}M\to T_{f(x)}M}هل التفاضل عندX{\displaystyle X}يُعتبر حلاً أمثل إذا كان العمر الافتراضي أقصى ما يمكن، أي

{ζ<∞}⊂{ليمت↗ζXت=∞ في م^}{\displaystyle \{\zeta <\infty \}\subset \left\{\lim \limits _{t\nearrow \zeta }X_{t}=\infty {\text{ in }}{\widehat {M}}\right\}}

P{\displaystyle P}- على الأرجح. ويترتب على ذلك حقيقة أنو(X){\displaystyle f(X)}لكل دالة اختبارو∈جج∞(م){\displaystyle f\in C_{c}^{\infty }(M)}هو نظام شبه مارتينجال، ذلكX{\displaystyle X}هو نظام شبه مارتينجال علىم{\displaystyle M}إذا توفر لدينا حل أمثل، يمكننا تمديد زمنX{\displaystyle X}على كاملR+{\displaystyle \mathbb {R} _{+}}وبعد استمرارو{\displaystyle f}علىم^{\displaystyle {\widehat {M}}}نحصل

و(Xت)=و(X0)+∫0ت(دو)Xأ(X)∘دZ،ت≥0{\displaystyle f(X_{t})=f(X_{0})+\int _{0}^{t}(\mathrm {d} f)_{X}A(X)\circ \mathrm {d} Z,\quad t\geq 0}

حتى العمليات غير القابلة للتمييز. [ 23 ] على الرغم من أن معادلات ستراتونوفيتش التفاضلية العشوائية هي الخيار الأمثل للمعادلات التفاضلية العشوائية على المشعبات، نظرًا لأنها تحقق قاعدة السلسلة وأن معاملات الانجراف والانتشار الخاصة بها تتصرف كحقول متجهة عند تغيير الإحداثيات، إلا أن هناك حالات يكون فيها حساب إيتو على المشعبات أفضل. طُوِّرت نظرية حساب إيتو على المشعبات لأول مرة بواسطة لوران شوارتز من خلال مفهوم تشاكل شوارتز، [ 6 ] انظر أيضًا تفسير 2-jet ذي الصلة لمعادلات إيتو التفاضلية العشوائية على المشعبات بناءً على حزمة النفاثات. [ 8 ] يُعد هذا التفسير مفيدًا عند محاولة تقريب حل معادلة تفاضلية عشوائية معطاة على فضاء كبير بشكل أمثل باستخدام حلول معادلة تفاضلية عشوائية معطاة على مشعب فرعي من ذلك الفضاء، [ 9 ] حيث لا يكون الإسقاط القائم على ستراتونوفيتش مثاليًا. وقد طُبِّق هذا على مسألة الترشيح ، مما أدى إلى مرشحات إسقاط مثالية. [ 9 ]

كمسارات وعرة

عادةً ما يتطلب حل المعادلات التفاضلية العشوائية إطارًا احتماليًا، لأن التكامل الضمني في الحل هو تكامل عشوائي. لو أمكن التعامل مع المعادلة التفاضلية مسارًا تلو الآخر، لما احتجنا إلى تعريف التكامل العشوائي، ولأمكننا تطوير نظرية مستقلة عن نظرية الاحتمالات. وهذا ما يدفعنا إلى دراسة المعادلات التفاضلية العشوائية.

دXت(ω)=μ(Xت(ω)،ت)دت+σ(Xت(ω)،ت)دبت(ω){\displaystyle \mathrm {d} X_{t}(\omega )=\mu (X_{t}(\omega ),t)\,\mathrm {d} t+\sigma (X_{t}(\omega ),t)\,\mathrm {d} B_{t}(\omega )}

كمعادلة تفاضلية حتمية واحدة لكلω∈Ω{\displaystyle \omega \in \Omega }، أينΩ{\displaystyle \Omega }هي فضاء العينة في فضاء الاحتمال المعطى (Ω،F،P{\displaystyle \Omega ,\,{\mathcal {F}},\,P}ومع ذلك، لا يمكن تفسير معادلة التفاضل العشوائي بشكل مباشر على مستوى المسار، لأن مسارات الحركة البراونية لها تباين غير محدود ولا يمكن تفاضلها باحتمال واحد في أي مكان، لذلك لا توجد طريقة بسيطة لإعطاء معنى لمصطلحات مثلدبت(ω){\displaystyle \mathrm {d} B_{t}(\omega )}مما يستبعد أيضاً التعريف الساذج للتكامل العشوائي على أساس المسار باعتباره تكاملاً ضد كل واحددبت(ω){\displaystyle \mathrm {d} B_{t}(\omega )}ومع ذلك، وانطلاقًا من نتيجة وونغ-زاكاي [ 24 ] لحدود حلول المعادلات التفاضلية العشوائية ذات الضوضاء المنتظمة، وباستخدام نظرية المسارات الخشنة ، مع إضافة تعريف مختار للتكاملات المتكررة للحركة البراونية، فمن الممكن تعريف تكامل تقريبي حتمي لكل مسار على حدة.ω∈Ω{\displaystyle \omega \in \Omega }يتطابق ذلك، على سبيل المثال، مع تكامل إيتو باحتمالية واحد لاختيار معين لتكامل براون المتكرر. [ 24 ] تؤدي تعريفات أخرى للتكامل المتكرر إلى مكافئات مسار حتمية لتكاملات عشوائية مختلفة، مثل تكامل ستراتونوفيتش. وقد استُخدم هذا، على سبيل المثال، في الرياضيات المالية لتسعير الخيارات دون احتمالية. [ 25 ]

وجود الحلول وتفردها

كما هو الحال مع المعادلات التفاضلية العادية والجزئية القطعية، من المهم معرفة ما إذا كانت معادلة تفاضلية عشوائية معينة لها حل، وما إذا كان هذا الحل وحيدًا أم لا. فيما يلي نظرية نموذجية لوجود حل وحيد لمعادلات إيتو التفاضلية العشوائية التي تأخذ قيمًا في الفضاء الإقليدي ذي البعد n ، Rⁿ ، والمُحرَّكة بحركة براونية ذات البعد m، B ؛ ويمكن الاطلاع على البرهان في أوكسندال (2003، §5.2). [ 3 ]

ليكن T > 0، وليكن  

μ:Rن×[0،تي]→Rن؛{\displaystyle \mu :\mathbb {R} ^{n}\times [0,T]\to \mathbb {R} ^{n};}
σ:Rن×[0،تي]→Rن×م؛{\displaystyle \sigma :\mathbb {R} ^{n}\times [0,T]\to \mathbb {R} ^{n\times m};}

لتكن دوال قابلة للقياس يوجد لها ثوابت C و D بحيث

|μ(x،ت)|+|σ(x،ت)|≤ج(1+|x|)؛{\displaystyle {\big |}\mu (x,t){\big |}+{\big |}\sigma (x,t){\big |}\leq C{\big (}1+|x|{\big )};}
|μ(x،ت)-μ(y،ت)|+|σ(x،ت)-σ(y،ت)|≤د|x-y|؛{\displaystyle {\big |}\mu (x,t)-\mu (y,t){\big |}+{\big |}\sigma (x,t)-\sigma (y,t){\big |}\leq D|x-y|;}

لكل t  ∈  [0, T ] ولكل x و y ∈ R n ، حيث   

|σ|2=∑أنا،ج=1ن|σأناج|2.{\displaystyle |\sigma |^{2}=\sum _{i,j=1}^{n}|\sigma _{ij}|^{2}.}

ليكن Z متغيرًا عشوائيًا مستقلًا عن الجبر σ الناتج عن B s ، s  ≥  0، وله عزم ثانٍ محدود :

هـ[|Z|2]<+∞.{\displaystyle \mathbb {E} {\big [}|Z|^{2}{\big ]}<+\infty .}

ثم معادلة تفاضلية عشوائية / مسألة القيمة الابتدائية

دXت=μ(Xت،ت)دت+σ(Xت،ت)دبت ل ت∈[0،تي]؛{\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=\mu (X_{t},t)\,\mathrm {d} t+\sigma (X_{t},t)\,\mathrm {d} B_{t}{\mbox{ for }}t\in [0,T];}
X0=Z؛{\displaystyle X_{0}=Z;}

يوجد حلٌّ شبه مؤكد وفريد ​​من نوعه ومتصل بـ t، وهو ( t , ω ) ↦ X t ( ω )، بحيث يكون X متوافقًا مع الترشيح F t Z الناتج عن Z و B s ، حيث s ≤ t ، و     

هـ[∫0تي|Xت|2دت]<+∞.{\displaystyle \mathbb {E} \left[\int _{0}^{T}|X_{t}|^{2}\,\mathrm {d} t\right]<+\infty .}

الحالة العامة: شرط ليبشيتز المحلي والحلول القصوى

إن المعادلة التفاضلية العشوائية المذكورة أعلاه ليست سوى حالة خاصة من شكل أكثر عمومية

دYت=α(ت،Yت)دXت{\displaystyle \mathrm {d} Y_{t}=\alpha (t,Y_{t})\mathrm {d} X_{t}}

أين

  • X{\displaystyle X}هو شبه مارتينجال مستمر فيRن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}و Y{\displaystyle Y}هو شبه مارتينجال مستمر فيRد{\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}
  • α:R+×يو→لين⁡(Rن؛Rد){\displaystyle \alpha :\mathbb {R} _{+}\times U\to \operatorname {Lin} (\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} ^{d})} هي دالة من مجموعة مفتوحة غير فارغةيو⊂Rد{\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{d}}، أينلين⁡(Rن؛Rد){\displaystyle \operatorname {Lin} (\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} ^{d})}هو فضاء جميع التحويلات الخطية منRن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}لRد{\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}.

وبشكل أعم، يمكن للمرء أيضاً أن ينظر إلى المعادلات التفاضلية العشوائية على المشعبات .

يعتمد ما إذا كان حل هذه المعادلة سينفجر على اختيارα{\displaystyle \alpha }. يفترضα{\displaystyle \alpha }يفي ببعض شروط ليبشيتز المحلية، أي، لـت≥0{\displaystyle t\geq 0}وبعض المجموعات المدمجةك⊂يو{\displaystyle K\subset U}وبعض الثوابتل(ت،ك){\displaystyle L(t,K)}الحالة

|α(s،y)-α(s،x)|≤ل(ت،ك)|y-x|،x،y∈ك،0≤s≤ت،{\displaystyle |\alpha (s,y)-\alpha (s,x)|\leq L(t,K)|y-x|,\quad x,y\in K,\;0\leq s\leq t,}

أين|⋅|{\displaystyle |\cdot |}هي المعيار الإقليدي. يضمن هذا الشرط وجود حل أمثل فريد .

يفترضα{\displaystyle \alpha }دالة متصلة وتفي بشرط ليبشيتز المحلي المذكور أعلاه، ولتكنF:Ω→يو{\displaystyle F:\Omega \to U}ليكن شرطًا أوليًا، أي أنه دالة قابلة للقياس بالنسبة إلى الجبر الأولي σ.ζ:Ω→R¯+{\displaystyle \zeta :\Omega \to {\overline {\mathbb {R} }}_{+}} ليكن زمن توقف يمكن التنبؤ به معζ>0{\displaystyle \zeta >0}بالتأكيد تقريباً. أيو{\displaystyle U}شبه مارتينجال ذو قيمة(Yت)ت<ζ{\displaystyle (Y_{t})_{t<\zeta }}يُطلق عليه اسم الحل الأقصى لـ

دYت=α(ت،Yت)دXت،Y0=F{\displaystyle dY_{t}=\alpha (t,Y_{t})dX_{t},\quad Y_{0}=F}

مع مدى الحياةζ{\displaystyle \zeta }لو

  • إعلان واحد (وبالتالي الجميع)ζن↗ζ{\displaystyle \zeta _{n}\nearrow \zeta }العملية المتوقفةYζن{\displaystyle Y^{\zeta _{n}}}يمثل حلاً للمعادلة التفاضلية العشوائية المتوقفة
دY=α(ت،Y)دXζن{\displaystyle \mathrm {d} Y=\alpha (t,Y)\mathrm {d} X^{\zeta _{n}}}
  • في موقع التصوير{ζ<∞}{\displaystyle \{\zeta <\infty \}}لدينا ذلك على الأرجحYت→∂يو{\displaystyle Y_{t}\to \partial U}معت→ζ{\displaystyle t\to \zeta }[ 26 ]​

ζ{\displaystyle \zeta }وهو أيضاً ما يسمى بوقت الانفجار .

بعض الأمثلة القابلة للحل بشكل واضح

تشمل المعادلات التفاضلية العشوائية القابلة للحل بشكل صريح ما يلي: [ 11 ]

المعادلات التفاضلية العشوائية الخطية: الحالة العامة

دXت=(أ(ت)Xت+ج(ت))دت+(ب(ت)Xت+د(ت))ددبليوت{\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=(a(t)X_{t}+c(t))\mathrm {d} t+(b(t)X_{t}+d(t))\mathrm {d} W_{t}}
Xت=Φت،ت0(Xت0+∫ت0تΦs،ت0-1(ج(s)-ب(s)د(s))دs+∫ت0تΦs،ت0-1د(s)ددبليوs){\displaystyle X_{t}=\Phi _{t,t_{0}}\left(X_{t_{0}}+\int _{t_{0}}^{t}\Phi _{s,t_{0}}^{-1}(c(s)-b(s)d(s))\mathrm {d} s+\int _{t_{0}}^{t}\Phi _{s,t_{0}}^{-1}d(s)\mathrm {d} W_{s}\right)}

أين

Φت،ت0=خبرة⁡(∫ت0ت(أ(s)-ب2(s)2)دs+∫ت0تب(s)ددبليوs){\displaystyle \Phi _{t,t_{0}}=\exp \left(\int _{t_{0}}^{t}\left(a(s)-{\frac {b^{2}(s)}{2}}\right)\mathrm {d} s+\int _{t_{0}}^{t}b(s)\mathrm {d} W_{s}\right)}

المعادلات التفاضلية العشوائية القابلة للاختزال: الحالة 1

دXت=12و(Xت)و′(Xت)دت+و(Xت)ددبليوت{\displaystyle \mathrm {d} X_{t}={\frac {1}{2}}f(X_{t})f'(X_{t})\mathrm {d} t+f(X_{t})\mathrm {d} W_{t}}

لدالة قابلة للتفاضل معينةو{\displaystyle f}وهو ما يعادل معادلة ستراتونوفيتش التفاضلية العشوائية

دXت=و(Xت)∘دبليوت{\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=f(X_{t})\circ W_{t}}

والذي له حل عام

Xت=ح-1(دبليوت+ح(X0)){\displaystyle X_{t}=h^{-1}(W_{t}+h(X_{0}))}

أين

ح(x)=∫xدsو(s){\displaystyle h(x)=\int ^{x}{\frac {\mathrm {d} s}{f(s)}}}

المعادلات التفاضلية العشوائية القابلة للاختزال: الحالة 2

دXت=(αو(Xت)+12و(Xت)و′(Xت))دت+و(Xت)ددبليوت{\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=\left(\alpha f(X_{t})+{\frac {1}{2}}f(X_{t})f'(X_{t})\right)\mathrm {d} t+f(X_{t})\mathrm {d} W_{t}}

لدالة قابلة للتفاضل معينةو{\displaystyle f}وهو ما يعادل معادلة ستراتونوفيتش التفاضلية العشوائية

دXت=αو(Xت)دت+و(Xت)∘دبليوت{\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=\alpha f(X_{t})\mathrm {d} t+f(X_{t})\circ W_{t}}

والتي يمكن اختزالها إلى

دYت=αدت+ددبليوت{\displaystyle \mathrm {d} Y_{t}=\alpha \mathrm {d} t+\mathrm {d} W_{t}}

أينYت=ح(Xت){\displaystyle Y_{t}=h(X_{t})}أينح{\displaystyle h}يُعرَّف كما سبق. حله العام هو

Xت=ح-1(αت+دبليوت+ح(X0)){\displaystyle X_{t}=h^{-1}(\alpha t+W_{t}+h(X_{0}))}

المعادلات التفاضلية العشوائية والتناظر الفائق

في نظرية التناظر الفائق للمعادلات التفاضلية العشوائية، تُعرَّف الديناميكيات العشوائية من خلال عامل التطور العشوائي الذي يؤثر على الأشكال التفاضلية في فضاء الطور / الحالة للنموذج. في هذه الصياغة للديناميكيات العشوائية، تمتلك جميع المعادلات التفاضلية العشوائية تناظرًا فائقًا طوبولوجيًا ، وهو ما يُمثل الحفاظ على استمرارية فضاء الطور من خلال التدفق الزمني المستمر. ويُعدّ الانهيار التلقائي لهذا التناظر الفائق الجوهر الرياضي للظاهرة الديناميكية المنتشرة في مختلف التخصصات والمعروفة باسم الفوضى .

انظر أيضاً

مراجع

  1. 1 2 3 4 5 6 روجرز، إل سي جي ؛ ويليامز، ديفيد (2000). الانتشار، عمليات ماركوف، والمارتينجالات، المجلد 2: حساب إيتو (الطبعة الثانية،  طبعة مكتبة كامبريدج الرياضية). مطبعة جامعة كامبريدج . doi : 10.1017/CBO9780511805141 . ISBN 0-521-77594-9. OCLC 42874839 . 
  2. 1 2 3 Musiela, M., and Rutkowski, M. (2004)، طرق مارتينجال في النمذجة المالية، الطبعة الثانية، سبرينغر فيرلاغ، برلين.
  3. 1 2 3 4 5 6 7 أوكسندال، بيرنت ك. (2003). المعادلات التفاضلية العشوائية: مقدمة مع تطبيقات . برلين: سبرينغر. ISBN 3-540-04758-1.
  4. ↑ كونيتا، هـ. (2004). المعادلات التفاضلية العشوائية القائمة على عمليات ليفي والتدفقات العشوائية للتشاكلات. في: راو، م.م. (محرر) التحليل الحقيقي والعشوائي. اتجاهات في الرياضيات. بيركهاوزر بوسطن. https://doi.org/10.1007/978-1-4612-2054-1_6
  5. ↑ إمكيلر، بيتر؛ شمالفوس، بيورن (2001). "اقتران المعادلات التفاضلية العشوائية والاحتمالية ووجود جاذبات عالمية" . مجلة الديناميكا والمعادلات التفاضلية . 13 (2): 215-249 . doi : 10.1023/a:1016673307045 . ISSN 1040-7294 . S2CID 3120200 .  
  6. 1 2 3 إيمري، ميشيل (1989). حساب التفاضل والتكامل العشوائي في المشعبات . سلسلة Universitext. سبرينغر برلين، هايدلبرغ. doi : 10.1007/978-3-642-75051-9 . ISBN 978-3-540-51664-4.
  7. ↑ برزيزنياك، زدزيسلاف؛ إيلورثي، ك.د. (5 يناير 2000). "المعادلات التفاضلية العشوائية على مشعبات باناخ". طرق التحليل الوظيفي والطوبولوجيا . 6 (1): 43-84 .
  8. 1 2 أرمسترونغ ج. وبريغو د. (2018). المعادلات التفاضلية العشوائية الجوهرية كنفثات. وقائع الجمعية الملكية أ، 474: 20170559، http://doi.org/10.1098/rspa.2017.0559
  9. 1 2 3 أرمسترونغ، ج.، بريغو، د.، وروسي فيروتشي، إ. (2019)، التقريب الأمثل للمعادلات التفاضلية العشوائية على الفضاءات الجزئية: إسقاطات إيتو-فيكتور وإيتو-جيت. وقائع جمعية لندن الرياضية، 119: 176-213. https://doi.org/10.1112/plms.12226
  10. ↑ باريسي، ج.؛ سورلاس، ن. (1979). "المجالات المغناطيسية العشوائية، والتناظر الفائق، والأبعاد السالبة". رسائل المراجعة الفيزيائية . 43 (11): 744-745 . Bibcode : 1979PhRvL..43..744P . doi : 10.1103/PhysRevLett.43.744 .
  11. 1 2 كلودن، بي إي ، بلاتن، إي. (1992). الحل العددي للمعادلات التفاضلية العشوائية. سبرينغر، برلين، هايدلبرغ. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-12616-5
  12. ↑ أرتيمييف، إس إس، وأفيرينا، تي إيه (1997). التحليل العددي لأنظمة المعادلات التفاضلية العادية والعشوائية. دار نشر VSP، أوتريخت، هولندا. DOI: https://doi.org/10.1515/9783110944662
  13. ↑ كوزنيتسوف، د. ف. (2023). التقريب القوي للتكاملات العشوائية المتكررة لإيتو وستراتونوفيتش: طريقة متسلسلة فورييه المتعددة المعممة. تطبيق على التكامل العددي لمعادلات إيتو التفاضلية العشوائية ومعادلات التفاضل الجزئية شبه الخطية. المعادلات التفاضلية، العمليات، العدد 1. DOI: https://doi.org/10.21638/11701/spbu35.2023.110
  14. ↑ ريباكوف، ك. أ. (2023). التمثيلات الطيفية للتكاملات العشوائية المتكررة وتطبيقها في نمذجة الديناميكيات العشوائية غير الخطية. الرياضيات، المجلد 11، 4047. DOI: https://doi.org/10.3390/math11194047
  15. ↑ غاردينر، سي دبليو (2009). دليل الأساليب العشوائية ( الطبعة الرابعة). برلين: سبرينغر-فيرلاغ. ISBN  978-3-540-70712-7.
  16. ↑ سلافيك، أ. (2013). "المعادلات التفاضلية المعممة: قابلية اشتقاق الحلول بالنسبة للشروط الابتدائية والمعاملات" . مجلة التحليل الرياضي والتطبيقات . 402 (1): 261-274 . doi : 10.1016/j.jmaa.2013.01.027 .
  17. ↑ فينغلر، إم آر (2005)، النمذجة شبه البارامترية للتقلب الضمني، سبرينغر فيرلاغ، برلين. DOI https://doi.org/10.1007/3-540-30591-2
  18. ↑ بريغو، داميانو ؛ ميركوريو، فابيو (2002). "ديناميكيات التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي المختلط ومعايرته وفقًا لابتسامات تقلبات السوق". المجلة الدولية للتمويل النظري والتطبيقي . 5 (4): 427-446 . doi : 10.1142/S0219024902001511 .
  19. ↑ بريغو، د.، ميركوريو، ف.، سارتوريلي، ج. (2003). ديناميكيات أسعار الأصول البديلة وابتسامة التقلب، التمويل الكمي، 2003، المجلد: 3، الصفحات: 173 - 183، الرقم الدولي الموحد للدوريات 1469-7688 
  20. ↑ ستيفن ماركوس ( 1981)، "نمذجة وتقريب المعادلات التفاضلية العشوائية المدفوعة بشبه المارتيجالات"، العشوائيات ، المجلد 4، الصفحات 223-245  
  21. ↑ "الكشف عن التلاعب بالسوق" . مجلة ريسك. 2 نوفمبر 2004.
  22. ↑ "الكشف عن التلاعب بالسوق في الأسواق المالية: منهج كمي" . كونسوب - هيئة الأوراق المالية والبورصات الإيطالية.
  23. ^ هاكنبروخ، وولفجانج. ثالماير، أنطون (1994). التحليل العشوائي: Eine Einführung in die Theorie der stetigen Semimartingale (باللغة الألمانية). Vieweg+Teubner Verlag فيسبادن. ص. 364-365. رقم ISBN  978-3-519-02229-9.
  24. 1 2 فريز، ب. وهايرر، م. (2020). دورة في المسارات الخشنة مع مقدمة في هياكل الانتظام، الطبعة الثانية، سبرينغر-فيرلاغ، هايدلبرغ، DOI https://doi.org/10.1007/978-3-030-41556-3
  25. ↑ أرمسترونغ، ج.، بيلاني، س.، بريغو، د.، وكاس، ت. (2021). نماذج تسعير الخيارات بدون احتمالية: نهج المسارات التقريبية. التمويل الرياضي، المجلد 31، الصفحات 1494-1521.
  26. ^ هاكنبروخ، وولفجانج. ثالماير، أنطون (1994). التحليل العشوائي: Eine Einführung in die Theorie der stetigen Semimartingale (باللغة الألمانية). Vieweg+Teubner Verlag فيسبادن. ص 297 – 299. ISBN  978-3-519-02229-9.

للمزيد من القراءة

  • إيفانز، لورانس سي. (2013). مقدمة في المعادلات التفاضلية العشوائية. الجمعية الرياضية الأمريكية.
  • أدوميان، جورج (1983). الأنظمة العشوائية . الرياضيات في العلوم والهندسة (169). أورلاندو، فلوريدا: دار النشر الأكاديمية.
  • أدوميان، جورج (1986). معادلات المؤثرات العشوائية غير الخطية . أورلاندو، فلوريدا: أكاديميك برس إنك. ISBN 978-0-12-044375-8.
  • أدوميان، جورج (1989). نظرية الأنظمة العشوائية غير الخطية وتطبيقاتها في الفيزياء . الرياضيات وتطبيقاتها (46). دوردريخت: مجموعة كلوير للنشر الأكاديمي.
  • كالين، أوفيديو (2015). مقدمة غير رسمية في حساب التفاضل والتكامل العشوائي مع تطبيقات . سنغافورة: دار النشر العالمية العلمية. ص  315. ISBN 978-981-4678-93-3.
  • توغلز، ج.؛ سوند، ب.، محرران. (2004). موسوعة العلوم الاكتوارية . تشيتشستر: وايلي. ص 523-527 . 
  • غاردينر، سي دبليو (2004). دليل الأساليب العشوائية: للفيزياء والكيمياء والعلوم الطبيعية . سبرينغر. ص  415.
  • ميكوش، توماس (1998). حساب التفاضل والتكامل الاحتمالي الابتدائي: مع التركيز على التمويل . سنغافورة: دار النشر العالمية العلمية. ص  212. ISBN 981-02-3543-7.
  • سيف الدين قدري (2007). "حل معادلة تفاضلية خطية عشوائية". مجلة WSEAS للمعاملات في الرياضيات . الولايات المتحدة الأمريكية: مجلة WSEAS للمعاملات في الرياضيات، أبريل 2007: 618. الرقم الدولي الموحد للدوريات 1109-2769 . 
  • هايغام، ديزموند ج. (يناير 2001). "مقدمة خوارزمية للمحاكاة العددية للمعادلات التفاضلية العشوائية". مجلة SIAM Review ، 43 (3): 525-546 . Bibcode : 2001SIAMR..43..525H . CiteSeerX : 10.1.1.137.6375 . doi : 10.1137/S0036144500378302 . 
  • هايغام، ديزموند؛ كلودن، بيتر (2021). مقدمة في المحاكاة العددية للمعادلات التفاضلية العشوائية . جمعية الرياضيات الصناعية والتطبيقية. ISBN 978-1-611976-42-7.