التقلب العشوائي

الموسوعة الحرة

في الإحصاء، تُعرف نماذج التقلب العشوائي بأنها تلك التي يكون فيها تباين العملية العشوائية موزعًا عشوائيًا. [ 1 ] تُستخدم هذه النماذج في مجال التمويل الرياضي لتقييم الأوراق المالية المشتقة ، مثل الخيارات . ويستمد هذا الاسم من معالجة هذه النماذج لتقلب الورقة المالية الأساسية كعملية عشوائية ، تخضع لمتغيرات الحالة مثل مستوى سعر الورقة المالية الأساسية، وميل التقلب للعودة إلى قيمة متوسطة طويلة الأجل، وتباين عملية التقلب نفسها، وغيرها.

تُعدّ نماذج التقلب العشوائي أحد الأساليب المُستخدمة لمعالجة قصور نموذج بلاك-شولز . فعلى وجه الخصوص، تفترض النماذج القائمة على نموذج بلاك-شولز أن التقلب الأساسي ثابت طوال مدة المشتق، ولا يتأثر بتغيرات مستوى سعر الأصل الأساسي. مع ذلك، لا تستطيع هذه النماذج تفسير السمات الملحوظة منذ فترة طويلة لسطح التقلب الضمني، مثل منحنى التقلب المتدرج والانحراف، والتي تُشير إلى أن التقلب الضمني يميل إلى التغير تبعًا لسعر التنفيذ وتاريخ انتهاء الصلاحية. وبافتراض أن تقلب سعر الأصل الأساسي عملية عشوائية وليست ثابتة، يُصبح من الممكن نمذجة المشتقات بدقة أكبر.

تُغطي نماذج التقلب المحلي منطقة وسطى بين نموذج بلاك-شولز البسيط ونماذج التقلب العشوائي . في هذه النماذج، لا يتضمن التقلب الأساسي أي عشوائية جديدة، ولكنه ليس ثابتًا أيضًا. في نماذج التقلب المحلي، يكون التقلب دالةً غير تافهة للأصل الأساسي، دون أي عشوائية إضافية. وفقًا لهذا التعريف، تُعتبر نماذج مثل مرونة التباين الثابتة نماذج تقلب محلي، على الرغم من أنها تُصنف أحيانًا كنماذج تقلب عشوائي. قد يكون هذا التصنيف غامضًا في بعض الحالات.

إن التاريخ المبكر للتقلب العشوائي له جذور متعددة (أي العملية العشوائية، وتسعير الخيارات، والاقتصاد القياسي)، وقد تمت مراجعته في الفصل 1 من كتاب نيل شيبارد (2005) "التقلب العشوائي"، مطبعة جامعة أكسفورد.

النموذج الأساسي

انطلاقاً من نهج التقلب الثابت، افترض أن سعر الأصل الأساسي للمشتق يتبع نموذجاً قياسياً للحركة البراونية الهندسية :

دSت=μSتدت+σSتددبليوت{\displaystyle dS_{t}=\mu S_{t}\,dt+\sigma S_{t}\,dW_{t}\,}

أينμ{\displaystyle \mu \,}هو الانحراف الثابت (أي العائد المتوقع) لسعر الورقة الماليةSت{\displaystyle S_{t}\,}،σ{\displaystyle \sigma \,}التقلب المستمر، وددبليوت{\displaystyle dW_{t}\,}هي عملية وينر قياسية بمتوسط ​​صفر ومعدل تباين يساوي واحدًا . الحل الصريح لهذه المعادلة التفاضلية العشوائية هو

Sت=S0هـ(μ-12σ2)ت+σدبليوت.{\displaystyle S_{t}=S_{0}e^{(\mu -{\frac {1}{2}}\sigma ^{2})t+\sigma W_{t}}.}

مقدر الاحتمال الأقصى لتقدير التقلب الثابتσ{\displaystyle \sigma \,}بالنسبة لأسعار الأسهم المحددةSت{\displaystyle S_{t}\,}في أوقات مختلفةتأنا{\displaystyle t_{i}\,}يكون

σ^2=(1ن∑أنا=1ن(ln⁡Sتأنا-ln⁡Sتأنا-1)2تأنا-تأنا-1)-1ن(ln⁡Sتن-ln⁡Sت0)2تن-ت0=1ن∑أنا=1ن(تأنا-تأنا-1)(ln⁡SتأناSتأنا-1تأنا-تأنا-1-ln⁡SتنSت0تن-ت0)2؛{\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {\sigma }}^{2}&=\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {(\ln S_{t_{i}}-\ln S_{t_{i-1}})^{2}}{t_{i}-t_{i-1}}}\right)-{\frac {1}{n}}{\frac {(\ln S_{t_{n}}-\ln S_{t_{0}})^{2}}{t_{n}-t_{0}}}\\&={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(t_{i}-t_{i-1})\left({\frac {\ln {\frac {S_{t_{i}}}{S_{t_{i-1}}}}}{t_{i}-t_{i-1}}}-{\frac {\ln {\frac {S_{t_{n}}}{S_{t_{0}}}}}{t_{n}-t_{0}}}\right)^{2};\end{aligned}}}

قيمتها المتوقعة هيهـ⁡[σ^2]=ن-1نσ2.{\displaystyle \operatorname {E} \left[{\widehat {\sigma }}^{2}\right]={\frac {n-1}{n}}\sigma ^{2}.}

هذا النموذج الأساسي ذو التقلب الثابتσ{\displaystyle \sigma \,}وهي نقطة البداية لنماذج التقلب غير العشوائي مثل نموذج بلاك-شولز ونموذج كوكس-روس-روبنشتاين .

بالنسبة لنموذج التقلب العشوائي، استبدل التقلب الثابتσ{\displaystyle \sigma }مع وظيفةνت{\displaystyle \nu _{t}}التي تمثل تباينSت{\displaystyle S_{t}}تُنمذج دالة التباين هذه أيضًا على أنها حركة براونية، ويكون شكلها كالتالي:νت{\displaystyle \nu _{t}}يعتمد ذلك على نموذج SV المحدد قيد الدراسة.

دSت=μSتدت+νتSتددبليوت{\displaystyle dS_{t}=\mu S_{t}\,dt+{\sqrt {\nu _{t}}}S_{t}\,dW_{t}\,}
دνت=αν،تدت+βν،تدبت{\displaystyle d\nu _{t}=\alpha _{\nu ,t}\,dt+\beta _{\nu ,t}\,dB_{t}\,}

أينαν،ت{\displaystyle \alpha _{\nu ,t}}وβν،ت{\displaystyle \beta _{\nu ,t}}بعض وظائفν{\displaystyle \nu }، ودبت{\displaystyle dB_{t}}وهو توزيع غاوسي قياسي آخر مرتبط بـددبليوت{\displaystyle dW_{t}}مع معامل ارتباط ثابتρ{\displaystyle \rho }.

عارضة أزياء هيستون

يُعد نموذج هيستون الشائع نموذجًا شائع الاستخدام للتباين العشوائي، حيث تتناسب عشوائية عملية التباين طرديًا مع الجذر التربيعي للتباين. في هذه الحالة، تأخذ المعادلة التفاضلية للتباين الشكل التالي:

دνت=θ(ω-νت)دت+ξνتدبت{\displaystyle d\nu _{t}=\theta (\omega -\nu _{t})\,dt+\xi {\sqrt {\nu _{t}}}\,dB_{t}\,}

أينω{\displaystyle \omega }هو متوسط ​​التباين طويل الأجل،θ{\displaystyle \theta }هو المعدل الذي يعود به التباين نحو متوسطه على المدى الطويل،ξ{\displaystyle \xi }يمثل تقلب عملية التباين، ودبت{\displaystyle dB_{t}}هو، مثلددبليوت{\displaystyle dW_{t}}، توزيع غاوسي بمتوسط ​​صفري ودت{\displaystyle dt}التباين. ومع ذلك،ددبليوت{\displaystyle dW_{t}}ودبت{\displaystyle dB_{t}}ترتبط بقيمة الارتباط الثابتةρ{\displaystyle \rho }.

بمعنى آخر، يفترض نموذج هيستون إس في أن التباين هو عملية عشوائية

  1. يُظهر ميلاً للعودة نحو المتوسط ​​طويل الأجلω{\displaystyle \omega }بمعدلθ{\displaystyle \theta }،
  2. يُظهر تقلبًا يتناسب مع الجذر التربيعي لمستواه
  3. والتي يرتبط مصدر عشوائيتها (بالارتباط)ρ{\displaystyle \rho }) مع عشوائية عمليات سعر الأصل الأساسي.

تعتمد بعض معلمات سطح التقلب، مثل 'SVI'، [ 2 ] على نموذج هيستون.

نموذج سيارة كهربائية

يصف نموذج CEV العلاقة بين التقلب والسعر، مع إدخال التقلب العشوائي:

دSت=μSتدت+σSتγددبليوت{\displaystyle dS_{t}=\mu S_{t}\,dt+\sigma S_{t}^{\,\gamma }\,dW_{t}}

من الناحية النظرية، في بعض الأسواق يزداد التقلب عندما ترتفع الأسعار (مثل السلع الأساسية)، لذلكγ>1{\displaystyle \gamma >1}في أسواق أخرى، يميل التقلب إلى الارتفاع مع انخفاض الأسعار، وفقًا للنموذج التالي:γ<1{\displaystyle \gamma <1}.

يرى البعض أن نموذج CEV، لعدم تضمينه عملية عشوائية خاصة به للتقلبات، ليس نموذجاً حقيقياً للتقلبات العشوائية، بل يُطلقون عليه نموذجاً للتقلبات المحلية .

نموذج تقلبات SABR

يصف نموذج SABR (النموذج العشوائي ألفا، بيتا، رو)، الذي قدمه هاجان وآخرون [ 3 ] ، عملية أمامية واحدةF{\displaystyle F}(متعلق بأي أصل، مثل مؤشر أو سعر فائدة أو سند أو عملة أو سهم) في ظل التقلبات العشوائيةσ{\displaystyle \sigma }:

دFت=σتFتβددبليوت،{\displaystyle dF_{t}=\sigma _{t}F_{t}^{\beta }\,dW_{t},}
دσت=ασتدZت،{\displaystyle d\sigma _{t}=\alpha \sigma _{t}\,dZ_{t},}

القيم الأوليةF0{\displaystyle F_{0}}وσ0{\displaystyle \sigma _{0}}يمثل السعر الآجل الحالي والتقلبات، بينمادبليوت{\displaystyle W_{t}}وZت{\displaystyle Z_{t}}هما عمليتان مترابطتان من عمليات وينر (أي حركتان براونيتان) بمعامل ارتباط-1<ρ<1{\displaystyle -1<\rho <1}المعاملات الثابتةβ،α{\displaystyle \beta ,\;\alpha }هي من النوع الذي0≤β≤1،α≥0{\displaystyle 0\leq \beta \leq 1,\;\alpha \geq 0}.

تتمثل السمة الرئيسية لنموذج SABR في القدرة على إعادة إنتاج تأثير الابتسامة لابتسامة التقلب .

نموذج GARCH

يُعد نموذج التباين الشرطي غير المتجانس التلقائي المعمم ( GARCH ) نموذجًا شائعًا آخر لتقدير التقلب العشوائي. يفترض هذا النموذج أن عشوائية عملية التباين تتغير بتغير التباين نفسه، على عكس نموذج هيستون الذي يفترض أنها تتناسب مع الجذر التربيعي للتباين. يأخذ نموذج GARCH(1,1) القياسي الشكل التالي لتفاضل التباين المستمر: [ 4 ]

دνت=θ(ω-νت)دت+ξνتدبت{\displaystyle d\nu _{t}=\theta (\omega -\nu _{t})\,dt+\xi \nu _{t}\,dB_{t}\,}

تم توسيع نموذج GARCH عبر العديد من المتغيرات، بما في ذلك NGARCH وTGARCH وIGARCH وLGARCH وEGARCH وGJR-GARCH وPower GARCH وComponent GARCH، إلخ. ومع ذلك، من الناحية الدقيقة، فإن التقلبات الشرطية من نماذج GARCH ليست عشوائية، حيث أن التقلب عند الزمن t يكون محددًا مسبقًا تمامًا (حتميًا) بالنظر إلى القيم السابقة. [ 5 ]

نموذج 3/2

يشابه نموذج 3/2 نموذج هيستون، ولكنه يفترض أن عشوائية عملية التباين تتغير معνت3/2{\displaystyle \nu _{t}^{3/2}}صيغة التباين التفاضلي هي:

دνت=νت(ω-θνت)دت+ξνت3/2دبت.{\displaystyle d\nu _{t}=\nu _{t}(\omega -\theta \nu _{t})\,dt+\xi \nu _{t}^{3/2}\,dB_{t}.\,}

إلا أن معنى هذه المعاملات يختلف عن نموذج هيستون. ففي هذا النموذج، تُعتبر كل من معاملات العودة إلى المتوسط ​​ومعاملات تقلب التباين كميات عشوائية معطاة بالصيغة التالية:θνت{\displaystyle \theta \nu _{t}} وξνت{\displaystyle \xi \nu _{t}}على التوالى.

نماذج التقلبات التقريبية

باستخدام تقدير التقلبات من بيانات الترددات العالية، تم التشكيك في سلاسة عملية التقلبات. [ 6 ] وقد وُجد أن التقلبات اللوغاريتمية تتصرف كحركة براونية كسرية ذات أس هيرست من رتبةح=0.1{\displaystyle H=0.1}، على أي نطاق زمني معقول. وقد أدى ذلك إلى اعتماد نماذج التقلب العشوائي الجزئي (FSV)، [ 7 ] مما أدى إلى نموذج تقلب عشوائي جزئي تقريبي (RFSV) حيث تُستخدم كلمة "تقريبي" للتأكيد على ذلك.ح<1/2{\displaystyle H<1/2}يتوافق نموذج RFSV مع بيانات السلاسل الزمنية، مما يسمح بتحسين التنبؤات بالتقلبات المحققة. [ 6 ] [ 8 ] يُعدّ RFSV أحد المناهج العديدة التي طُبّقت على هذه المشكلة، بدءًا من النماذج الاقتصادية القياسية الخطية وصولًا إلى بنى التعلم العميق، كما استعرضها ليوشويس وبيتكوف (2026). [ 9 ]

المعايرة والتقدير

بمجرد اختيار نموذج معين للتقلبات الاجتماعية، يجب معايرته باستخدام بيانات السوق المتاحة. المعايرة هي عملية تحديد مجموعة معلمات النموذج الأكثر ترجيحًا بالنظر إلى البيانات المرصودة. إحدى التقنيات الشائعة هي استخدام تقدير الاحتمال الأقصى (MLE). على سبيل المثال، في نموذج هيستون، تكون مجموعة معلمات النموذجΨ0={ω،θ،ξ،ρ}{\displaystyle \Psi _{0}=\{\omega ,\theta ,\xi ,\rho \}\,}يمكن تقديرها باستخدام خوارزمية تقدير الاحتمال الأقصى مثل طريقة باول للمجموعة الموجهةإلى ملاحظات أسعار الأوراق المالية الأساسية التاريخية.

في هذه الحالة، تبدأ بتقدير لـΨ0{\displaystyle \Psi _{0}\,}احسب الأخطاء المتبقية عند تطبيق بيانات الأسعار التاريخية على النموذج الناتج، ثم قم بتعديلها.Ψ{\displaystyle \Psi \,}لمحاولة تقليل هذه الأخطاء. بعد إجراء المعايرة، من الممارسات المعتادة إعادة معايرة النموذج بشكل دوري.

يُعد التقدير الإحصائي بديلاً للمعايرة، إذ يُراعي عدم اليقين في المعلمات. وقد طُرحت وطُبقت العديد من الطرق التكرارية والبيزية، عادةً لمجموعة فرعية من النماذج المذكورة أعلاه. تتضمن القائمة التالية حزمًا إضافية لبرنامج R الإحصائي مفتوح المصدر ، صُممت خصيصًا لتقدير التباين غير المتجانس. تُعنى الحزم الثلاث الأولى بنماذج GARCH ذات التقلبات الحتمية، بينما تُعنى الرابعة بتقدير التقلبات العشوائية.

  • rugarch : نماذج ARFIMA، ونماذج المتوسط ​​الداخلي، والمتغيرات الخارجية، وأنواع مختلفة من نماذج GARCH، مع طرق للمطابقة والتنبؤ والمحاكاة والاستدلال والرسم البياني. [ 10 ]
  • fGarch : جزء من بيئة Rmetrics لتدريس "الهندسة المالية والتمويل الحسابي".
  • bayesGARCH : تقدير بايزي لنموذج GARCH(1,1) مع ابتكارات t للطالب. [ 11 ]
  • stochvol : خوارزميات فعالة للتقدير البايزي الكامل لنماذج التقلب العشوائي (SV) عبر طرق سلسلة ماركوف مونت كارلو (MCMC). [ 12 ] [ 13 ]

طُوِّرت العديد من الطرق العددية على مرّ الزمن، وقد ساهمت في حلّ مشكلة تسعير الأصول المالية، مثل الخيارات، باستخدام نماذج التقلب العشوائي. ومن التطبيقات الحديثة نموذج التقلب العشوائي المحلي. [ 14 ] يُعطي هذا النموذج نتائج أفضل في تسعير الأصول المالية الجديدة، مثل خيارات الفوركس.

توجد أيضًا مكتبات تقدير إحصائي بديلة بلغات أخرى مثل بايثون:

  • يتضمن PyFlux دعم الاستدلال البايزي والكلاسيكي لنماذج GARCH و beta-t-EGARCH.

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ جيم جاثيرال (18 سبتمبر 2006). سطح التقلب: دليل عملي . وايلي. ISBN 978-0-470-06825-0.
  2. ^ جاي جاثيرال، جاكييه (2014). “أسطح تقلب SVI خالية من المراجحة”. التمويل الكمي . 14 : 59 – 71. أرخايف : 1204.0646 . دوى : 10.1080/14697688.2013.819986 . S2CID 41434372 . 
  3. ↑ PS Hagan, D Kumar, A Lesniewski, DE Woodward (2002) إدارة مخاطر الابتسامة ، Wilmott، 84-108.
  4. ↑ كلوبلبرغ، كلاوديا؛ ليندنر، ألكسندر؛ مالر، روس (سبتمبر 2004). "عملية GARCH ذات الزمن المستمر مدفوعة بعملية ليفي: الاستقرار والسلوك من الدرجة الثانية" . مجلة الاحتمالات التطبيقية 41 (3): 601-622 . doi : 10.1239/jap/1091543413 .
  5. ↑ بروكس، كريس (2014). مدخل إلى الاقتصاد القياسي للتمويل ( الطبعة الثالثة). كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج. ص 461. ISBN   9781107661455.
  6. 1 2 جيم جاثيرال، ثيبو جايسون، وماثيو روزنباوم (2018). التقلبات قاسية. التمويل الكمي 18(6)، الصفحات 933-949
  7. ↑ فابيان كومت وإريك رينو (1998). الذاكرة الطويلة في نماذج التقلب العشوائي المستمر. التمويل الرياضي، 8(4)، 291-323
  8. ↑ ماثيو غارسيا (2022). التنبؤ باستخدام الحركة البراونية الكسرية: منظور مالي. التمويل الكمي، 22(8)، 1495-1512
  9. ↑ ليوشويس، رادمير م.؛ بيتكوف، نيكولاي (2026). "التطورات في التنبؤ بالتقلبات المحققة: مراجعة للمنهجيات" . الابتكار المالي . 12 : 14. doi : 10.1186/s40854-025-00809-5 .
  10. ^ غالانوس ، ألكسيوس (20 سبتمبر 2023). "rugarch: نماذج GARCH أحادية المتغير" .
  11. ↑ أرديا، ديفيد؛ هوغيرهايد، لينارت ف. (2010). "التقدير البايزي لنموذج GARCH(1,1) مع ابتكارات توزيع Student-t" (ملف PDF) . مجلة R. 2 ( 2): 41-47 . doi : 10.32614/RJ-2010-014 . S2CID 17324384 . 
  12. ↑ كاستنر، غريغور (2016). "التعامل مع التقلبات العشوائية في السلاسل الزمنية باستخدام حزمة stochvol في لغة البرمجة R" (ملف PDF) . مجلة البرمجيات الإحصائية . 69 (5): 1-30 . arXiv : 1906.12134 . doi : 10.18637/jss.v069.i05 .
  13. ↑ كاستنر، غريغور؛ فروويرث-شنايتر، سيلفيا (2014). "استراتيجية التداخل بين كفاية التبعية (ASIS) لتعزيز تقدير MCMC لنماذج التقلب العشوائي" (ملف PDF) . الإحصاءات الحاسوبية وتحليل البيانات . 79 : 408-423 . arXiv : 1706.05280 . doi : 10.1016/j.csda.2013.01.002 . S2CID 17019876 . 
  14. ↑ فان دير ويجست، رويل (2017). "الحلول العددية لنموذج التقلب المحلي العشوائي" .{{cite journal}}يتطلب الاستشهاد بالمجلة ( مساعدة )|journal=

مصادر